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Banque PT Physique A PT 2006Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Champ magnétique tournant et machines asynchrones
  • Induction électromagnétique dans un cadre mobile
  • Effet Hall dans un conducteur
  • Circuits du premier et second ordre, régime transitoire
  • Filtres actifs et fonction de transfert (diagramme de Bode)
  • Puissance électrique en régime sinusoïdal
  • Transformateur idéal
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BanqueBanque PTAnnée2006FilièrePTMatièrePhysique
Annales Banque PT PT PhysiqueBanque PT PT 2006PT PhysiquePhysique 2006

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Moteur asynchrone, sonde à effet Hall et wattmètre électronique
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Le sujet comporte trois parties indépendantes d'électromagnétisme et d'électronique. La première étudie le principe du moteur asynchrone, de la production d'un champ tournant par le stator jusqu'au couple électromagnétique et au rendement du moteur. La deuxième étudie l'effet Hall dans une plaque conductrice puis son application à un capteur de courant en boucle ouverte et en boucle fermée. La troisième étudie un wattmètre électronique combinant un capteur de tension, un capteur de courant à effet Hall, un multiplieur et un filtre passe-bas.

  1. 1Partie A : principe du moteur asynchroneProduction d'un champ magnétique tournant par un système triphasé de bobines, calcul de la force électromotrice induite dans le rotor, du couple électromagnétique en fonction du glissement, et du rendement du moteur.
  2. 2Partie B : sonde à effet HallÉtude du champ électrique et de la tension de Hall apparaissant dans une plaque conductrice parcourue par un courant en présence d'un champ magnétique, puis application à un capteur de courant en boucle ouverte et en boucle fermée avec un bobinage secondaire asservi.
  3. 3Partie C : étude d'un wattmètre électroniqueCalcul de la puissance active d'un dipôle, principe de mesure par multiplication des signaux image de la tension et du courant, étude d'un filtre passe-bas de structure de Rauch réalisant le moyennage, et étude du capteur de tension par transformateur.

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Epreuve de Physique A

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'utilisation des calculatrices est autorisée.

AVERTISSEMENT

Chaque candidat reçoit, avec le sujet, un document réponse sur feuillet mobile, à rendre avec la copie.
Au début de chaque partie, son "poids" dans le barème est indiqué en pourcentage.
Les trois parties A, B et C de cette épreuve sont indépendantes.

Partie A : Principe du moteur asynchrone (37%)

Aucune connaissance préalable du moteur asynchrone n'est nécessaire pour l'étude de cette partie.
Un moteur asynchrone est constitué d'un stator et d'un rotor.
Le stator est réalisé à l'aide d'un ensemble de bobines fixes destinées à engendrer dans une zone limitée de l'espace un champ magnétique tournant B→(t).
Le rotor est modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S , contenant N spires mobile autour d'un axe.

1. Stator de la machine asynchrone: production d'un champ tournant

Soit un ensemble de trois bobines, dont les axes sont régulièrement décalés de (2π)/3 dans le plan xOy , et alimentées par un système triphasé de courants de pulsation ω_s dont les intensités sont les suivantes:
i_1(t) = I_M cos(ω_s t); i_2(t) = I_M cos(ω_s t − (2π)/3); i_3(t) = I_M cos(ω_s t − (4π)/3)
Figure 1
La fréquence d'alimentation de ces bobinages statoriques est égale à 50 Hz .
Chaque bobine crée au centre O un champ magnétique qui peut se mettre sous la forme : B→_j = K.i_j(t).e→_j ( K est une constante et e→_j est le vecteur unitaire de l'axe de la jème bobine).
1.1. Déterminer les composantes sur Ox et Oy du champ magnétique total B→ en O .
On notera B = ‖B⃗‖ sa norme que l'on exprimera en fonction de K et I_M.
1.2. Justifier l'appellation de champ tournant pour ce champ magnétique total B⃗.
Préciser à quelle vitesse angulaire ce champ tourne dans le plan xOy.
Calculer la valeur numérique de la vitesse de rotation du champ tournant n_s en tours par minute (tr/mn).

2. Entraînement du rotor de la machine asynchrone

Le rotor est modélisé par un cadre conducteur rectangulaire de surface S, orienté suivant la normale n→, contenant N spires planes filiformes et indéformables en série, et susceptible de tourner autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire ω constante.
Le cadre est placé dans le champ magnétique tournant que l'on suppose uniforme, de norme notée B.
Les positions angulaires de B⃗ et n⃗ sont repérées par les angles suivants:
θ(t) = (e⃗_x, B⃗) = ω_s t et φ(t) = (e⃗_x, n⃗) = ωt
Dans toute la suite, on suppose que : 0 ≤ ω ≤ ω_s.
Figure 2

Vue de dessus

2.1. Déterminer le flux Φ du champ magnétique B⃗ créé par le stator à travers les N spires du cadre, en fonction de B, N, S, ω, ω_S et t .
2.2. En déduire la force électromotrice d'induction e(t) qui apparaît dans celui-ci en fonction du flux maximum à travers le circuit Φ_M = NSB, et de la vitesse angulaire de glissement ω_r = ω_s − ω (ω_r est positive ou nulle).
2.3. Le cadre est équivalent à un circuit série de résistance R et d'inductance propre L.
a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par le courant i(t) dans la bobine.
b) En déduire l'expression de i(t) en régime permanent sinusoïdal que l'on mettra sous le forme suivante :
i(t) = I_M sin(ω_r t − ψ)
Exprimer, en fonction de Φ_M, R, L et ω_r, l'amplitude l_M de i(t) et le retard de phase Ψ de i(t) par rapport à la force électromotrice e(t) déterminée à la question 2.2.

3. Couple électromagnétique

Le cadre rectangulaire est parcouru par le courant i(t).
Figure 3
On note Γ(t) = Γ⃗ ⋅ e→_z le moment par rapport à l'axe Oz du couple électromagnétique des forces de Laplace s'exerçant sur les N spires du cadre.
3.1. Etablir l'expression de Γ(t).
3.2. Montrer que sa valeur moyenne < Γ(t) > notée Γ_(em) est donnée par l'expression suivante :
Γ_(em) = ((φ_M^2)/(2 L))(RLω_r)/(R^2 + (Lω_r)^2)
3.3. On introduit le glissement, noté g , qui caractérise l'écart relatif entre la vitesse angulaire de synchronisme et la vitesse angulaire de rotation de l'arbre du moteur : g = (ω_s − ω)/(ω_s) = (ω_r)/(ω_s).
Que vaut le glissement g lorsque le moteur est à l'arrêt?
Que vaut le glissement g lorsque le moteur tourne à la vitesse angulaire ω_s de synchronisme?
3.4. On pose Γ_0 = (φ_M^2)/(2 L). Exprimer la nouvelle expression du moment Γ_(em) en fonction de Γ_0, g, R et du produit Lω_s.
3.5. Donner l'expression, notée Γ_d, de ce moment au démarrage du moteur.

Dans toute la suite, on suppose que R est inférieure ou égale au produit Lω_s.

3.6. Déterminer, en fonction de Γ_0, la valeur maximale Γ_(max) de Γ_(em)(g) et préciser l'expression littérale du glissement g_(max) correspondant.
3.7. Applications numériques : R = 4, 0Ω, Lω_s = 40Ω et Γ_0 = 100 N.m. On rappelle que ω_s est égale à la pulsation des courants des bobinages statoriques étudiés au A.1.
a) Calculer les valeurs numériques de Γ_d, g_(max) et Γ_(max).
b) En déduire la vitesse de rotation du moteur n en tr/mn pour g = g_(max).
c) Pour g = g_(max) calculer la valeur efficace notée I_(Reff) de l'intensité du courant rotorique.
3.8. Tracer sur la copie l'allure du graphe Γ_(em)(g) lorsque la vitesse angulaire du moteur évolue entre l'arrêt et la vitesse angulaire de synchronisme.
3.9. La charge mécanique accouplée à l'arbre du moteur correspond à un couple résistant de moment par rapport à l'axe de rotation constant et noté ( − Γ_r ), avec Γ_r > 0.
a) Que se passe-t-il si Γ_r est supérieur à Γ_d ?
b) Montrer par une analyse graphique que, si Γ_d < Γ_r < Γ_(max), il existe deux points de fonctionnement du moteur correspondant à deux vitesses de rotation du rotor ω_1 et ω_2.
c) Etudier de façon qualitative leur stabilité (on pourra noter J le moment d'inertie, par rapport à l'axe Oz, de l'ensemble mobile en rotation) .
d) Pour augmenter le "couple au démarrage" Γ_d, on ajoute une résistance supplémentaire en série dans le circuit du rotor.
Calculer la nouvelle valeur numérique de Γ_d pour R = 8Ω.

4. Puissance et rendement

On note P_(méca) la puissance mécanique moyenne et P_J la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor .
4.1. Exprimer P_(meca) et P_J en fonction de Γ_0, R, L, ω_r, et ω.
4.2. La puissance électromagnétique moyenne P_(em) transmise du stator vers le rotor est intégralement convertie en puissance mécanique moyenne P_(meca) et en puissance moyenne P_J dissipée par effet Joule dans les conducteurs du rotor.
En déduire l'expression du rendement en fonction de ω et ω_s; on rappelle que ω_r = ω_s − ω.
4.3. Application numérique : calculer la valeur du rendement η pour un glissement égal à g = 0, 05.

Partie B : Sonde à effet Hall (31%)

On considère une plaque rectangulaire d'épaisseur h et de largeur L.
Figure 4

1. Etude de l'effet Hall

La plaque est parcourue par un courant d'intensité I , uniformément réparti sur la section de la plaque et de densité de courant volumique J→ = J→u→_x.
La conduction électrique est assurée par des porteurs mobiles identiques, de charge q, de nombre par unité de volume noté n.
La plaque est placée dans un champ magnétique uniforme B→ = Bu^(→−)_z créé par des sources extérieures. On néglige le champ magnétique créé par le courant I dans la plaque devant B→.
1.1. Exprimer le vecteur vitesse v⃗ des porteurs de charge dans la plaque en fonction de J→ = Ju→_x, n et q .
1.2. Montrer qu'il existe en régime permanent un champ électrique, perpendiculaire à Ox, appelé champ électrique de Hall E→_H. Exprimer les composantes de E→_H.
1.3. Déterminer, en régime permanent, la valeur de la différence de potentiel transversale V_H = V(A_1) − V(A_2) où A_1 et A_2 sont deux points de même abscisse x et d'ordonnées respectives y_(A1) = − L/2 et y_(A2) = + L/2.
Montrer que V_H, tension de Hall, peut s'écrire V_H = (C_H)/h IB. Expliciter la constante C_H.
1.4. Pour un sens de courant et de champ magnétique donnés, quelle information concernant le phénomène de conduction apporte le signe de la tension de Hall V_H ?
1.5. On peut utiliser deux matériaux : I'un qualifié de conducteur métallique, l'autre de semiconducteur, dont les caractéristique sont les suivantes:
n : densité enm^(− 3) q Conductivité γ en S.m m^(− 1)
Conducteur métallique 7.10^(28) − 1, 6.10^(− 19)C 6.10^7
Semi-conducteur de
type P
2.10^(22) 1, 6.10^(− 19)C 3.10^2
a) Calculer la constante de Hall C_н pour les deux matériaux.
Afin d'obtenir une tension de Hall de valeur absolue maximale pour ce capteur, quel matériau doit-on préférer?
b) Pour une intensité I = 1 A et un champ magnétique B = 0, 1 T, calculer V_H pour deux épaisseurs h = 1 mm ou 0, 1 mm pour le matériau choisi.
Quelle épaisseur est-il préférable d'utiliser?
1.6. On souhaite établir la relation entre le champ électrique E⃗ total dans la plaque et la densité de courant J→ en présence du champ magnétique B→.
Soit E^′^(→−) = E^′ ⋅ u⃗_x la composante du champ électrique colinéaire à J⃗ : on pose J⃗ = γE^′^(→−).
Montrer qu'en présence du champ magnétique, on aJ→ = γ(E→ + C_H J→ ∧ B→).
1.7. Pour le semi-conducteur de type P considéré précédemment, tracer dans un plan xOy de la plaque les vecteurs (J→)/γ, E→ et les lignes équipotentielles en présence du champ magnétique.
1.8. Soit θ l'angle entre les vecteurs J→ et E→ : θ = (J→, E→).
Calculer la valeur de θ pour un champ magnétique extérieur B = 1 T.

2. Capteur de courant à effet Hall

Une sonde à effet Hall, d'épaisseur h, est insérée dans l'entrefer d'un circuit magnétique torique d'épaisseur pratiquement égale à h et de section S , voir figure 5 ci-dessous.
Dans toute cette partie B. 2 , l'épaisseur de la sonde vaut h = 1, 5 mm et la section de l'entrefer vaut S = 1 cm^2.
Le matériau dont est constituée la sonde a une constante de Hall C_H = 4.10^(− 4) m^3 ⋅ C^(− 1).
La sonde à effet Hall est parcoure par un courant d'intensité constante I = 100 mA .
Le courant à mesurer l_p traverse le plan xOz du circuit magnétique torique au centre de celui-ci.
Il produit un champ magnétique B⃗ dont les lignes de champ sont canalisées dans le circuit magnétique.
On admet que le champ magnétique dans l'entrefer est uniforme, de direction parallèle à Oz, et a sensiblement pour valeur B⃗ = (μ_o I_p)/hu_z^(→−).
2.1. Capteur de courant à boucle ouverte
Figure 5
a) A l'aide du résultat de la question 1.3. montrer que la tension de Hall V_H peut s'écrire : V_H = KI ⋅ I_P. Expliciter la constante K.
b) Pour μ_0 = 4π ⋅ 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1), calculer la valeur numérique de K.
Calculer V_H pour un courant I_p = 500 A.
c) Pour amplifier la tension V_H, on utilise un montage à A.O. supposé idéal. Exprimer la tension v_s en fonction de V_H, R_1 et R_2.
d) On souhaite obtenir une tension de sortie v_s = k_s × l_p avec k_s = 10mV/A. Proposer des valeurs pratiques pour les résistances R_1 et R_2.

2.2. Capteur de courant à boucle fermée (voir figure 6 ci-dessous)

Ce type de capteur de courant à effet Hall utilise un bobinage secondaire autour du tore, composé de N_s spires, et parcouru par un courant d'intensité is.
Le courant is produit un champ magnétique B→_s dont les lignes de champ sont canalisées dans le circuit magnétique.
On admet que le champ B→_s dans l'entrefer est uniforme, de direction parallèle à Oz , et qu'il a sensiblement pour valeur (− (μ_o N_s i_s)/h)u_z^(→−).
Ce courant i_s est fourni par un "amplificateur de puissance" dont la tension de sortie vérifie la relation : v_s = A ⋅ v_H (avecA > 0).
Le bobinage secondaire a une résistance R et une inductance propre L.
La tension de sortie du capteur de courant, v_c, est prélevée aux bornes de la résistance R_c.
Figure 6
a) Dans cette question, on suppose que I_P est nulle.
On suppose que l'énergie magnétique, associée à B_s, est localisée principalement dans l'entrefer.
Donner l'expression de l'énergie magnétique stockée dans l'entrefer W_m due au bobinage secondaire.
En déduire la valeur de l'inductance propre L du bobinage secondaire.
Calculer sa valeur numérique pour N_s = 100 spires.
On se place en régime variable pour le courant à mesurer i_p(t).
Ce courant crée également dans l'entrefer un champ magnétique égal à (+ (μ_o i_p(t))/h)u_z^(→−).
b) Etablir l'équation différentielle régissant l'intensité i_s(t) et la mettre sous la forme suivante:
τ(di_s(t))/(dt) + i_s(t) = α.i_p(t)
Exprimer τ et α en fonction des éléments L, R, R_C, A, C_H, h, I, N_S de ce capteur de courant, et de μ_0.
c) Pour R = 100Ω, R_c = 10Ω et A = 1000, calculer les valeurs numériques de τ et α.
d) On applique un échelon de courant : i_p(t) = 0 A pour t < 0, et i_p(t) = l_0 = 10 A pour t > 0. Déterminer l'expression de la tension de sortie du capteur v_c(t), en utilisant notamment les notations τ et α, et la représenter graphiquement. Calculer numériquement (V_(c limite))/(I_o).

Partie C : Etude d'un wattmètre électronique (32%)

Aucune connaissance préalable du wattmètre n'est nécessaire pour l'étude de cette partie.
On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre électronique comprenant :
  • un capteur de tension
  • un capteur de courant (sonde à effet Hall)
  • un multiplieur
  • un filtre passe-bas

1. Puissance active

On considère un dipôle d'impédance complexe Z_– = R + jX alimenté par une tension sinusoïdale v(t) = V_M cos(ωt).
Figure 7
On exprime le courant i(t) de la façon suivante : i(t) = I_M cos(ωt − φ).
1.1. Donner les expressions de l'amplitude l_M de l'intensité et du déphasage φ en fonction de V_M, R et X.
Quel est le signe de φ lorsque le dipôle est inductif ?
1.2. Calculer la puissance active, valeur moyenne P de la puissance instantanée reçue par le dipôle, en fonction de V_M, l M et φ.
1.3. Pour une impédance Z_– = 5 + j10 exprimée en Ω et une amplitude V_M = 320 volts, calculer les valeurs numériques de l_M, φ et P.

2. Principe du wattmètre électronique

Pour mesurer la puissance active P absorbée par la charge, on utilise un wattmètre électronique réalisé selon le schéma fonctionnel suivant :
Figure 8
Le capteur de tension fournit une tension image de v(t) : v_a(t) = k_a v(t).
Le capteur de courant fournit une tension image de i(t) : v_b(t) = k_b i(t).
Le multiplieur est un circuit électronique qui produit la tension: v_1(t) = Kv_a(t)v_b(t).
Le moyenneur (étudié à la question 3) permet d'obtenir une tension "lissée", telle que : ⟨v_2⟩ = − ⟨v_1⟩.
2.1. Etablir l'expression de la valeur moyenne ⟨v_2⟩ de v_2(t) et montrer que ⟨v_2⟩ est proportionnelle à P : ⟨v_2⟩ = k_w ⋅ P.
Expliciter la constante k_w.
2.2. On a mesuré une tension ⟨v_2⟩ = − 1, 5 V à la sortie du wattmètre.
Sachant que k_a = 0, 02, k_b = 10mV/A et K = 2 V^(− 1), en déduire la valeur de la puissance active P mesurée par le wattmètre.

3. Etude du moyenneur (filtre passe-bas)

Pour obtenir la valeur moyenne du signal v_1(t) on utilise un filtre passe-bas.
Le filtre passe-bas est réalisé à l'aide d'un amplificateur opérationnel que l'on supposera idéal.
Le schéma correspond à une structure dite "de Rauch".
Figure 9
3.1. En utilisant au point A puis au point B l'expression de la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millman), établir deux relations entre V_–_A, V_–_B, V_–_1 et V_–_2.
3.2. Déterminer la fonction de transfert T_–(jω) = (V_–_2)/(V_–_1).
3.3. On cherche à mettre T sous la forme canonique suivante :
T_–(jω) = (T_0)/(1 + 2 m(jω)/(ω_0) + ((jω)/(ω_0))^2)
Déterminer T_0. Donner deux relations entre ω_0, m et les éléments du circuit.
3.4. On souhaite obtenir une fréquence propre f_0 = ω_0/2π = 5 Hz et un coefficient d'amortissement m = (√2)/2. On choisit R = 470kΩ.
Calculer les valeurs des capacités C_1 et C_2.
3.5. Pour les valeurs numériques précédentes, tracer le diagramme de Bode asymptotique (gain et phase) ainsi que l'allure de la courbe réelle sur le document-réponse fourni sur le feuillet mobile en annexe, qui devra être rendu avec la copie.
3.6. Donner, sans nouveau calcul, l'équation différentielle reliant les tensions v_1 et v_2, équation où figurent les constantes ω_0 et m.
3.7. On applique à l'entrée du filtre passe-bas le signal de sortie du multiplieur v_1(t). A l'entrée du wattmètre on a pour la tension et le courant:
v(t) = V_M cos(ωt) et i(t) = I_M cos(ωt − φ), avec V_M = 320 volts, ω = 100π rad.s ^(− 1), I_M = 20 A et φ = 1rad.
Montrer que la tension de sortie du filtre passe-bas est l'opposée, en régime forcé, de la valeur moyenne de v_1(t) à laquelle se superpose une composante alternative.
Déterminer l'amplitude A_M de cette composante alternative et calculer sa valeur numérique.
En déduire la précision relative de la mesure de la puissance active P.

4. Capteur de tension

Pour réaliser le capteur de tension, on utilise un transformateur constitué d'un bobinage primaire de n_1 spires et d'un bobinage secondaire de n_2 spires.
Figure 10
On suppose le transformateur parfait.
4.1. Donner la relation qui relie la tension primaire u_1(t) à la tension secondaire u_2(t), ainsi que la relation entre i_1(t) et i_2(t).
4.2. Pour une tension efficace de 230 V au primaire, on souhaite une tension efficace de 5 V au secondaire. Calculer la valeur du rapport de transformation (n_2)/(n_1).
On bobine 500 spires au primaire; calculer le nombre de spires que doit comporter le secondaire.
4.3. Pour prélever la tension aux bornes du dipôle d'impédance Z_–, le circuit primaire du transformateur est branché en parallèle sur ce dipôle.
La résistance d'entrée du multiplieur vaut R_e = 10kΩ, calculer la puissance moyenne P_c consommée par le capteur de tension avec les valeurs numériques de la question 3.7. Conclusion.
Épreuve/sous-épreuve :

Document réponse à rendre avec la copie

Gain
0
- 1
-
| - 10000 ◻
◻
都
-
◻
◻ ◻
◻
◻
◻ - 7 - - | ◻
◻ ◻ ◻ ◻ ◻ ◻
0,1 -
1
◻
10
Phase
- - || |_(|l|) |

◻
, 1 10 f(Hz)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique A banque PT 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique A banque PT 2006 ?

Il porte sur l'électromagnétisme des machines tournantes (moteur asynchrone), l'effet Hall et ses applications en instrumentation, ainsi que sur l'électronique analogique (filtres actifs, amplificateurs opérationnels) pour la mesure de puissance.

Les trois parties du sujet banque PT physique A 2006 sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise que les trois parties A, B et C sont indépendantes, chacune ayant un poids donné dans le barème.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser l'induction électromagnétique, la force de Laplace et le couple électromagnétique, l'effet Hall, ainsi que les filtres actifs à amplificateur opérationnel et le calcul de puissance en régime sinusoïdal.

Ce sujet nécessite-t-il des connaissances préalables sur le moteur asynchrone ou le wattmètre ?

Non, l'énoncé précise explicitement qu'aucune connaissance préalable du moteur asynchrone ni du wattmètre électronique n'est nécessaire, ces dispositifs étant entièrement redéfinis et étudiés pas à pas dans le sujet.

Pas de description pour le moment