Banque PT Physique B PT 2008Sujet et corrigé

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

Chaque candidat reçoit, avec le sujet, un feuillet mobile comportant deux documentsréponses, à rendre avec la copie.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Au début de chaque partie, son "poids" dans le barème est indiqué en pourcentage.

Indications générales : il est rappelé que les applications numériques donnent lieu aux mêmes bonifications que n'importe quelle question. Les résultats doivent impérativement être donnés avec leurs unités.

Les parties I, II et III traitent de mécanique. Les parties IV, V et VI traitent d'optique. Mécanique et optique sont entièrement indépendantes. Les parties I, II et III sont largement indépendantes mais il est fortement recommandé de les lire préalablement pour y repérer les quelques liens. Il en va de même pour les parties IV, V et VI .

Avec le sujet, chaque candidat reçoit un document-réponse sur feuillet mobile, à compléter et à rendre avec sa copie.

Valeurs numériques :

Dans cette partie, le Soleil et la Terre sont assimilés à des sphères homogènes. On cherche à exprimer le champ de gravité, le potentiel de gravitation et des énergies gravitationnelles par analogie avec l'électrostatique.
I.1. Exprimer, en un point A, le champ électrique E⃗(A) créé par une charge ponctuelle q placée en un point O, en posant: OA = r et u⃗_r = (OA^(→−))/r.
1.2. On considère une surface sphérique S, de centre O.
I.2.1.Rappeler l'énoncé du théorème de Gauss pour le champ électrostatique.
I.2.2. Déterminer le flux Φ du vecteur E⃗ sortant de S. On notera Qint la charge totale intérieure à la surface sphérique S.
1.3.1. On considère une boule de rayon R uniformément chargée, de charge totale Q. Déterminer le champ électrostatique E(r)^(→−) que cette boule crée à une distance r de son centre O pour r compris entre 0 et + ∞, en fonction de Q, u⃗_r, r et R. On distinguera le cas 0 < r < R du cas R < r < + ∞.
I.3.2. Rappeler la relation entre champ et potentiel électrostatiques.
1.3.3. En déduire le potentiel électrostatique U(r) de la sphère de charge totale Q en fonction de r. On supposera ce potentiel nul à l'infini, et distinguera le cas 0 < r < R du cas R < r < + ∞.
I.4.1.Rappeler la relation entre l'énergie d'interaction électrique entre la boule de la question I.3.1 et une charge q ponctuelle placée à la distance r de son centre O, et le potentiel électrostatique U(r) de cette boule, déterminé à la question précédente.
l.4.2. Déterminer cette énergie d'interaction électrique notée E_1 (supposée nulle à l'infini).
I.5.1. Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie électrostatique en un point M où le champ a pour valeur E(M)^(→−).
1.5.2, Montrer que l'énergie propre électrostatique de la boule peut s'écrire sous la forme E_2 = (kQ^2)/(4πε_0 R) et déterminer k.
1.6. On procède à présent par analogie formelle entre champ électrique et champ gravitationnel.
I.6.1. Exprimer, en un point A, le champ gravitationnel g⃗(A) créé par une masse ponctuelle m placée en un point O, en posant : OA = r et u⃗_r = (OA^(→−))/r.
l.6.2. Présenter précisément les couples de grandeurs analogues (exemple : charge et masse).
l.6.3. On considère une boule de rayon R homogène, de masse M. Déterminer le champ gravitationnel g(r→) que cette boule crée à une distance r de son centre O, pour r compris entre 0 et + ∞.
I.6.4. Application numérique : calculer l'intensité g_(ST) du champ de gravitation créé par le Soleil à la surface de la Terre puis l'intensité g_(TS) du champ de gravitation créé par la Terre à la surface du Soleil.
I.6.5. Déterminer l'énergie d'interaction gravitationnelle entre la Terre supposée ponctuelle et le Soleil.
I.6.6. Application numérique.
I.6.7.Déterminer l'énergie propre gravitationnelle du Soleil et de la Terre, notées respectivement E_(2 S) et E_(2 T).
I.6.8. Application numérique : calculer ces énergies ainsi que l'énergie E_(2TS) de l'ensemble Terre-Soleil en négligeant, pour le calcul de l'énergie d'interaction, leurs rayons devant la distance qui les sépare. Commenter les résultats.

On utilise le modèle d'une étoile sphérique homogène de rayon R et de masse M constituée d'atomes d'hydrogène de masse molaire M_H dans l'état de gaz parfait en équilibre thermique à la température uniforme T. Chaque atome possède l'énergie cinétique e_c = 3/2kT avec k = ℜ/(Na).
II.1.1. Donner l'énergie totale E_S du Soleil supposé isolé dans l'espace.
II.1.2. Donner une condition suffisante pour que le rayon du Soleil reste fini, c'est-à-dire pour que le Soleil ne soit pas en expansion infinie.
II.1.3. En déduire la valeur maximale de la température T qui satisfait la condition précédente.
II.1.4. Application numérique : calculer cette température maximale.

On utilise le modèle d'une étoile sphérique homogène de rayon R et de masse M en rotation propre de période constante autour de l'un de ses diamètres et constituée par un gaz de particules entraînées à la même vitesse angulaire que celle de l'étoile.
II.2.1. Déterminer la vitesse de libération v_l à la surface de l'étoile.
II.2.2. Donner la condition de stabilité dynamique de l'étoile.
II.2.3. Application numérique : le Soleil vérifie-t-il la condition de stabilité dynamique? Justifier votre réponse par des valeurs numériques.
II.2.4. Que se passe-t-il pour une étoile lorsque la vitesse de libération est supérieure à la vitesse de la lumière? Quelle est la condition sur le rapport M/R pour de tels corps? En déduire la condition sur la masse volumique de l'étoile.
II.2.5. Application numérique : calculer, pour une étoile de rayon R_S, la masse volumique minimale pour que la vitesse de libération soit supérieure à la vitesse de la lumière. Commenter cette valeur numérique.

On utilise le modèle d'une étoile sphérique de rayon R et de masse M, sans rotation propre, dont la masse volumique ρ(r), la pression interne P(r) et la température T(r) ne dépendent que de la distance r au centre de l'étoile. De plus, l'étoile est assimilée à un gaz parfait constitué d'atomes d'hydrogène en équilibre hydrostatique, c'est-à-dire que chaque élément de volume de matière dV est en équilibre sous l'effet des forces gravitationnelles et des forces de pression.
II.3.1. Rappeler le principe fondamental de la statique des fluides. On exprimera gradP en fonction de ρ(r) et de g⃗.
II.3.2. En déduire (dP)/(dr) dans le cas de l'étoile sphérique en fonction de G, r, ρ(r) et de M(r), masse contenue dans la boule de rayon r.
II.3.3. On souhaite obtenir un ordre de grandeur pour la température T_C au centre du Soleil. Pour ce faire, on suppose que la fonction P(r) est affine, et nulle à la surface du Soleil. On remplacera ρ(r) par la masse volumique moyenne du Soleil et le terme (M(r))/(r^2) par la valeur «moyenne» (Ms/2)/((R/2)^2). Exprimer P_C, puis T_C, en fonction de G, Ms, Rs, ℜ et M_H
II.3.4. Application numérique : calculer T_C.

Au voisinage de la Terre, juste au-dessus de l'atmosphère, une surface normale aux rayons du Soleil reçoit une puissance moyenne surfacique p^′ = 1, 35 kW.m^(− 2). Le rayonnement du Soleil est isotrope et on néglige toute absorption dans l'espace.
III.1.1. Déterminer la puissance totale, notée P_S, rayonnée par le Soleil en fonction de p^′ et du rayon moyen L de l'orbite de la Terre autour du Soleil.
III.1.2. Application numérique.
III.2. On suppose que le Soleil a été formé par condensation d'une masse M_S de gaz dont tous les atomes étaient initialement éloignés les uns des autres. On suppose que toute l'énergie dissipée sous forme de rayonnement provient uniquement de l'énergie gravitationnelle. Pendant toute la durée d'existence du Soleil, on suppose que la puissance P_S a été constante et que le Soleil a toujours été sphérique et homogène.
III.2.1. Déterminer dans le cadre de ces hypothèses l'âge t_0 du Soleil en fonction de G, M_S, R_S et P_S.
III.2.2. Application numérique : calculer t_0 en années.
III.2.3. La datation isotopique des roches terrestres montre que l'âge du Soleil est en réalité de plusieurs milliards d'années. Que peut-on conclure concernant les hypothèses précédentes?
III.2.4. Quelle est l'origine de l'énergie du Soleil?
III.3. On s'intéresse à la fin de l'évolution du Soleil. Au cours de cette phase, après plusieurs étapes, il se transformera en une naine blanche, de modèle simplifié suivant : toute la masse actuelle du Soleil est supposée conservée ; la naine blanche, comme le Soleil actuel, est sphérique homogène et tourne à vitesse angulaire constante autour de l'un de ses diamètres. La masse volumique en est ρ_(NB) = 10^8 kg ⋅ m^(− 3). De plus, on néglige l'énergie rayonnée pendant cette période. On rappelle l'expression du moment d'inertie diamétral d'une boule homogène de masse M et rayon R : J = 2/5MR^2.
III.3.1. Déterminer le rayon R_(NB) de la naine blanche en fonction de M_S et ρ_(NB).
III.3.2. Application numérique.
III.3.3. Déterminer la période de rotation de la naine blanche, notée Θ_(NB), en fonction de R_S, R_(NB) et Θ_S.
III.3.4. Application numérique.
III.3.5. Quelle est la condition sur R_(NB), en fonction de G, M_S, R_S et Θ_S pour que la naine blanche soit stable dynamiquement?
III.3.6. Application numérique.

Une lunette astronomique est schématisée par deux lentilles minces convergentes, l'une notée L_1 et appelée objectif, de focale f^′_1 = 50 cm et l'autre, notée L_2 et appelée oculaire, de focale f^′_2 = 2 cm. Le plan focal image de L_1 est confondu avec le plan focal objet de L_2. Le centre optique de L_1 est noté O_1 et celui de L_2 est noté O_2. Le point focal image de L_1 est noté F^′_1 et le point focal objet de L_2 est noté F_2.
La lunette est utilisée dans les conditions de Gauss,
IV.1. Représenter sur le document réponse 1 du feuillet mobile, le trajet des émergents associés à un rayon incident parallèle à l'axe optique.
IV.2. Représenter sur le document réponse 2 du feuillet mobile, le trajet des émergents associés à un rayon incident qui fait un angle α avec l'axe optique. On notera B_1 le point d'intersection de ce rayon avec le plan focal image de L_1 et α^′ l'angle que fait le rayon émergent de L_2 avec l'axe optique. Penser à rendre le feuillet mobile avec la copie.
IV.3. Déterminer le grossissement (angulaire) G = (α^′)/α en fonction de f^′_1 et f^′_2.
IV.4. Application numérique : calculer G.

On utilise la lunette précédente qu'on dirige vers un groupe de deux étoiles très voisines S_1 et S_2 qu'on suppose ponctuelles. Elles émettent une même lumière monochromatique de longueur d'onde λ = 0, 6μ m d'intensités respectives I_1 et I_2. La face d'entrée de l'objectif est masquée par un écran, représenté en figure 1 page suivante, percé de deux fines fentes de Young, parallèles, et perpendiculaires au plan de cette figure 1, qui contient les sources S_1, S_2 et l'axe optique; on peut faire varier la distance, notée e, entre ces deux fentes fines notées A_1 et A_2. Toute l'étude qui suit se fait dans le plan focal image de L_1 de sorte que la présence de l'oculaire n'a pas d'importance dans cette partie.

Les fentes sont supposées de très grande longueur.

On dispose la lunette de sorte que S_1 et S_2 soient symétriques par rapport à son axe optique. Celui-ci fait donc les angles ε/2 avec la direction de S_1 et − ε/2 avec celle de S_2, ε étant la distance angulaire entre S_1 et S_2. Le dispositif est représenté sur la figure 1, ci-dessous. Seuls trois rayons issus de S_1 sont représentés sur cette figure.
V.1.1. Les deux étoiles constituent-elles des sources cohérentes? Que peut-on en déduire en ce qui concerne les éclairements qu'elles produisent dans le plan focal image de L_1 ?
V.1.2. On cherche l'aspect du plan focal image de L_1 si S_1 était seule. Exprimer la différence de marche, au point M d'abscisse x, entre les deux ondes issues de S_1, passant par A_1 et A_2, en fonction de e, ε, x et f^′_1, focale de L_1. On suppose f_1^′≫e et f_1^′≫|x|.
V.1.3. En déduire l'éclairement au point M en fonction de e, ε, x, f^′_1, λ et I_1.
V.1.4. Déterminer l'interfrange de la figure d'interférences ainsi produite en fonction de λ, f^′_1 et e.
V.1.5. Application numérique : calculer l'interfrange avec e = 6 mm et f^′_1 = 50 cm.
V.1.6. Reprendre les questions V.1.2 à V.1.5 pour S_2 supposée seule.
V.1.7. Déterminer l'éclairement total au point M résultant des deux composantes de l'étoile double.
V.1.8. Observe-t-on des franges d'interférences et, si oui, quel est l'interfrange? Justifier votre réponse.
V.2. On suppose, dans cette partie, S_1 et S_2 de même intensité.
V.2.1. En mettant l'éclairement de la question V.1.7 sous forme d'une somme d'un terme constant et d'un produit de deux fonctions sinusoïdales, déterminer les valeurs maximales et minimales de l'éclairement.
V.2.2. En déduire le contraste du système de franges et montrer que les franges disparaissent pour certaines valeurs de e
V.2.3. Application numérique : la plus petite distance entre A_1 et A_2 pour laquelle les franges disparaissent est e_m = 71 mm. Calculer la distance angulaire entre les deux composantes de l'étoile double.

On étudie, dans cette partie, quelques aspects de la diffraction à l'infini par l'objectif de la lunette astronomique et on applique les résultats au pouvoir séparateur de l'objectif.
VI.1. Rappeler le principe de diffraction (principe de Huygens Fresnel).
VI.2. On considère une onde lumineuse plane, monochromatique de longueur d'onde λ se propageant dans le vide. Cette onde est diffractée par une ouverture plane S située dans le plan xO_1 y, O_1 étant une origine prise sur l'ouverture diffractante. On observe l'onde diffractée à l'infini dans la direction du vecteur unitaire u⃗(α, β, γ) peu incliné sur la normale Oz au plan de la pupille. Le dispositif est illustrée en figure 2, page suivante.
VI.2.1. L'onde lumineuse incidente se propage perpendiculairement au plan xO_1 y. Déterminer l'amplitude complexe de l'onde da(α, β, γ) diffractée «à l'infini dans la direction» u⃗(α, β, γ) par un petit élément de surface de l'ouverture diffractante d'aire dS = dx.dy situé au voisinage du point M(x, y) en fonction de α, β, x, y, λ, dS, et d'une constante s_0 qu'on n'explicitera pas.
VI.2.2. Que deviendrait l'expression précédente si la direction de propagation de l'onde incidente définie par son vecteur unitaire u⃗_0 était u⃗_0(α_0, β_(0,)γ_0) avec α_0 et β_0 non nuls (mais très petits devant 1) et γ_0 ≈ 1.
VI.3. L'ouverture diffractante est l'objectif circulaire L_1 de la lunette astronomique de rayon R. L'objectif joue simultanément le rôle de l'objet diffractant et de la lentille qui ramène l'infini dans le plan focal de la lentille. On observe la figure de diffraction à l'infini dans le plan focal image de L_1.
VI.3.1. Compte tenu de la symétrie du problème, que peut-on dire de la figure de diffraction dans le plan focal image de L_1 ?
VI.3.2. Déterminer, sous forme d'une intégrale simple en x , qu'on ne cherchera pas à calculer, l'amplitude complexe a^′ diffractée à l'infini dans la direction particulière u⃗^′(α, β = 0, γ) en fonction de α, λ, R et de s^′_0, constante qu'on n'explicitera pas.
VI.3.3. A une constante multiplicative près, la valeur de a^′, réelle, est donnée numériquement dans le tableau ci-dessous avec m = 2πRα/λ :

Déterminer l'intervalle δx^′ séparant les premiers minima nuls situés de part et d'autre de F^′_1. Cet intervalle représente le diamètre du premier anneau noir de la figure de diffraction.
VI.4. On applique les résultats précédents au pouvoir de résolution de l'objectif L_1. On observe l'étoile double de la partie V. La face d'entrée de l'objectif n'est plus masquée par l'écran percé des deux fentes A_1 et A_2.
VI.4.1. Déterminer la distance δ séparant les images des deux étoiles S_1 et S_2 dans le plan focal image de L_1, en fonction de ε et f^′_1.
VI.4.2. Les deux images sont, lorsque les étoiles sont d'intensités comparables, supposées distinctes si le maximum central de la figure de diffraction correspondant à l'une des étoiles coïncide avec le premier minimum nul de la figure de diffraction correspondant à l'autre étoile. Quelle doit être la valeur minimale de ε, notée ε_m pour que les deux étoiles puissent être effectivement séparées.
VI.4.3. Application numérique : calculer ε_m et δ_m avec R = 10 cm, les autres grandeurs étant déjà définies dans les questions précédentes.

Épreuve/sous-épreuve:
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