Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatique
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE 1
On note la base canonique de .
On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est la matrice donnée par :
On considère également l'endomorphisme de défini par :
Enfin, on pose :
a. Calculer .
b. Montrer que la famille est une base de .
c. On note la matrice de passage de la base à la base . Expliciter la matrice et calculer .
a. Déterminer la matrice de dans la base .
b. En déduire les valeurs propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
c. L'endomorphisme est-il bijectif ?
d. Expliciter, sans justification, le lien entre les matrices et .
a. Déterminer la matrice de dans la base .
b. Montrer : .
c. En déduire les valeurs propres de , ainsi qu'une base de chaque sous-espace propre.
d. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
On pose : .
4. a. Montrer que est un espace vectoriel.
b. Soit une matrice appartenant à .
Montrer que n'est pas inversible. (On pourra raisonner par l'absurde).
5. On cherche à montrer que n'est pas réduit à l'ensemble .
a. Justifier que, pour tout réel , les matrices et ont même rang, la matrice désignant la matrice identité de .
b. En déduire que les matrices et admettent une valeur propre en commun, notée .
c. Soient un vecteur propre de associé à la valeur propre , et un vecteur propre de associé à la valeur propre . On note : .
Montrer que la matrice est non nulle et que appartient à .
d. En déduire : .
EXERCICE 2
Dans tout cet exercice, désigne la fonction définie sur par :
PARTIE I : Étude de la fonction
Dresser le tableau de variations de en précisant ses limites en 0 et en .
Montrer que l'équation , d'inconnue , admet exactement deux solutions, que l'on note et , telles que .
Montrer : . On donne .
PARTIE II : Êtude d'une suite
On pose: et .
4. Montrer que la suite est bien définie et que l'on a: .
5. Déterminer la monotonie de la suite . En déduire qu'elle converge et préciser sa limite.
6. a. Montrer : .
b. En déduire : .
7. a. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function qui, prenant en argument un entier de , renvoie la valeur de .
b. Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un réel epsilon strictement positif, elle renvoie une valeur approchée de à epsilon près.
function b = valeur_approchee(epsilon)
n = 0
while .........
n = n+1
end
b = suite(n)
endfunction
PARTIE III : Étude d'une fonction définie par une intégrale
On note la fonction donnée par :
Montrer que est bien définie et dérivable sur , et que l'on a :
En déduire les variations de sur .
Montrer : .
a. Montrer que est prolongeable par continuité en 0 .
On note encore la fonction ainsi prolongée. Préciser alors .
b. Montrer : .
On admet que la fonction est alors dérivable en 0 et que .
12. On donne et on admet que .
Tracer l'allure de la courbe représentative de ainsi que la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
PARTIE IV : Étude d'une fonction de deux variables
On considère la fonction de classe sur l'ouvert définie par :
a. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de en tout de .
b. Montrer que la fonction admet exactement deux points critiques : et , où les réels et sont ceux introduits dans la question 2.
a. Écrire la matrice hessienne, notée , de au point .
b. Montrer que admet deux valeurs propres distinctes, notées et , vérifiant
c. La fonction présente-t-elle un extremum local au point ?
15. La fonction présente-t-elle un extremum local au point ?
EXERCICE 3
On dispose d'une pièce de monnaie amenant Pile avec la probabilité et Face avec la probabilité .
PARTIE I : Étude d'une première variable aléatoire
On effectue une succession de lancers avec cette pièce et on définit la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus avant l'obtention du deuxième Pile.
a. Décrire les événements puis calculer leurs probabilités.
b. Montrer : .
PARTIE II : Étude d'une expérience en deux étapes
On effectue une succession de lancers avec la pièce précédente jusqu'à l'obtention du deuxième Pile; puis en fonction du nombre de Face obtenus, on place boules dans une urne, les boules étant numérotées de 0 à et indiscernables au toucher, et enfin on pioche au hasard une boule de cette urne.
On note toujours la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face obtenus, et on note la variable aléatoire prenant la valeur du numéro de la boule obtenue. On pose : .
2. a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable .
b. Déterminer, pour tout de , la loi conditionnelle de sachant .
c. En déduire, pour tout de :
d. Montrer que admet une espérance et une variance et les calculer.
3. a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable .
b. Déterminer, pour tout de , la loi conditionnelle de sachant .
c. En déduire la loi de .
4. Montrer que les variables aléatoires et sont indépendantes.
5. Que vaut ? En déduire .
PARTIE III : Étude d'un jeu
Dans cette partie, désigne un réel de .
Deux individus et s'affrontent dans un jeu de Pile ou Face dont les règles sont les suivantes:
le joueur dispose de la pièce amenant Pile avec la probabilité et lance cette pièce jusqu'à l'obtention du deuxième Pile; on note la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus;
le joueur dispose d'une autre pièce amenant Pile avec la probabilité et lance cette pièce jusqu'à l'obtention d'un Pile; on note la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de Face alors obtenus;
le joueur gagne si son nombre de Face obtenus est inférieur ou égal à celui de ; sinon c'est le joueur qui gagne.
On dit que le jeu est équilibré lorsque les joueurs et ont la même probabilité de gagner.
6. Simulation informatique
a. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function simule_X() qui simule la variable aléatoire .
b. On suppose que l'on dispose d'une fonction simule_Y qui, prenant en argument un réel de , simule la variable aléatoire . Expliquer ce que renvoie la fonction suivante :
function r = mystere(p)
r = 0
N = 10^4
for k = 1:N
x = simule_X()
y = simule_Y(p)
if x <= y then
r = r + 1/N
end
end
endfunction
c. On trace, en fonction de , une estimation de la probabilité que gagne et on obtient le graphe suivant :
À la vue de ce graphe, conjecturer une valeur de pour lequel le jeu serait équilibré.
7. Étude de la variable aléatoire
On note la variable aléatoire prenant la valeur du nombre de lancers effectués par le joueur .
a. Reconnaître la loi de et préciser son(ses) paramètre(s), son espérance et sa variance.
b. Exprimer à l'aide de et en déduire l'existence de l'espérance et de la variance de et préciser leurs valeurs.
c. Montrer : .
8. a. Montrer : .
b. Déduire des résultats précédents : .
c. Déterminer la valeur de pour lequel le jeu est équilibré.
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