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BCE Maths appliquees ESCP ECE 2005

Epreuve de maths appliquees - ECE 2005

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Algèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généralisées
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Banque
BCE
Année
2005
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2005ECE MathématiquesMathématiques 2005

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2005.

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OPTION : ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Jeudi 19 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

Dans tout l'exercice, désigne un espace vectoriel réel de dimension , avec . Si est un endomorphisme de , pour tout entier naturel , on note l'endomorphisme défini par récurrence par , où représente l'endomorphisme identité, et .
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. Dans cette partie, on suppose que l'entier est égal à 2 , et on considère un endomorphisme vérifiant et .
  1. Montrer qu'il existe un vecteur de tel que ( ) soit une base de .
  2. En déduire que la matrice associée à dans cette base est .
Partie B. Dans cette partie, on suppose que et on cherche à résoudre l'équation , où est un endomorphisme de . Soit une solution de cette équation.
  1. Montrer qu'il n'existe pas de scalaire tel que l'équation d'inconnue , admette une solution non nulle.
  2. Soit un vecteur non nul de . Montrer que la famille ( ) est libre. On note le sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Quelle est la dimension de ?
  3. a) Montrer qu'il existe une base de de la forme ( ).
    b) Soit le sous-espace vectoriel de engendré par la famille ( ); soit un vecteur non nul de . Montrer que la famille ( ) est libre.
  4. Montrer que dans une base bien choisie, la matrice associée à s'écrit :
Partie . On suppose dans cette partie, que désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3 .
On définit sur l'application qui, à tout polynôme de , associe défini par :
où et sont respectivement les dérivées première et seconde de .
  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. a) Écrire la matrice associée à dans la base canonique de .
    b) En déduire que l'ensemble des valeurs propres de est .
On note et les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres 0 et -2 .
c) Déterminer une base de et une base de .
d) L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
3. On veut résoudre dans cette question, l'équation , dans laquelle l'inconnue désigne un endomorphisme de . Soit une solution de cette équation.
a) Montrer qu'il existe une base de dans laquelle la matrice associée à s'écrit :
b) Montrer que et commutent, c'est-à-dire que pour tout de , on a .
c) On s'intéresse à la restriction de à . Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme de qu'on notera .
Montrer de même que la restriction de à définit un endomorphisme de qu'on notera .
4. En utilisant les résultats des parties précédentes, donner la forme d'une matrice associée à .

PROBLÈME

Partie I

Dans cette partie, est une suite de réels strictement positifs, décroissante et de limite nulle.
Pour tout entier naturel , on pose :
  1. a) Montrer que la suite est décroissante, et que la suite est croissante.
    b) Montrer que, pour tout de . En déduire que la suite admet une limite , et que la suite admet la même limite .
    c) En déduire que la suite converge vers .
  2. Montrer que la série de terme général ( -1 est convergente.
  3. Montrer que la série de terme général est convergente. On note sa somme.
  4. a) Établir, pour tout réel positif et pour tout de , l'égalité :
b) En déduire que pour tout de :
c) En déduire la valeur de la somme .

Partie II

Deux amis, Pierre et Paul jouent au jeu suivant : ils possèdent une machine qui, à chaque sollicitation, leur donne aléatoirement un entier naturel ; chaque sollicitation constitue une manche de ce jeu et :
  • si cet entier est impair, Paul donne Euros à Pierre : on considère que Pierre gagne et que son gain est égal à ;
  • si cet entier est pair, Pierre donne Euros à Paul : on considère que Pierre perd et que son gain est égal à ;
  • si , on considère que Pierre perd, et que son gain est égal à 0 .
On considère un espace probabilisé ( ) qui modélise le jeu.
Soit la variable aléatoire correspondant au nombre obtenu lors d'une sollicitation.
  1. On suppose, jusqu'à la fin de la question 5 , que la loi de probabilité de est définie par :
où est un réel strictement positif.
a) Déterminer deux réels et tels que, pour tout de :
b) En déduire la valeur de .
2. a) Calculer la probabilité que Pierre gagne une manche quelconque.
b) Calculer l'espérance du gain de Pierre pour une manche.
3. Pierre et Paul effectuent deux manches consécutives. On suppose que les résultats de ces deux manches sont indépendants.
On note le gain cumulé de Pierre à l'issue de ces deux manches.
Calculer et .
4. a) Montrer que l'intégrale est convergente.
b) Établir, pour tout réel de et pour tout de , l'égalité :
c) Montrer que pour tout entier naturel , l'intégrale converge.
Exprimer en fonction de la valeur de cette intégrale.
d) Montrer que la fonction , définie sur , est prolongeable par continuité en 0 et en 1 .
En déduire qu'elle est bornée sur .
Calculer .
e) En déduire l'égalité : .
On admet que . Calculer la valeur de .
5. a) Déterminer trois réels et tels que pour tout de , on ait l'égalité suivante :
b) Calculer .
6. On suppose dans cette question que suit une loi de Poisson de paramètre .
a) Calculer, en fonction de , la probabilité que Pierre gagne une manche.
b) Comparer la probabilité que Pierre gagne une manche à celle qu'il perde une manche.
c) Calculer l'espérance du gain de Pierre pour une manche.

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