La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

L'objectif du problème est d'étudier les rudiments de la théorie de la communication - ou théorie de l'information - introduite en 1948 par Claude Shannon.

Définitions et notations

désigne un espace probabilisé.

est la fonction définie sur

par

.
Pour un événement

de probabilité non nulle, on pose

est la fonction définie sur [ 0,1 ] par

Pour une variable aléatoire

discrète définie sur (

) à valeurs réelles, on pose sous réserve d'existence :

est à valeurs dans un ensemble fini

, alors

existe et, en notant

, on a:

Remarque : En théorie de l'information,

est appelé incertitude de l'événement

est l'incertitude moyenne - ou entropie - de

Partie I Incertitude des événements

) On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

Soit

l'événement « la carte tirée est la dame de cœur».
Que valent

?
I.

) Soit

. On lance

fois une pièce équilibrée.

est l'événement « obtenir

fois PILE ». Préciser

.
I.

) Vérifier les points suivants :
(i) Pour un événement

quasi-certain :

.
(ii) Si

et l'événement contraire

sont équiprobables, alors

.
(iii) Si

sont indépendants pour la probabilité

et si

, alors

.
I.4') Préciser

quand les événements

sont mutuellement indépendants et

.
En déduire une nouvelle démonstration de

).
I.

) Soit

deux événements tels que

. Comparer

.
I.

) Que vaut

et quelle interprétation peut-on donner de ce résultat?

Partie II Incertitude d'une variable aléatoire discrète

II.

) Soit

. Si

suit la loi uniforme sur

, que vaut

?
II.

) Si on suppose

, que vaut

Comparer

.
II.

) On se propose de simuler informatiquement une variable aléatoire.

On supposera que random(3) fournit au hasard un nombre élément de

et que random(2) fournit au hasard un élément de

program ESSEC2003
var
    ini,y : integer;
begin
    ini:=random(3);
    if ini=3 then y:=random(2) ; else y:=3 ;
end ;

On appelle

le contenu de y après exécution du programme ESSEC2003.
Donner la loi de

, calculer son espérance

et son incertitude

.
II.

) Vérifier que

est continue et positive sur [ 0,1 ].

Est-elle dérivable en 0 ? Étudier

et dessiner sa courbe représentative .
II.

) Soit

une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini.

Montrer que

avec égalité si, et seulement si,

est quasi-certaine.

Partie III Maximalité de l'entropie

III.

) Étude pour

Pour

, on pose

.
a) Pour

, on a clairement

. Que signifie ce résultat quant à la courbe de

dans un repère orthonormé?
b) Étudier

et donner son graphe.
c) Soit

une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre

. Montrer que

avec égalité si, et seulement si,

.
III.

) Étude pour

.
a) Soit

l'ensemble des

vérifiant

la fonction définie sur

par :

On admet que

est un ouvert. Montrer que

admet au plus un extremum sur

.
b) Justifier par un argument de convexité :

Dans la suite, on pourra utiliser sans démonstration que si, et seulement si, .
c) En déduire que admet un maximum global sur .
On pourra utiliser (1) pour et pour entre autres.
d) Soit une variable aléatoire à valeurs dans . Montrer que :
avec égalité si, et seulement si, suit la loi uniforme sur
III. ) Soit . Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On pose .
a) Dans cette question on suppose que pour tout .

En utilisant (1) pour les

, montrer que :

avec égalité si, et seulement si,

suit la loi uniforme sur

.
b) Vérifier que la conclusion du a) est encore vraie en supprimant la condition «

pour tout

».
III.

) Soit

[ et

une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

On pose

et pour

.
a) Rappeler la valeur de

, montrer que

existe et la calculer.
b) Soit

une variable aléatoire telle que

existe.

Pour

, on pose

et on supposera

.
En utilisant (1) vérifier que pour tout

, on a :

et établir :

avec égalité si, et seulement si,

suit la même loi que

Partie IV Incertitude d'une variable aléatoire continue

Pour une variable aléatoire

admettant une densité

continue sur

éventuellement privé d'un nombre fini de points, on dit que

admet une incertitude quand l'intégrale

converge.
Dans ce cas, la valeur de l'intégrale

est appelée incertitude de

.
IV.

) Cas des lois normales
a) Soit

une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

Montrer que

existe et calculer

.
b) Soit

une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne

et d'écart type

.
Montrer que

existe et calculer

.
IV.

) Soit

une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre

. On désignera par

la densité de

.
a) Montrer que

existe et calculer

en fonction de

.
b) Soit

une variable aléatoire à valeurs dans

, admettant une densité

. On suppose que

existe et que

admet une espérance égale à

.
Montrer que :

En utilisant (1) montrer que

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