Vendredi 30 avril 2021, de 8 h. à 12 h.

Une des situations les plus fréquentes dans l'entretien d'un site concerne la gestion des équipements et, notamment, le fait de prévoir le remplacement d'éléments défaillants. Imaginons par exemple qu'un local soit éclairé par une ampoule. Celle-ci a une durée de vie aléatoire; quand elle tombe en panne, elle est immédiatement remplacée par une nouvelle ampoule et ainsi de suite... Une bonne gestion nécessite donc d'avoir connaissance du comportement des pannes successives, et notamment de ce comportement en moyenne, pour pouvoir prévoir un stock d'ampoules de rechange. Une telle situation s'appelle un processus de renouvellement et le but du problème est l'étude d'un modèle probabiliste la décrivant. Dans la première partie, on examine le comportement asymptotique des temps de panne. Dans la deuxième, on regarde quelques propriétés de base du processus. Enfin la troisième est consacrée à la détermination du comportement asymptotique du nombre de pannes moyen.
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé ( ).
Pour toute variable aléatoire , on notera son espérance et sa variance quand elles existent. On admettra en outre la propriété suivante : si et sont deux variables aléatoires positives telles que et existe, alors admet une espérance et .
Pour tout le problème, on se donne une suite de variables aléatoires réelles positives, indépendantes et de même loi. On notera, pour tout réel la fonction de répartition de la variable aléatoire . On suppose . De plus, on suppose que admet un moment d'ordre 4, .

On pose et, pour tout entier .

(a)
i) Soit un entier naturel tel que . Montrer que .
ii) Montrer que pour tout admet une espérance.

On notera tout au long du problème .
iii) Montrer que .
iv) Montrer que la variable aléatoire admet un moment d'ordre 4.
2) Soit une suite d'événements telle que la série de terme général converge.

On pose pour tout entier .
(a) Montrer que . On pose .
(b) Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
(*) ;
appartient à pour une infinité de valeurs de .
(c) Montrer que .
(d) Montrer que si et sont deux événements, on a .
(e) Montrer que .
(f) Déduire que .
3) Soit une suite de variables aléatoires réelles positives indépendantes, centrées et de même loi. On suppose que admet un moment d' ordre 4 et on note et . On pose enfin, pour tout entier .
(a) Montrer que pour tout réel donné, on a .
(b) Soit .
i) Montrer que .
ii) Montrer que .
iii) Montrer que

où désigne une variable aléatoire fonction de (on ne cherchera pas à expliciter cette variable aléatoire).
iv) Montrer que .
v) Montrer qu'il existe une constante telle que pour tout entier strictement positif

vi) Montrer que .
4) On définit, pour tout entier , l'événement .
(a) Montrer que la série de terme général est convergente.
(b) En déduire que la probabilité pour que se produise pour une infinité de valeurs de est nulle.
(c) Montrer que l'événement a pour probabilité 1 .
(d) Montrer que l'événement a pour probabilité 1 .
5)
(a) Montrer que pour tout , la suite de réels est croissante.

On considère la fonction définie sur par avec si diverge.
(b) Montrer que si , alors .
(c) En déduire que .

On a montré dans la partie précédente qu'avec probabilité 1 , la suite tend vers l'infini. On peut donc définir, pour tout réel , la variable aléatoire

C'est le processus de renouvellement associé à la suite .
6)
(a) Soient deux réels et tels que . Montrer que .
(b) Soient et . Montrer l'égalité des événements et .
(c) Pour donné, montrer que la limite existe (elle est éventuellement infinie). On note cette limite.
(d) Soient et . On suppose .
i) Montrer qu'il existe tel que .
ii) Montrer qu'alors , et pour tout .
iii) En déduire que si alors nécessairement pour tout réel positif, ce qui est absurde.
iv) Conclure que .
7) On souhaite écrire une fonction en Scilab qui simule informatiquement la variable . On suppose que la fonction x renvoie une réalisation de la variable aléatoire . Compléter la fonction suivante, qui prend en argument un nombre réel , et renvoie une réalisation de :

function N = Renouvellement (t)
        N=O;
        S=0;
    while ...
    ...
endfunction

(a) Montrer que pour tout et pour tout

(b) Pour tout réel , pour tout entier naturel , on note .
i) Déterminer et .
ii) Montrer que .
9) Soient quatre variables aléatoires à valeurs dans . On suppose que et suivent la même loi et que pour tous entiers naturels et tels que , on a

Montrer que et suivent la même loi.
10) Soit une suite de variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre .

On note .
(a) Montrer que pour tout .
(b) Pour tout entier , on pose .
i) Montrer que pour tout , on a

ii) Montrer que pour tout et , on a

(c) On suppose que pour tout entier .
i) Montrer que pour tous entiers et tels que , on a

ii) En déduire que pour tout entier a même loi que .
(d) Montrer que pour tout réel et tout entier naturel non nul, on a

où désigne le plus grand entier naturel inférieur ou égal à (par convention si ).

Le but de cette partie est d'obtenir des propriétés asymptotiques, en moyenne, du processus de renouvellement.
11)
(a) Montrer que pour tout réel .
(b) En déduire que pour tout , il existe tel que pour tout réel ,

(c) Montrer que l'événement a pour probabilité 1.
(d) Montrer que l'événement a pour probabilité 1 .
(e) En déduire que l'événement a pour probabilité 1 .

On va maintenant chercher à montrer que le résultat précédent s'étend en moyenne, c'est-à-dire que

avec la convention pour tout tel que .
(a) Soit . Montrer qu'il existe tel que pour tout entier , on a .
(b) En déduire que l'événement a pour probabilité 1 .
(c) Montrer que pour tout entier . On n'a donc pas .
13) Soit une variable aléatoire à valeurs dans . On note .
(a) Montrer que où

On suppose désormais que vérifie la propriété suivante : pour tout entier , la variable est indépendante des variables . On admettra que si est une suite de variables aléatoires positives, l'écriture formelle est toujours valide sous réserve d'existence.
(b) Montrer que les variables aléatoires et sont indépendantes.
(c) Soit une variable aléatoire à valeurs dans .
i) Montrer que .
ii) Montrer que .
(d) Montrer que .
14)
(a) Soient un réel et un entier . On pose . Montrer que la variable aléatoire est indépendante de .
(b) En déduire que puis que .
15) Montrer que pour tout .
16) Soit . On pose .
(a) Montrer que les variables forment une suite de variables aléatoires indépendantes, positives et de même loi.
(b) On pose et . On considère le processus de renouvellement associé .
i) Montrer que .
ii) Montrer que .
iii) Montrer que .
(c)
i) Montrer que pour tout réel .
ii) En déduire que pour tout réel ,

(d) On choisit .
i) Montrer que

ii) Montrer que .
iii) En déduire que .
iv) Conclure que .