BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2021, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Vendredi 30 avril 2021, de 8 h. à 12 h.

Une des situations les plus fréquentes dans l'entretien d'un site concerne la gestion des équipements et, notamment, le fait de prévoir le remplacement d'éléments défaillants. Imaginons par exemple qu'un local soit éclairé par une ampoule. Celle-ci a une durée de vie aléatoire; quand elle tombe en panne, elle est immédiatement remplacée par une nouvelle ampoule et ainsi de suite... Une bonne gestion nécessite donc d'avoir connaissance du comportement des pannes successives, et notamment de ce comportement en moyenne, pour pouvoir prévoir un stock d'ampoules de rechange. Une telle situation s'appelle un processus de renouvellement et le but du problème est l'étude d'un modèle probabiliste la décrivant. Dans la première partie, on examine le comportement asymptotique des temps de panne. Dans la deuxième, on regarde quelques propriétés de base du processus. Enfin la troisième est consacrée à la détermination du comportement asymptotique du nombre de pannes moyen.
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
Pour toute variable aléatoire Y, on notera E(Y) son espérance et Var(Y) sa variance quand elles existent. On admettra en outre la propriété suivante : si Y et Z sont deux variables aléatoires positives telles que Y ≤ Z et E(Z) existe, alors Y admet une espérance et E(Y) ≤ E(Z).
Pour tout le problème, on se donne une suite de variables aléatoires réelles (X_n)_(n ≥ 1) positives, indépendantes et de même loi. On notera, pour tout réel t, F(t) = P(X_1 ≤ t) la fonction de répartition de la variable aléatoire X_1^–. On suppose F(0) = P(X_1 = 0) < 1. De plus, on suppose que X_1 admet un moment d'ordre 4, E(X_1^4).

On pose S_0 = 0 et, pour tout entier n ≥ 1, S_n = ∑_(i = 1)^n X_i.

(a)
i) Soit r un entier naturel tel que 1 ≤ r ≤ 4. Montrer que X_1^r ≤ 1 + X_1^4.
ii) Montrer que pour tout r ∈ {1, 2, 3, 4}, X_1^r admet une espérance.

On notera tout au long du problème μ = E(X_1).
iii) Montrer que μ > 0.
iv) Montrer que la variable aléatoire X_1 − μ admet un moment d'ordre 4.
2) Soit (A_n)_(n ≥ 1) une suite d'événements telle que la série de terme général P(A_n) converge.

On pose pour tout entier n ≥ 1, B_n = ⋃_(k = n)^(+ ∞)A_k.
(a) Montrer que ∀n ≥ 1, B_n ⊃ B_(n + 1). On pose B = ⋂_(n = 1)^(+ ∞)B_n.
(b) Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
(*) ω ∈ B;
(∗∗)ω appartient à A_k pour une infinité de valeurs de k.
(c) Montrer que P(B) = lim_(n → + ∞)P(B_n).
(d) Montrer que si C et D sont deux événements, on a P(C ∪ D) ≤ P(C) + P(D).
(e) Montrer que P(B_n) ≤ ∑_(k = n)^(+ ∞)P(A_k).
(f) Déduire que P(B) = 0.
3) Soit (Y_k)_(k ≥ 1) une suite de variables aléatoires réelles positives indépendantes, centrées et de même loi. On suppose que Y_1 admet un moment d' ordre 4 et on note Var(Y_1) = E(Y_1^2) = σ^2 et E(Y_1^4) = ρ^4. On pose enfin, pour tout entier n ≥ 1, Σ_n = ∑_(k = 1)^n Y_k.
(a) Montrer que pour tout réel ε > 0 donné, on a lim_(n → + ∞)P(|(Σ_n)/n| > ε) = 0.
(b) Soit ε ∈ ℝ_+^∗.
i) Montrer que P(|(Σ_n)/n| > ε) = P(((Σ_n)/n)^4 > ε^4).
ii) Montrer que P(|(Σ_n)/n| > ε) ≤ 1/(ε^4)E(((Σ_n)/n)^4).
iii) Montrer que

où W_k désigne une variable aléatoire fonction de Y_1, …, Y_(k − 1), Y_(k + 1), …, Y_n (on ne cherchera pas à expliciter cette variable aléatoire).
iv) Montrer que E((Σ_n)^4) = nρ^4 + 3n(n − 1)σ^4.
v) Montrer qu'il existe une constante C > 0 telle que pour tout entier n strictement positif

vi) Montrer que P(|(Σ_n)/n| > 1/(n^(1/8))) ≤ C/(n^(3/2)).
4) On définit, pour tout entier n ≥ 1, l'événement A_n = ⌈|(Σ_n)/n| > 1/(n^(1/8))⌉.
(a) Montrer que la série de terme général P(A_n) est convergente.
(b) En déduire que la probabilité pour que A_n se produise pour une infinité de valeurs de n est nulle.
(c) Montrer que l'événement [lim_(n → + ∞)(Σ_n)/n = 0] a pour probabilité 1 .
(d) Montrer que l'événement [lim_(n → ∞)(S_n)/n = μ] a pour probabilité 1 .
5)
(a) Montrer que pour tout ω ∈ Ω, la suite de réels (S_n(ω))_(n ≥ 0) est croissante.

On considère la fonction S_∞ définie sur Ω par S_∞(ω) = lim_(n → + ∞)S_n(ω) avec S_∞(ω) = + ∞ si (S_n(ω))_(n ≥ 1) diverge.
(b) Montrer que si S_∞(ω) ∈ ℝ_+, alors lim_(n → + ∞)(S_n(ω))/n = 0.
(c) En déduire que P(S_∞ = + ∞) = 1.

On a montré dans la partie précédente qu'avec probabilité 1 , la suite (S_n(ω))_(n ≥ 1) tend vers l'infini. On peut donc définir, pour tout réel t ≥ 0, la variable aléatoire

C'est le processus de renouvellement associé à la suite (X_n)_(n ≥ 1).
6)
(a) Soient deux réels s et t tels que 0 ≤ s ≤ t. Montrer que N_s ≤ N_t.
(b) Soient n ∈ ℕ et t ∈ ℝ_+. Montrer l'égalité des événements [N_t ≥ n] et [S_n ≤ t].
(c) Pour ω ∈ Ω donné, montrer que la limite lim_(t → + ∞)N_t(ω) existe (elle est éventuellement infinie). On note N_∞(ω) cette limite.
(d) Soient ω ∈ Ω et K ∈ ℕ. On suppose N_∞(ω) = K.
i) Montrer qu'il existe T_ω > 0 tel que ∀t ≥ T_ω, N_t(ω) = K.
ii) Montrer qu'alors S_K(ω) ≤ T_ω, et S_(K + 1)(ω) > t pour tout t ≥ T_ω.
iii) En déduire que si N_∞(ω) = K alors nécessairement X_(K + 1)(ω) > t pour tout t réel positif, ce qui est absurde.
iv) Conclure que P(N_∞ = + ∞) = 1.
7) On souhaite écrire une fonction en Scilab qui simule informatiquement la variable N_t. On suppose que la fonction x renvoie une réalisation de la variable aléatoire X. Compléter la fonction suivante, qui prend en argument un nombre réel t, et renvoie une réalisation de N_t :

function N = Renouvellement (t)
        N=O;
        S=0;
    while ...
    ...
endfunction

(a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ et pour tout t ∈ ℝ_+

(b) Pour tout réel t ≥ 0, pour tout entier naturel n, on note F_n(t) = P(S_n ≤ t).
i) Déterminer F_0 et F_1.
ii) Montrer que P(N_t = n) = F_n(t) − F_(n + 1)(t).
9) Soient U, V, U^′, V^′ quatre variables aléatoires à valeurs dans 𝕀N. On suppose que U et U^′ suivent la même loi et que pour tous entiers naturels k et j tels que P(U = k) ≠ 0, on a

Montrer que V et V^′ suivent la même loi.
10) Soit (Z_n)_(n ≥ 1) une suite de variables de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.

On note W = min{k ≥ 1, Z_k = 1}.
(a) Montrer que pour tout i ≥ 1, P(W = i) = p(1 − p)^(i − 1).
(b) Pour tout entier n ≥ 1, on pose W_n = min{k ≥ 1, ∑_(l = 1)^k Z_l = n}.
i) Montrer que pour tout k ≥ n, on a

ii) Montrer que pour tout k ≥ n et j ≥ k + 1, on a

(c) On suppose que pour tout entier i ≥ 1, P(X_1 = i) = p(1 − p)^(i − 1).
i) Montrer que pour tous entiers j et k tels que j ≥ k + 1, on a

ii) En déduire que pour tout entier n ≥ 1, S_n a même loi que W_n.
(d) Montrer que pour tout réel t ≥ 0 et tout entier naturel n non nul, on a

où ⌊t⌋ désigne le plus grand entier naturel inférieur ou égal à t (par convention ∑_(k = r)^s = 0 si r > s ).

Le but de cette partie est d'obtenir des propriétés asymptotiques, en moyenne, du processus de renouvellement.
11)
(a) Montrer que pour tout réel t ≥ 0, S_(N_t) ≤ t < S_(N_t + 1).
(b) En déduire que pour tout ω ∈ Ω, il existe T_ω > 0 tel que pour tout réel t ≥ T_ω,

(c) Montrer que l'événement [lim_(t → + ∞)(S_(N_t))/(N_t) = μ] a pour probabilité 1.
(d) Montrer que l'événement [lim_(t → + ∞)(S_(N_t + 1))/(N_t) = μ] a pour probabilité 1 .
(e) En déduire que l'événement [lim_(t → + ∞)(N_t)/t = 1/μ] a pour probabilité 1 .

On va maintenant chercher à montrer que le résultat précédent s'étend en moyenne, c'est-à-dire que

avec la convention Y_n(ω) = 0 pour tout ω ∈ Ω tel que U(ω) = 0.
(a) Soit ω ∈ Ω. Montrer qu'il existe N_ω ∈ ℕ tel que pour tout entier n ≥ N_ω, on a Y_n(ω) = 0.
(b) En déduire que l'événement [lim_(n → + ∞)Y_n = 0] a pour probabilité 1 .
(c) Montrer que pour tout entier n ≥ 1, E(Y_n) = 1. On n'a donc pas lim_(n → + ∞)E(Y_n) = E(lim_(n → + ∞)Y_n).
13) Soit J une variable aléatoire à valeurs dans ℕ. On note S_J = ∑_(k = 1)^J X_k.
(a) Montrer que S_J = ∑_(k = 1)^(+ ∞)X_k 𝕀_([J ≥ k]) où 𝕀_A(ω) = {0, si ω ∉ A,; 1, si ω ∈ A.

On suppose désormais que J vérifie la propriété suivante : pour tout entier n ≥ 1, la variable 𝕀_([J ≤ n]) est indépendante des variables X_(n + 1), X_(n + 2), …. On admettra que si (W_n)_(n ≥ 1) est une suite de variables aléatoires positives, l'écriture formelle ∑_(n = 1)^(+ ∞)E(W_n) = E(∑_(n = 1)^(+ ∞)W_n) est toujours valide sous réserve d'existence.
(b) Montrer que les variables aléatoires X_k et 𝕀_([J ≥ k]) sont indépendantes.
(c) Soit U une variable aléatoire à valeurs dans 𝕀N.
i) Montrer que U = ∑_(n = 1)^(+ ∞)𝕀_([U ≥ n]).
ii) Montrer que E(U) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)P(U ≥ n).
(d) Montrer que E(S_J) = E(X_1)E(J) = μE(J).
14)
(a) Soient un réel t > 0 et un entier n ∈ ℕ^∗. On pose J = N_t + 1. Montrer que la variable aléatoire 𝕀_([J ≤ n]) est indépendante de X_(n + 1), X_(n + 2), ….
(b) En déduire que E(S_(N_t + 1)) = μ(E(N_t) + 1) puis que E(N_t) = (E(S_(N_t + 1)))/μ − 1.
15) Montrer que pour tout t > 0, (E(N_t))/t ≥ 1/μ − 1/t.
16) Soit b > 0. On pose X~_i = min(b, X_i).
(a) Montrer que les variables X~_i forment une suite de variables aléatoires indépendantes, positives et de même loi.
(b) On pose S~_n = ∑_(i = 1)^n X~_i et μ~_b = E(X~_1). On considère le processus de renouvellement N~_t associé auxX~_i.
i) Montrer que ∀n ≥ 1, S~_n ≤ S_n.
ii) Montrer que ∀t ≥ 0, N~_t ≥ N_t.
iii) Montrer que ∀t ≥ 0, S~_(N~_t + 1) ≤ t + b.
(c)
i) Montrer que pour tout réel t ∈ ℝ_+^∗, (E(N~_t))/t = (E(S~_(N~_t + 1)))/(tμ~_b) − 1/t.
ii) En déduire que pour tout réel b > 0,

(d) On choisit b = √t.
i) Montrer que

ii) Montrer que 0 ≤ X_1 − min(√t, X_1) ≤ X_1 𝕀_([X_1 > √t]).
iii) En déduire que lim_(t → + ∞)E(min(√t, X_1)) = μ.
iv) Conclure que lim_(t → + ∞)(E(N_t))/t = 1/μ.