La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
On s'intéresse dans ce problème aux processus de Markov finis homogènes à temps continu et on étudie deux exemples de modélisation en lien avec des crédits bancaires.
Le problème comporte quatre parties. Les parties 2 et 3 sont indépendantes de la partie 4.
Soit . On considère, dans la suite du problème, une famille de variables aléatoires , pour , sur un espace probabilisé ( ), vérifiant les propriétés suivantes:
(H1) Pour tout .
(H2) Pour tout et des réels positifs, des éléments de et un réel positif, si ,
(H3) Pour tout , la fonction est définie, dérivable sur et n'est pas la fonction nulle. On note l'ensemble des réels positifs tels que .
(H4) Pour tous et , la fonction est constante sur son ensemble de définition et il existe un réel positif que l'on note , tel que, si et ,
(H5) Pour tous et , la fonction est constante sur son ensemble de définition et il existe un réel négatif que l'on note , tel que, si et ,
Partie 1 - Matrice génératrice et système différentiel associés
On note la matrice ligne d'ordre et on note la matrice carrée d'ordre dont les coefficients sont les , appelée matrice génératrice du processus.
On note aussi pour tout .
L'objectif des trois premières questions est d'établir que pour tout .
Montrer que, pour tous et ,
Soit et , justifier que . En déduire que, pour tout et , on a l'égalité :
En conclure que .
3. a) Montrer que, pour tous et , on a alors :
b) En déduire que pour tous et :
En conclure que .
c) Vérifier .
4. Probabilité moyenne d'être dans un état
Soit et une variable aléatoire à valeurs dans qui suit la loi uniforme sur cet intervalle. On pose .
Montrer que existe et vaut . On note cette espérance.
5. On suppose dans cette question que et que où et sont deux réels strictement positifs. On pose , .
a) Montrer que vérifie l'équation différentielle d'ordre 1 sur .
b) En conclure que pour tout ,
c) Montrer que pour tout et que .
d) Déterminer .
6. On suppose dans cette question que et .
Pour tout , on note (respectivement ) la transposée de la matrice ligne (respectivement ).
a) Montrer que et 0 sont des valeurs propres de .
b) On pose . Justifier que .
c) Calculer . En déduire que .
d) On pose, pour tout . Montrer que pour tout , .
e) En conclure que, pour tout où , puis que pour .
7. Temps initial passé dans un état - On pose pour tout et on suppose dans cette question que, si alors .
On définit les variables aléatoires, et égales, au premier instant où pour et au premier instant où pour . On admet que ces instants existent. Ainsi est à valeurs dans et si .
Soit tel que . On admet que pour tout , lorsque est un entier naturel assez grand et que l'on a :
a) Montrer que pour tout et assez grand :
b) En déduire que pour tout . Quelle est la loi de pour la probabilité conditionnelle ?
c) Montrer que pour tout .
d) En conclure que est une variable à densité et déterminer une densité de .
e) On note . Établir que admet une espérance égale à .
Partie 2 - Matrice de transition, lien avec la matrice génératrice
On utilise les notations de la partie 1.
8. Définition de la matrice de transition - Pour tous et , si , on pose
qui ne dépend pas de d'après les hypothèses (H4) et (H5).
On note la matrice d'élément générique .
a) Établir que pour tout .
b) Soit . En utilisant la propriété (H2) et en distinguant les cas où est nulle ou non, montrer que pour tous , et des réels positifs :
En déduire que, pour tous et des réels positifs,
c) En conclure que pour tous et t, des réels positifs, .
d) Montrer que pour tout et réel positif, .
Si est une suite de matrices appartenant à une matrice appartenant à , si l'on note le coefficient d'indice ( ) de la matrice le coefficient d'indice de , alors on écrira si pour , .
On dit alors que la suite converge vers .
On admet, dans la suite de cette partie et dans la partie 3 , que pour tout ,
On veut simuler le processus à partir de la donnée de la matrice et de . On admet que pour , on peut considérer que .
On importe des bibliothèques:
On rappelle que si M est une matrice, représentée par un tableau numpy, désigne le vecteur des coefficients de j -ème colonne de M , de même pour et la i-ème ligne de M.
a) Écrire une fonction Python transition ( ) de paramètres représentant la matrice génératrice carrée d'ordre et t , qui renvoie la matrice .
b) Utiliser la fonction précédente pour écrire une fonction traceLoi2Xt (G,L0,tmax) qui trace, sur un même graphique, les graphes des fonctions sur le segment pour variant de 1 à et L0 représentant, respectivement, la matrice génératrice du processus et la ligne .
On utilisera 1000 points pour les graphes.
c) Si est la matrice de la partie I, question 6, l'instruction,
Expliquer en quoi ce graphique est cohérent avec un résultat obtenu précédemment.
d) On veut simuler et représenter, sur un même graphique, les valeurs de , pour et , à partir de la loi de donnée dans une ligne L0. Compléter la fonction suivante pour qu'elle réalise cette tâche :
def simulX(t,k,LO,G):
listeDesT=[] ; listeDesX = []
Mt=transition(t,G) ; Lt=L0
for i in range(k+1):
listeDesT.append(i*t)
p=rd.random()
s=...
j=0
while p>...:
j+=1
s+= Lt [j]
Lt=...
listeDesX.append(j+1)
plt.plot(listeDesT,listeDesX) ; plt.show()
Partie 3 - Deux exemples de modélisations
On conserve les notations des deux premières parties.
10. On considère trois états pour le recouvrement d'un crédit bancaire après un défaut de paiement et un accord entre le débiteur et l'organisme de crédit sur la somme à recouvrer :
1 - en cours de recouvrement, lorsque le débiteur est en train de régulariser sa créance ;
2 - recouvré, lorsque le débiteur a honoré la totalité du montant dû ;
3 - non recouvré, lorsque l'organisme de crédit considère que l'argent est définitivement perdu.
La matrice génératrice du processus de Markov modélisant ce phénomène est et et étant des réels strictement positifs.
a) Montrer que pour tout .
b) En déduire que pour tous et réel : .
c) Montrer que pour tous et réel, et en déduire que pour tout ,
d) En conclure que pour tout ,
e) En utilisant les résultats de la question 7 de la partie I, montrer que le temps aléatoire passé en recouvrement suit la loi exponentielle de paramètre .
11. On distingue, pour l'accès au crédit d'une organisation, trois niveaux de solvabilité :
1 - niveau C ;
2 - niveau B ;
3 - niveau A .
On suppose que ce niveau évolue dans le temps suivant un processus de Markov avec et . On note aussi .
a) On admet que . Calculer (on explicitera . Que peut-on dire du polynôme ?
Soit et , on admet qu'il existe un polynôme et des réels tels que, pour tout réel : .
b) Déterminer une factorisation de et en déduire que et .
c) En dérivant la relation (*), montrer que , .
En déduire que .
d) En conclure que pour tout ,
puis préciser la loi de .
Partie 4 - Démonstration de l'égalité (**) admise dans la partie 2
On utilise les notations et définitions des deux premières parties.
On définit pour appartenant à c'est-à-dire la plus grande valeur que prend lorsque décrit .
On admet que si est une suite de matrices appartenant à et appartenant aussi à si et seulement si .
Un exemple - Si , montrer que .
Soit .
a) Établir .
b) En utilisant la question 2 de la partie 1 , montrer que pour assez grand, .
Soient et deux matrices appartenant à .
a) Etablir que .
b) Montrer que .
c) Démontrer que, puis que pour tout entier naturel .
d) Vérifier que pour tout .
e) On pose . Montrer, par récurrence sur , que pour tout ,
Soit un réel positif et .
a) Justifier que .
b) Montrer que pour tout assez grand,
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