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BCE Maths appliquees HEC/ESSEC ECG 2023

Epreuve de maths appliquees - ECG 2023

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Probabilités continuesStatistiquesProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsInformatique
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Banque
BCE
Année
2023
Filière
ECG
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECG MathématiquesBCE ECG 2023ECG MathématiquesMathématiques 2023

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECG, session 2023.

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da724b38-253d-4884-8a23-243a8bbd65c8

Code sujet : 288

BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE
VOIE GENERALE

Jeudi 27 avril 2023, de 14 h. à 18 h.

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On s'intéresse dans ce sujet à la méthode de Stein, introduite par Charles Stein (1920/2016) en 1972, dont les développements et applications sont nombreux.
Les parties 1 et 2 concernent la justification de la méthode, elles sont indépendantes.
Dans la partie 3, on s'intéresse à l'estimation en un point d'une densité d'une loi de probabilité. Cette partie peut être traitée indépendamment des deux premières parties.
Dans la partie 4, on met en oeuvre la méthode de Stein, vue dans les parties 1 et 2, pour établir des convergences «uniformes » en loi et on démontre le résultat admis dans la partie 3. Cette partie est indépendante de la partie 3 à l'exception de sa dernière question.
Dans tout le problème :
  • les variables aléatoires considérées sont définies sur le même espace probabilisé ( ).
  • si est une variable aléatoire, et désignent respectivement, lorsqu'elles existent, l'espérance et la variance de .
  • désigne l'ensemble des fonctions de classe sur telles que :
  • est une variable aléatoire qui suit la loi normale .
  • on admet que si est une variable aléatoire possédant une espérance et existe.
    On note en particulier l'espérance de .
  • on note la fonction de répartition de la loi normale définie par, pour tout , . On rappelle que c'est la primitive sur , qui vaut en 0 , de la fonction .

Partie 1 - Transformation de Stein

Soit . On définit sur , la fonction et la fonction par,
lorsque ces intégrales convergent.
L'objectif principal de cette partie est d'obtenir, pour une variable aléatoire admettant une espérance, une expression de qui ne fait pas intervenir directement.
  1. a) Montrer que pour tout et . En déduire que :
(on remarquera que pour tout .)
b) Procéder de façon analogue pour montrer que : .
c) En déduire à l'aide d'une intégration par parties, pour tout réel, la convergence des intégrales qui suivent et montrer que:
  1. a) Montrer que pour tous réels et ,
b) Pour tout réel, justifier la convergence de et montrer que:
On admet de même que, converge et que,
c) En déduire que, pour tout réel :
  1. a) Établir que pour tout ,
b) En déduire que est une fonction de classe sur qui vérifie, pour tout réel :
Pourquoi peut-on alors affirmer que est de classe sur ?
c) En conclure que, si est une variable aléatoire admettant une espérance,
  1. Majoration de .
    a) Montrer, en utilisant les égalités , que pour tout réel:
b) En déduire que pour tout réel : .
5. Majoration de .
a) Montrer que pour tout réel :
b) Établir pour tout réel l'égalité:
c) Étudier les variations sur de la fonction . En déduire son signe et le signe de .
En conclure que, pour tout réel : .

Partie 2 - Majoration uniforme de la distance de Kolmogorov

Dans la suite du problème, si est une variable aléatoire de fonction de répartition , on définit, pour tout réel, la distance de Kolmogorov au point entre la loi de et la loi normale centrée réduite par :
On définit, pour tout réel, la fonction sur par .
On définit aussi la fonction sur par :
Soit une variable aléatoire.
6. Pour tout réel, quelle est la loi de la variable aléatoire ? En déduire que existe et vaut .
7. a) Écrire une fonction Python gamma qui calcule et renvoie la valeur de étant donné.
b) Utiliser la fonction précédente pour écrire un script qui affiche le graphe de sur le segment dans un repère.
8. a) Montrer que est continue sur , de classe sur privé de 0 et 1 .
b) Étudier les variations de sur et montrer que pour tout .
c) Établir que est dérivable en 1 et que .
On montrerait de même que est dérivable en 0 et que . On l'admet.
d) Justifier que est de classe sur et que pour tout réel .
On suppose dans la suite de cette partie que admet une espérance et on considère un réel qui vérifie, pour tout .
9. Soit et un réel. Pour tout , on pose .
a) Montrer que pour tout réel, .
b) On admet l'existence de et de . Justifier l'inégalité suivante :
c) Montrer que .
d) Établir que la fonction , définie sur par , appartient à . En déduire que :
On admet de même, qu'en utilisant la fonction , on a:
  1. En étudiant la fonction sur , en déduire que, pour tout réel,

Partie 3 - Estimation d'une densité

On considère une variable aléatoire à densité de fonction de répartition et de densité de probabilité qui dépendent d'un paramètre inconnu , où un intervalle de .
Soit un point de continuité de , fixé. On souhaite estimer .
Par exemple, si suit la loi exponentielle de paramètre et , on souhaite estimer .
On dispose pour tout , d'une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que .
On choisit une suite de réels strictement positifs tels que :
Pour tout et , on définit :
comme le nombre d'indices tels que
et .
11. On suppose que l'on dispose d'un fichier stats.csv qui comporte une colonne nommée salaire. On considère que les valeurs de cette colonne constituent la réalisation d'un échantillon de la loi de dont la taille dépasse 10000 .
a) Après avoir exécuté import pandas as pd, quelle(s) instruction(s) permet(tent) de lire dans le fichier stats.csv les valeurs de la colonne salaire et d'affecter cette série pandas obtenue à une variable échantillon?
On supposera que le fichier stats. csv se trouve dans le répertoire de travail.
b) On souhaite calculer et afficher pour a donné, lorsque la réalisation d'un échantillon de la loi de est représentée en Python par échantillon et, pour tout .
Compléter le script suivant pour qu'il réalise cette tâche.
a = float(input('a='))
n = échantillon.count()
h = 1 / np.sqrt(n)
c = 0
for i in range(n):
    if ... and ...:
        ... += 1
print(C / ...)
  1. Montrer que suit une loi binomiale de paramètres en précisant l'expression de en fonction de et .
    En déduire que existe et vaut : .
  2. a) En utilisant la dérivabilité de en , montrer que .
    b) Montrer que existe et que
On suppose désormais, que , que pour tout , que est de classe au voisinage de a et que .
On note pour tout et .
On définit les variables aléatoires : et .
14. a) En utilisant le développement limité de à l'ordre 2 au point , montrer que :
b) En déduire que : , puis que .
c) Montrer que et que l'on a:
On admet, dans la suite de cette partie, que converge en loi vers ce qui implique que pour tout , avec , on :
  1. Soit . On pose où est le quantile d'ordre de la loi normale .
    a) Montrer que .
    b) On note, pour .
Montrer que :

Partie 4 - Convergence « uniforme » en loi vers la loi normale

Soit . On considère variables aléatoires indépendantes centrées qui possèdent un moment d'ordre 3. On admet alors que ces variables aléatoires possèdent une variance.
On pose, pour tout et on suppose que .
Soit une fonction de classe sur telle que pour tout réel, et .
On admet que si et sont des variables aléatoires possédant une espérance alors et existent.
16. a) Montrer que .
b) Montrer que
c) En déduire que :
  1. Soit et deux réels.
    a) Montrer que :
b) En déduire que :
c) En conclure que :
puis, grâce à l'inégalité ( ), que, pour tout réel:
Une définition - Dans la suite du sujet, si est une suite de variables aléatoires réelles et une suite réelle de limite nulle qui vérifient,
on dira alors que converge uniformément en loi vers .
On remarque, et on l'admet pour la suite, que si converge uniformément en loi vers alors converge en loi vers .
18. Une première application. On suppose dans cette question que est une suite de variables aléatoires indépendantes, suivant la même loi et admettant des moments d'ordre 1 à 3 .
On note pour et, pour tout . On suppose que .
On utilise les notations de la question précédente.
a) Montrer que l'on peut appliquer l'inégalité ( ) qui donne ici :
b) En déduire que converge uniformément en loi vers , donc converge en loi vers . Quel résultat du cours nous aurait permis d'obtenir cette dernière convergence directement?
19. Une deuxième application. On suppose dans cette question que sont des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre .
On pose et pour tout .
a) Montrer que et .
b) En déduire que, pour tout réel :
c) Justifier le résultat suivant :
si pour tout est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale avec et alors, converge uniformément en loi vers .
20. Un petit lemme. Soit une suite de variables aléatoires réelles qui converge uniformément en loi vers . Soit une suite de réels strictement positifs qui converge vers , tel que , et une suite de réels qui converge vers .
a) Soit une variable aléatoire et ( ) un couple de réels avec . On note et les fonctions de répartition respectives de et .
Montrer que, pour tout réel,
b) Montrer que pour tout réel,
c) Établir que puis en déduire que converge en loi vers . Quelle est la loi de la variable aléatoire ?
21. On reprend les notations de la partie 3.
a) Justifier que converge uniformément en loi vers .
b) En utilisant les résultats des questions 14 et 20 , en déduire que la la suite converge en loi vers .

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