BCE Maths appliquées HEC/ESSEC ECG 2025Sujet

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques appliquées HEC-ESSEC ECG 2025 ?

Il porte sur les chaînes de Markov et les matrices stochastiques, la réduction des matrices et leurs valeurs propres, les graphes probabilistes et l'algorithmique en Python.

Q: Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Les parties 2 et 3 sont indépendantes entre elles, mais seules les questions 1 et 2 de la partie 1 sont nécessaires pour traiter la partie 2.

Q: Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov réversible étudiée dans ce sujet ?

C'est une chaîne de Markov dont la matrice de transition M vérifie mu_i m_{i,j} = mu_j m_{j,i} pour une loi de probabilité mu donnée, propriété qui apparaît notamment dans les marches aléatoires sur un graphe non orienté.

Q: Faut-il maîtriser Python pour ce sujet ?

Oui, plusieurs questions demandent d'écrire ou de compléter des fonctions Python, notamment pour simuler une marche aléatoire sur un graphe et pour tester algorithmiquement la réversibilité d'une matrice.

Epreuve de maths appliquées - ECG 2025

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Présentation du sujet

Mathématiques appliquées HEC-ESSEC ECG 2025 : chaînes de Markov réversibles et matrices stochastiques

Le sujet étudie les chaînes de Markov homogènes réversibles sur un espace d'états fini. La partie 1 introduit la notion de matrice mu-réversible, l'illustre par des exemples (dont la marche aléatoire sur un graphe), puis établit une caractérisation de Kolmogorov par une propriété de symétrie le long des cycles. La partie 2 étudie le spectre de la matrice de transition d'une chaîne réversible ergodique, réel et contenu dans ]-1,1], et en déduit la convergence en loi vers sa loi stationnaire. La partie 3 construit un algorithme Python qui teste si une matrice ergodique est réversible.

1Partie 1 : matrices réversibles, exemples et caractérisation de KolmogorovOn définit la mu-réversibilité d'une matrice stochastique, on l'illustre par la marche aléatoire sur un graphe, et on établit la caractérisation de Kolmogorov par une propriété de cycles notée (K).
2Partie 2 : convergence de la chaîne de Markov réversible ergodiqueOn étudie la diagonalisabilité et le spectre de la matrice de transition d'une chaîne réversible ergodique, et on démontre la convergence en loi de la chaîne vers sa loi stationnaire mu.
3Partie 3 : un algorithme pour tester la réversibilitéOn construit, à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes et colonnes d'une matrice stochastique, un algorithme Python qui teste si une matrice ergodique vérifie la propriété de réversibilité.

Description

Annale de maths appliquées BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECG, session 2025.

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Conception : ESSEC - HEC Paris

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

VOIE GÉNÉRALE

Jeudi 24 avril 2025, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans cet énoncé

r

est un entier naturel,

r ⩾ 2

[ [1, r] ]

désigne l'ensemble des entiers naturels

k

tels que

1 ⩽ k ⩽ r

.
On s'intéresse dans ce problème aux chaînes de Markov homogènes à espace d'états fini

[ [1, r] ]

réversibles.
Ce type de chaîne intervient dans les marches aléatoires sur les sommets d'un graphe non orienté, les processus de naissance et mort, la méthode de Métropolis par exemple.
Le problème comporte trois parties. Les parties 2 et 3 sont indépendantes. Seules les questions 1 et 2 de la partie 1 sont utiles pour la partie 2 .
Un aide-mémoire Python se trouve à la fin de l'énoncé.
Pour les scripts et fonctions Python, on supposera que les instructions suivantes ont été exécutées :
import numpy as np, numpy, random as rd
On considère, dans la suite du problème, une chaîne de Markov

(X_n)_(n \in ℕ)

, sur un espace probabilisé

(Ω, A, ℙ)

, vérifiant les propriétés suivantes :
(H1) Pour tout

n ⩾ 0, X_n(Ω) = [ [1, r] ]

.
(H2) Pour tout

i \in [ [1, i] ]

, il existe

n \in ℕ

tel que

ℙ(X_n = i) \neq 0

. On note

S_i

l'ensemble des entiers positifs

n

tels que

ℙ(X_n = i) \neq 0

.
(H3) Pour tout

(i, j) \in [ [1, r] ]^2

, la fonction

n \mapsto ℙ_([X_n = i])(X_(n + 1) = j)

est constante sur son ensemble de définition

S_i

et on note

p_(i, j)

cette constante.
La matrice

P = (p_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

s'appelle la matrice de transition de la chaine.
On rappelle que l'on a pour tout

i \in [ [1, v^'] ], \sum_(j = 1)^r p_(i, j) = 1

.
On note

ST_r

l'ensemble des matrices

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

à coefficients positifs telles que pour tout

i \in [ [1, r] ], \sum_(j = 1)^r m_(i, j) = 1

. Donc

P \in ST

Partie 1 - Matrice stochastique réversible, exemples et caractérisation de Kolmogorov

On considère

μ = (μ_1\dotsμ_r)

une matrice ligne appartenant à

M_(1, r)(ℝ)

dont les coefficients sont strictement positifs et tels que

\sum_(k = 1)^r μ_k = 1

.
On dit que la matrice

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

est

μ

-réversible si

M

appartient à

ST_r

et vérifie :

\forall(i, j) \in [ [1, r] ]^2, μ_i m_(i, j) = μ_j m_(j, i)

Dans cette partie

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

appartient à

ST_r

a) Montrer que si $M$ est $μ$ -réversible et si $m_(i, j) \neq 0$ pour un couple $(i, j) \in [ [1, r] ]^2$ alors $m_(j, i) \neq 0$ .
b) On suppose dans cette question que $M$ est symétrique. Déterminer $μ$ telle que $M$ est $μ$ -réversible.
c) On note $Δ$ la matrice diagonale d'ordre $r$ dont les éléments diagonaux sont $μ_1, \dots, μ_r$ . Montrer que $M$ est $μ$ -réversible si et seulement si $ΔM = ^t MΔ$ .
Montrer que si $M$ est $μ$ -réversible alors $μM = μ$ .
Un premier exemple - On suppose que $r = 3$ et que $P = 1/3(1, 2, 0; 1, 0, 2; 0, 2, 1)$ est la matrice de transition d'une chaîne de Markov.
a) Représenter le graphe probabiliste associé à cette matrice de transition.
b) Déterminer $μ$ telle que $P$ soit $μ$ -réversible.
Un deuxième exemple - Soit $G$ un graphe à $r$ sommets $1, \dots, r$ , non orienté, connexe, simple (deux sommets ne peuvent être reliés que par une seule arête).
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à se déplacer d'un sommet à l'autre de la manière suìvante :

on choisit un sommet au hasard ce qui définit la valeur de $X_0$ ;
si on se trouve au sommet $k$ après $n$ déplacements, on a alors $X_n = k$ , on se déplace vers un sommet adjacent au sommet $k$ , ce qui définit $X_(n + 1)$ . Tous les sommets en question peuvent être choisis de manière équiprobable.
On admet que l'on définit ainsi une chaîne de Markov et on note encore $P = (p_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)$ sa matrice de transition .
a) Écrire une fonction Python Trajectoire( $L, n$ ) qui étant donnée la liste des listes d'adjacence L du graphe $G$ et un entier $n$ , simule $n$ déplacements sur le graphe et renvoie la liste des sommets visités.
On notera que les sommets reliés au sommet i par une arête se trouvent dans la liste L[i-1].
On note $A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)$ la matrice d'adjacence de $G_1 d_i$ le degré du sommet $i$ .
b) Montrer que pour tout $(i, j) \in [ [1, r] ]^2, p_(i, j) = (a_(i, j))/(d_i)$ .
c) En déduire $μ$ pour laquelle $P$ est $μ$ -réversible.
On note, pour tout $n \in ℕ^*, m_(i, j)^((n))$ les coefficients de la matrice $M^n$ .

S'il existe

σ \in ℕ^*

tel que, pour tout

(i, j) \in [ [1, r] ]^2, m_(i, j)^((σ)) > 0

, on dit que

M

est une matrice ergodique.
On définit aussi pour tout

n \in ℕ^*

(i_0, \dots, i_n) \in [ [1, r] ]^(n + 1)

θ_M(i_0, \dots, i_n) = m_(i_0, i_1) \times \dots \times m_(i_(n - 1), i_n) = \prod_(k = 1)^n m_(i_(k - 1), i_k)

En particulier, pour tout

(i, j) \in [ [1, r] ]^2, θ_M(i, j) = m_(i, j)

.
5. Montrer que pour tous

(n, s) \in (ℕ^*)^2, i_0, \dots, i_n

j_0, \dots, j_s

éléments de

[ [1, r] ]

tels que

i_n = j_0

θ_M(i_0, \dots, i_n)θ_M(j_0, \dots, j_s) = θ_M(i_0, \dots, i_n, j_1, \dots, j_s)

On dit que $M$ vérifie la propriété $(K)$ si, pour tout $n \in ℕ^*$ et $i_0, \dots, i_n$ éléments de $[ [1, r] ]$ :

θ_M(i_0, i_1, \dots, i_n, i_0) = θ_M(i_0, i_n, \dots, i_1, i_0)

On admet qu'il suffit de vérifier (

K

) lorsque les

i_k

sont deux à deux distincts et

n ⩾ 2

.
On établit dans la fin de cette partie que, si

M

est ergodique, il existe

μ

telle que

M

est

μ

-réversible si seulement si

M

vérifie la propriété

(K)

.
6. Si

r = 3

, montrer que

M

vérifie

(K)

si et senlement si

m_(1, 2)m_(2, 3)m_(3, 1) = m_(1, 3)m_(3, 2)m_(2, 1)

Montrer que la matrice

P

de la question 3 vérifie

(K)

.
7. On suppose dans cette question que

M

est

μ

-réversible.
a) Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

i_0, \dots, i_n

éléments de

[ [1, r] ]

(\prod_(k = 1)^n μ_(i_(k - 1)))θ_M(i_0, \dots, i_n) = (\prod_(k = 1)^n μ_(i_k))θ_M(i_n, \dots, i_0)

b) En déduire que

M

vérifie (

K

).
8. Soit

(i, j) \in [ [1, r‖^2

. Montrer par récurrence sur

s \in ℕ^*

que

m_(i, j)^((s)) > 0

si et seulement si il existe

(i_0, i_1, \dots, i_s)

appartenant à

[1, τ]^(s + 1)

tels que

i_0 = i, i_s = j

θ_M(i_0, \dots, i_s) > 0

.
9. On suppose que la matrice

M

vérifie (

K

) et est ergodique avec pour tout

(i, j) \in [1, r]^2

m_(i, j)^((σ)) > 0

, où

σ

est un entier naturel non nul.
On veut montrer qu'alors

M

est

μ

-réversible pour

μ

à définir.
a) Montrer que, pour tout

i \in [ [1, r] ]

, il existe (

i_0, i_1, \dots, i_σ

) appartenant à

[ [1, r] ]^(σ + 1)

tels que

i_0 = i_,i_σ = 1

θ_M(i_0, \dots, i_σ) > 0

.
Montrer que si

m_(1, i) > 0

, alors

θ_M(i_σ, \dots, i_0) > 0

m_(i, 1) > 0

Pour tout $i \in [ [1, r] ]$ , on pose alors $ν_i = (θ_M(i_σ, \dots, i_0))/(θ_M(i_0, \dots, i_σ))$ où $i_0, \dots, i_σ$ sont définis comme dans la question a).
b) Établir que pour tout $(i, j) \in [ [1, r] ]^2, ν_i m_(i, j) = ν_j m_(j, i)$ , puis en interprétant matriciellement les égalités précédentes que, pour tout $(i, j) \in [ [1, r] ], ν_i m_(i, j)^((σ)) = ν_j m_(j, i)^((σ))$ .
c) Montrer qu'il existe $i \in [ [1, r] ]$ tel que $m_(1, i) > 0$ . En déduire que pour tout $j \in [ [1, r] ]$ , $ν_j > 0$ .
d) Définir alors $μ$ telle que $M$ soit $μ$ -réversible.

Partie 2 - Matrice de transition réversible ergodique, convergence

On conserve les notations de la partie 1. On rappelle que seules les questions 1 et 2 de la partie 1 sont utiles dans cette partie.
On considère que la matrice de transition

P

de la chaîne de Markov

(X_n)_(n \in ℕ)

est

μ

-réversible.
On note

Q

la transposée de

P

q_(i, j)

ses coefficients.
10. On rappelle que △ désigne la matrice diagonale appartenant à

M_r(ℝ)

dont les éléments diagonaux sont

μ_1, \dots, μ_r

.
a) Déterminer une matrice diagonale

D

inversible telle que

D^2 = Δ

.
b) En utilisant la question 1.c), en déduire que

D^(- 1)QD

est diagonalisable.
c) En conclure que

Q

est diagonalisable.

On admet que si $M$ est une matrice carrée appartenant à $M_r(ℝ)$ et $Z$ une matrice ligne appartenant à $M_(1, r)(ℝ)$ alors $^t(ZM) = ^t M^t Z$ .

Montrer que $Q^t μ = ^t μ$ . Que peut-on en déduire pour $Sp(Q)$ ?
Soit $λ$ une valeur propre de $Q$ et $Y = (y_1; ⋮; y_r)$ un vecteur propre associé.
a) Montrer que $\sum_(i = 1)^r(\sum_(j = 1)^r q_(i, j)|y_j|) = \sum_(j = 1)^r|y_j|$ .
b) En déduire que $|λ|(\sum_(i = 1)^r|y_i|) ⩽ \sum_(i = 1)^r|y_i|$ .
c) En conclure que $Sp(Q) \subset [ - 1, 1]$ .
On suppose dans cette question que tous les coefficients de $P$ , donc de $Q$ , sont strictement positifs. Dans cette question on détermine $E_1(Q)$ où $E_1(Q)$ désigne le sous-espace propre de $Q$ associé à la valeur propre 1.
a) Soit un vecteur propre $Y = (y_1; ⋮; y_r)$ de $Q$ pour la valeur propre 1 dont l'un au moins des coefficients, noté $y_k$ , est strictement positif.
On suppose qu'il existe $ℓ$ tel que $y_ℓ < 0$ . Montrer que $y_k < \sum_(j = 1)^r q_(k, j)|y_j|$ , puis que $\sum_(i = 1)^r|y_i| < \sum_(i = 1)^r|y_i|$ . Conclusion ?
b) En déduire que tous les vecteurs propres de $Q$ pour la valeur propre 1 ont des composantes qui sont toutes, soit positives, soit négatives. Que peut-on dire d'un élément de $E_1(Q)$ dont la somme des composantes est nulle?
c) Soit $Y$ un vecteur propre de $Q$ pour la valeur propre 1 . Montrer que $Y = (\sum_(i = 1)^r y_i)^t μ$ . En conclure que $E_1(Q) = Vect(^t μ)$ .
d) Soit $Y = (y_1; ⋮; y_r)$ tel que $QY = - Y$ . Montrer que $\sum_(i = 1)^r y_i = 0$ . En raisonnant par l'absurde, montrer que -1 n'est pas une valeur propre de $Q$ .

Dans la suite de cette partie on suppose que $P$ est ergodique avec pour tout $(i, j) \in [ [1, τ] ]^2, p_(i, j)^((u)) > 0$ , où $u$ est un entier naturel non nul .
En appliquant la question précédente à la matrice de transition $P^u$ qui est aussi $μ$ réversible, on a :

Sp(Q^u) \subset ] - 1, 1] et E_1(Q^u) = Vect(^t μ)

a) Montrer que $E_1(Q) = Vect(^t μ)$ .
b) En distinguant les cas, $u$ pair et $u$ impair, montrer par l'absurde que -1 n'est pas une valeur propre de $Q$ .
On note $λ_1, \dots, λ_r$ les coefficients d'une matrice diagonale semblable à $Q$ , avec $λ_1 = 1$ , pour tout $i ∈ {2, …, r}, − 1 < λ_i < 1$ et $(^t μ, Y_2, \dots, Y_r)$ une base associée de vecteurs propres.
On note aussi pour $n \in ℕ, L_n$ la matrice élément de $M_(1, r)(ℝ) : (ℙ(X_n = 1)\dotsℙ(X_n = r))$ .
a) Établir que pour tout $n \in ℕ, L_(n + 1) = L_n P$ puis que $L_n = L_0 P^n$ .
b) Montrer qu'il existe $(α_1, \dots, α_r) \in ℝ^r$ tel que, pour tout $n \in ℕ$ :

L_n = α_1 μ + \sum_(k = 2)^r α_k λ_k^n(^t Y_k)

c) En déduire que pour tout

j \in [ [1, r] ], lim_(n \to + \infty)ℙ(X_n = j) = α_1 μ_j

.
d) Montrer que

α_1 = 1

. En conclure que

(X_n)_(n \in ℕ)

converge en loi vers une variable aléatoire

X

à valeurs dans

[ [1, r] ]

telle que,

\forallj \in [ [1, r] ], ℙ(X = j) = μ_j

Partie 3 - Un algorithme pour la réversibilité

On conserve les notations de la partie 1. On rappelle que cette partie est indépendante de la précédente.
Soit

α \in ]0, 1]

. On définit deux opérations élémentaires sur les matrices

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

appartenant à

ST_r

comme suit :

On modifie la ligne $k$ de $M$ , où $k \in [ [1, r] ]$ , en remplaçant pour tout $j \neq k, m_(k, j)$ par $m_(k, j)^' = αm_(k, j)$ et $m_(k, k)parm_(k, k)^' = 1 - α + αm_(k, k)$ .
On modifie la colonne $k$ de $M$ , où $k \in [ [1, r] ]$ , et sa diagonale en remplaçant pour tout $i \neq k, m_(i, k)$ par $m_(i, k)^' = αm_(i, k)$ et $m_(i, i)$ par $m_(i, i)^' = m_(i, i) + (1 - α)m_(i, k)$ .
Par exemple si $M = (1/3, 1/3, 1/3; 1/3, 0, 2/3; 1/6, 2/3, 1/6), k = 1$ et $α = 1/2$ , la première opération donne

è M^' = (4/6, 1/6, 1/6; 1/3, 0, 2/3; 1/6, 2/3, 1/6) et la deuxième M^' = (1/3, 1/3, 1/3; 1/6, 1/6, 2/3; 1/(12), 2/3, 1/4).

Dans les deux cas on obtient ainsi à partir de

M \in ST_(r,)M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

, une matrice que l'on notera dans la suite

M^' = (m_(i, j)^')_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

qui appartient à

ST_r

.
On remarquera que l'on ne modifie ainsi tout au plus, pour ce qui est des éléments non diagonaux de

M

, que ceux de la ligne

k

, pour la première opération, et ceux de la colonne

k

pour la deuxième.
16. Ecrire une fonction Python opLigne (

M, k, alph

) qui réalise l'opération élémentaire sur la

k

-ième ligne de

M

représentée par la matrice numpy M et

α

représenté par alph.

On définit de même une fonction Python opCol(M,k,alph) qui réalise l'opération élémentaire sur la

k

-ième colonne et la diagonale de

M

(cette fonction n'est pas demandée).
17. Soit

M \in ST_r, M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)

.
a) Montrer que

M

vérifie la propriété

(K)

si et seulement si

M^'

aussi.
b) Montrer que pour tout

(i, j) \in [ [1, r] ]^2

, si

m_(i, j) > 0

alors

m_(i, j)^' > 0

.
c) Établir que si

M

est ergodique

M^'

l'est aussi.

Soit $I$ un sous-ensemble non vide de $[ [1, r] ]$ et $M \in ST_r, M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)$ .

On définit le graphe non orienté

G_M(I)

dont l'ensemble des sommets est

I

et tel que

{i, j}

est une arête si

i \neq j, m_(i, j) \neq 0

m_(j, i) = m_(i, j)

.
Donc si

I

est réduit à un seul élément le graphe ne comporte pas d'arête.
Par exemple si

M = (1/3, 1/3, 1/3; 1/3, 0, 2/3; 1/6, 2/3, 1/6)

, avec

I = {1, 2, 3}

les arêtes sont

{1, 2}

{2, 3}

, et avec

I = {1, 3}

il n'y a aucune arète.
18. On suppose que

I

est tel que

G_M(I)

est connexe et qu'il existe

ℓ \in I

k \notin I

tels que

m_(ℓ, k)

m_(k, ℓ)

sont non nuls.
Si

m_(ℓ, k) ⩽ m_(k, ℓ)

, on pose

α = (m_(ℓ, k))/(m_(k, ℓ))

et on fait l'opération élémentaire sur la ligne

k

avec ce coefficient, sinon on pose

α = (m_(k, ℓ))/(m_(ℓ, k))

et on fait l'opération élémentaire sur la colonne

k

avec ce coefficient.
On note encore

M^'

la matrice obtenue. Montrer que

{k, ℓ}

est une arête de

G_(M^′)(I ∪ {k})

et que ce graphe est connexe.

On suppose que $M \in ST_r, M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)$ est ergodique dans la suite de cette partie.

On suppose dans cette question que $M$ vérifie ( $K$ ).
a) En utilisant le résultat de la question 8, établir que si $I$ est un sous-ensemble non vide de $[ [1, r] ]$ , différent de $[ [1, r] ]$ , il existe $ℓ \in I$ et $k \notin I$ tels que $m_(ℓ, k)$ et $m_(k, ℓ)$ sont non nuls.
b) On pose $I = {1}$ . Le graphe $G_M(I)$ est alors connexe. En déduire un algorithme, composé de $r - 1$ opérations élémentaires à partir de $M$ et $I = {1}$ , qui la transforme en une matrice $M^*$ ergodique, vérifiant $(K)$ et telle que $G_(M^*)([ [1, r] ])$ est connexe.
En déduire que $M^*$ est symétrique.
Réciproquement, on suppose qu'à partir de $M \in ST_r$ , une suite d'opérations élémentaires la transforme en une matrice symétrique $M^*$ . Montrer que $M$ vérifie la propriété $(K)$ .
On veut implémenter l'algorithme de la question 19.b) en Python.
a) Écrire une fonction Python $NonNul(M, I, J)$ qui, étant donnés une matrice $M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ r)$ représentée par la matrice numpy M et deux ensembles non vides d'indices $I$ et $J$ , représentés par les listes I et J, renvoie un couple $(i, j)$ tel que $i \in I$ , $j \in J$ et $m_(i, j) \neq 0$ , c'est à dire M [i-1] [j-1] est non nul, s'il existe un tel couple et le couple $(0, 0)$ sinon.
b) Compléter la fonction suivante pour qu'elle réalise l'implémentation de l'algorithme de la question 19.b) et renvoie True si $M$ ergodique vérifie ( $K$ ) et False sinon.

def estRev(M):
    r=np.shape(M)[O]
    I=[1]; J=[k for k in range(2,r+1)]
    while len(I)< ... :
        ell,k=NonNul(M,I,J)
        if (ell==0) or M[k-1][ell-1]*M[ell-1][k-1]==0:
            return ...
        else:
            if M[ell-1][k-1]<=M[k-1][ell-1]:
                OpLigne(M,k,M[ell-1][k-1]/M[k-1][ell-1])
            else:
                OpCol(M,k,M[k-1][ell-1]/M[ell-1][k-1])
            I.append (...)
            J,remove(...)
    return (np.transpose(M)==M).all()
    # Teste l'égalité de deux matrices numpy

Aide-MÉmoire PYTHON

Toutes les fonctions et instructions présentées ne sont pas utiles et il est possible d'utiliser d'autres fonctions ou instructions absentes de cet aide-mémoire.

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L. append(a) Ajoute l'élément a à la fin de la liste L

L1 + L2 Concatène les deux listes L1 et L2
len (L) Renvoie le nombre d'éléments de la liste L
L. count (a) Renvoie le nombre d'occurences de a dans la liste L
L. remove (a) Enlève la première occurence de la valeur a de la liste L
a in L Vaut True si a se trouve au moins une fois dans L et False sinon
Module mathématique numpy
import numpy as np
np.array (L) Transforme la liste L en vecteur ou matrice numpy
np.transpose (M) Renvoie la transposée de

M

np. shape (M) Renvole dans un couple le format de la matrice

M

Sous module random de numpy pour la simulation probabiliste
import numpy.random as rd
rd.randint (

a, b, [r, s]

) Simule une réalisation d'une matrice (

r, s

) dont les coefficients sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme discrète

U([a, b - 1])

Si le paramètre [

x, s

] est remplacé par

x

, cette fonction renvoie la réalisation d'un vecteur de longueur

r

correspondant à la loi en question, et si ce paramètre est omis, elles renvoient un seul coefficient suivant les mêmes contraintes.

FIN DE L'ÉNONCÉ

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques appliquées HEC-ESSEC ECG 2025 ?

Il porte sur les chaînes de Markov et les matrices stochastiques, la réduction des matrices et leurs valeurs propres, les graphes probabilistes et l'algorithmique en Python.

Les trois parties sont-elles indépendantes ?

Les parties 2 et 3 sont indépendantes entre elles, mais seules les questions 1 et 2 de la partie 1 sont nécessaires pour traiter la partie 2.

Qu'est-ce qu'une chaîne de Markov réversible étudiée dans ce sujet ?

C'est une chaîne de Markov dont la matrice de transition M vérifie mu_i m_{i,j} = mu_j m_{j,i} pour une loi de probabilité mu donnée, propriété qui apparaît notamment dans les marches aléatoires sur un graphe non orienté.

Faut-il maîtriser Python pour ce sujet ?

Oui, plusieurs questions demandent d'écrire ou de compléter des fonctions Python, notamment pour simuler une marche aléatoire sur un graphe et pour tester algorithmiquement la réversibilité d'une matrice.

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths appliquées HEC/ESSEC ECG 2025

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