BCE Maths appliquées HEC ECE 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2011

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Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2011.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

Code épreuve :
289

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai 2011, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

EXERCICE

Soit

A

la matrice de

M_3(ℝ)

définie par :

A = (0, 1/2, 1/2; 1/2, 0, 1/2; 1/2, 1/2, 0)

a) Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable.
b) Vérifier que 1 est une valeur propre de $A$ et déterminer un vecteur-colonne propre associé.
c) Calculer les valeurs propres de $A$ et déterminer une base de $ℝ^3$ formée de vecteurs propres de $A$ .

Dans la suite de l'exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 . On considère l'ensemble

S_n

des matrices

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

M_n(ℝ)

qui vérifient les propriétés suivantes :

pour tout $(i, j)$ de $[ [1, n] ]^2, a_(i, j) ⩾ 0$ ;
$A$ admet la valeur propre 1 et $X_0 = (1; ⋮; 1)$ est un vecteur-colonne propre associé à cette valeur propre.

L'ensemble $S_n$ , muni des lois usuelles sur les matrices, est-il un espace vectoriel?
Montrer que le produit de deux matrices de $S_n$ est une matrice de $S_n$ .
Soit $A$ un élément de $S_n$ et $λ$ une valeur propre de $A$ .
a) Montrer qu'il existe un vecteur-colonne propre $V = (v_1; ⋮; v_n)$ associé à la valeur propre $λ$ , pour lequel il existe un entier $k$ de $[ [1, n] ]$ , vérifiant $v_k = 1$ et pour tout $i$ de $[ [1, n] ], |v_i| ⩽ 1$ .
b) En déduire que l'on a : $|λ| ⩽ 1$ et $|λ - a_(k, k)| ⩽ 1 - a_(k, k)$ .
Montrer que si les éléments diagonaux d'une matrice $A$ de $S_n$ sont tous strictement supérieurs à $1/2$ , la matrice $A$ est inversible.

PROBLÈME

Dans tout le problème :

le réel $x$ est fixé, $α$ est un réel strictement positif et $f$ est une fonction définie et continue sur $[x - α, x + α]$ à valeurs réelles;
pour tout réel $h$ vérifiant, $0 < h ⩽ α$ , on pose : $S_x(h) = 1/(2h)\int_(- h)^h f(x + t)dt$ et $G_x(h) = 3/(2h^3)\int_(- h)^h tf(x + t)dt$ ;
sous réserve d'existence, on pose : $s(x) = lim_(h \to 0^+)S_x(h)$ et $g(x) = lim_(h \to 0^+)G_x(h)$ .

L'objet du problème est l'étude d'une généralisation de la notion de dérivée d'une fonction à partir de fonctions définies par des intégrales.
La partie III est indépendante de la partie II, et la partie II est largement indépendante de la partie I.

Partie I. Quelques exemples. Premières propriétés

a) Calculer $\int_(- h)^h dt, \int_(- h)^h(x + t)dt, \int_(- h)^h t(x + t)dt$ et $\int_(- h)^h(x + t)^2 dt$ .
b) Montrer que $\int_(- h)^h t(x + t)^2 dt = (4h^3 x)/3$ .
c) Établir les deux formules : $S_x(h) = 1/2\int_(- 1)^1 f(x + ht)dt$ et $G_x(h) = 3/(2h)\int_(- 1)^1 tf(x + ht)dt$ .
Dans cette question uniquement, soit $n$ un entier naturel donné et $f$ la fonction définie par $f(t) = t^n$ .
a) Soit $k$ un entier naturel. Calculer suivant la parité de $k$ , la valeur de $h^k(1 - (- 1)^k)$ .
b) Calculer $S_x(h)$ et $G_x(h)$ lorsque $x = 0$ .
c) À l'aide de la formule du binôme, montrer que : $S_x(h) = x^n + h^2 A_x(h)$ et $G_x(h) = nx^(n - 1) + h^2 B_x(h)$ , où $A_x$ et $B_x$ sont deux fonctions polynomiales en $h$ (dont les coefficients dépendent de $x$ ).
En déduire l'existence et l'expression de $s(x)$ et $g(x)$ .
Dans cette question uniquement, la fonction $f$ est définie par $f(t) = |t|$ et on choisit $x = 0$ .
a) La fonction $f$ est-elle dérivable en 0 ?
b) Calculer $S_x(h)$ et $G_x(h)$ pour $x = 0$ . En déduire l'existence et la valeur de $s(0)$ et $g(0)$ .

Dans les questions 4 à 6 , on revient au cas général.
4. a) Exprimer

S_x(h)

à l'aide d'une primitive

F

f

.
b) Établir l'existence de

s(x)

et montrer que

s(x) = f(x)

.
5. On suppose dans cette question que

f

est dérivable en

x

de dérivée

f^'(x)

.
a) Montrer l'existence d'une fonction

v_x

définie et continue sur

ℝ

, vérifiant

v_x(0) = 0

et telle que pour tout réel

t

on ait :

f(x + t) = f(x) + tf^'(x) + tv_x(t)

.
b) En déduire l'égalité :

G_x(h) = f^'(x) + 3/(2h^3)\int_(- h)^h t^2 v_x(t)dt

.
c) Soit

ε

un réel strictement positif. Montrer qu'il existe

δ > 0

tel que si

h \in ]0, δ]

, on a :

|3/(2h^3)\int_(- h)^h t^2 v_x(t)dt| ⩽ ε

.
d) En déduire l'expression de

g(x)

en fonction de

f^'(x)

.
6. Soit

φ

la fonction définie sur

ℝ^2

par : pour tout couple

(a, b)

ℝ^2, φ(a, b) = \int_(- h)^h(f(x + t) - (b + at))^2 dt

.
a) Établir la relation :

φ(a, b) = \int_(- h)^h(f(x + t))^2 dt - 2a\int_(- h)^h tf(x + t)dt - 2b\int_(- h)^h f(x + t)dt + (2h^3)/3a^2 + 2hb^2

.
b) Montrer que

φ

est de classe

C^2

sur

ℝ^2

et qu'elle admet un unique point critique (

a^⋆, b^⋆

) que l'on exprimera en fonction de

S_x(h)

G_x(h)

2/4

Partie II. Probabilités

Les notations sont celles de la partie I.
Les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

).
On note

E, V

et Cov respectivement, l'espérance, la variance et la covariance.
On suppose la fonction

f

dérivable en

x

, de dérivée

f^'(x)

.
Si

X

est une variable aléatoire définie sur (

Ω, A, P

), on s'intéresse au coefficient de corrélation linéaire

r_x(h)

entre les variables aléatoires

hX

f(hX + x)

dans quelques cas particuliers.
7. Dans cette question uniquement, la variable aléatoire

X

suit la loi de Bernoulli de paramètre

1/2

.
a) Rappeler la valeur de

E(X)

et de

V(X)

. En déduire la valeur de

E(hX)

V(hX)

.
b) Montrer que

E(f(hX + x)) = 1/2(f(x + h) + f(x))

. Calculer

V(f(hX + x))

Cov(hX, f(hX + x))

.
c) On suppose que

f(x + h) \neq f(x)

. Calculer

r_x(h)

. En déduire l'existence d'une relation affine entre

f(hX + x)

hX

. Expliciter cette relation en fonction de

f(x)

f(x + h)

.
d) Vérifier la validité de la relation précédente lorsque

f(x + h) = f(x)

Dans les questions 8 à 11 , la variable aléatoire

X

suit la loi uniforme sur l'intervalle

[ - 1, 1]

.
On admet que la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes s'appliquent au cas de deux variables aléatoires à densité.
8. a) Rappeler les expressions d'une densité, de la fonction de répartition, de l'espérance et de la variance de

X

.
b) Établir les égalités suivantes :

E(f(hX + x)) = S_x(h)

V(f(hX + x)) = 1/(2h)\int_(- h)^h(f(x + t))^2 dt - (S_x(h))^2 et Cov(hX, f(hX + x)) = (h^2)/3G_x(h)

On suppose dans cette question que $x = 0$ .
a) Si $f$ est une fonction paire, calculer $f^'(0)$ et $r_0(h)$ .
b) Soit $n$ un entier naturel impair et $f$ la fonction définie par $f(t) = t^n$ . Calculer $f^'(0), r_0(h)$ et $lim_(h \to 0^+)r_0(h)$ .
On suppose dans cette question que $f^'(x) \neq 0$ et $f(x) = 0$ .
a) Montrer que $Cov(hX, f(hX + x))$ est équivalent à $(h^2)/3f^'(x)$ , lorsque $h$ tend vers $0^+$ .
b) On pose : $w_x(t) = v_x^2(t) + 2f^'(x)v_x(t)$ , où la fonction $v_x$ a été définie dans la question 5.a).

Établir les deux relations suivantes :

E(f(hX + x)) = 1/(2h)\int_(- h)^h tv_x(t)dt et E((f(hX + x))^2) = (h^2)/3(f^'(x))^2 + 1/(2h)\int_(- h)^h t^2 w_x(t)dt

c) Montrer que

lim_(h \to 0^+)1/(h^2)\int_(- h)^h tv_x(t)dt = 0

lim_(h \to 0^+)1/(h^3)\int_(- h)^h t^2 w_x(t)dt = 0

.
d) En déduire un équivalent de

V(f(hX + x))

lorsque

h

tend vers

0^+

.
e) Calculer

lim_(h \to 0^+)r_x(h)

.
11. On suppose dans cette question que

f^'(x) \neq 0

f(x) \neq 0

. Que peut-on dire de

lim_(h \to 0^+)r_x(h)

Partie III. Généralisation aux dérivées d'ordre supérieur

On suppose dans cette partie que la fonction

f

est de classe

C^\infty

sur

ℝ

, et on note pour tout entier naturel

k

f^((k))

la dérivée

k

-ième de

f

, avec la convention

f^((0)) = f

.
On confond tout polynôme

P

ℝ[X]

avec la fonction polynomiale associée.
Pour tout entier naturel

n

, on définit le polynôme

P_n

par : pour tout

t

réel,

P_n(t) = 1/(2^n n!)(t^2 - 1)^n

3/4

a) Calculer $P_0(t), P_1(t), P_2(t)$ , ainsi que leurs dérivées première et seconde.
b) Déterminer le degré de $P_n$ et, pour tout entier naturel $k$ , celui de sa dérivée $k$ -ième $P_n^((k))$ .
c) Déterminer le terme de plus haut degré de $P_n^((n))(t)$ ainsi que la valeur de $P_n^((2n))(t)$ .
d) Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1 . Montrer que pour tout $k$ de $[ [0, n - 1] ]$ , on peut écrire :
$P_n^((k))(t) = (t^2 - 1)^(n - k)T_k(t)$ , où $T_k$ est un polynôme de degré $k$ .
En déduire les valeurs de $P_n^((k))(1)$ et de $P_n^((k))(- 1)$ , pour tout $k$ de $[ [0, n - 1] ]$ .
e) Établir pour tout entier naturel $n$ , la formule : $\int_(- 1)^1(1 - t^2)^n dt = (2^(2n + 1)(n!)^2)/((2n + 1)!)$ . (on remarquera que $1 - t^2 = (1 - t)(1 + t)$ )
Soit $R$ un polynôme de $ℝ[X]$ et $n$ un entier de $ℕ^*$ .
a) Montrer que $\int_(- 1)^1 R(t)P_n^((n))(t)dt = - \int_(- 1)^1 R^'(t)P_n^((n - 1))(t)dt$ .
b) En déduire l'égalité : $\int_(- 1)^1 R(t)P_n^((n))(t)dt = (- 1)^n\int_(- 1)^1 R^((n))(t)P_n(t)dt$ .
c) On suppose que $R$ est de degré strictement inférieur à $n$ . Calculer $\int_(- 1)^1 R(t)P_n^((n))(t)dt$ .
d) En choisissant un polynôme $R$ particulier, calculer $\int_(- 1)^1(P_n^((n))(t))^2 dt$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ et sous réserve d'existence :

L_n(x) = lim_(h \to 0^+)((2n + 1)!)/(2^(n + 1)h^n n!)\int_(- 1)^1 f(x + ht)P_n^((n))(t)dt

a) À l'aide des questions 4 et 5 , vérifier que

L_0(x) = f(x)

L_1(x) = f^'(x)

.
b) Montrer que pour tout entier naturel

n

, on a :

\int_(- 1)^1 f(x + ht)P_n^((n))(t)dt = (h^n)/(2^n n!)\int_(- 1)^1 f^((n))(x + ht)(1 - t^2)^n dt

.
c) En appliquant le résultat de la question 5.a) à la fonction

f^((n))

, montrer que pour tout entier naturel

n

, on a:

lim_(h \to 0^+)\int_(- 1)^1(f^((n))(x + ht) - f^((n))(x))(1 - t^2)^n dt = 0

En déduire l'existence et l'expression de

L_n(x)

.
15. On rappelle que

α

est le réel défini dans le préambule du problème. Soit

n

un entier supérieur ou égal à 1 et

Q_n

un polynôme de degré inférieur ou égal à

n

. On pose :

Φ_n(Q_n) = \int_(- 1)^1(f(x + αt) - Q_n(t))^2 dt

.
a) Montrer que la famille

(P_0, P_1^', P_2^(''), \dots, P_n^((n)))

est une base de

ℝ_n[X]

, espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

.
La fonction polynomiale

Q_n(t)

s'écrit alors dans cette base :

Q_n(t) = \sum_(k = 0)^n a_k P_k^((k))(t)

.
b) En utilisant la question 13, établir l'égalité :

\int_(- 1)^1(Q_n(t))^2 dt = \sum_(k = 0)^n 2/(2k + 1)a_k^2

.
c) On pose, pour tout

k

[0, n] : y_k = \int_(- 1)^1 f(x + αt)P_k^((k))(t)dt

Montrer que

Φ_n(Q_n) = \int_(- 1)^1(f(x + αt))^2 dt + \sum_(k = 0)^n 2/(2k + 1)(a_k - (2k + 1)/2y_k)^2 - \sum_(k = 0)^n(2k + 1)/2y_k^2

.
d) Pour quel polynôme

Q_n^⋆

, la quantité

Φ_n(Q_n)

est-elle minimale? On exprimera pour tout

k

[ [0, n] ]

, le coefficient

a_k^⋆

Q_n^⋆

en fonction de

k

et de

y_k

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