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BCE Maths appliquees HEC ECE 2011

Epreuve de maths appliquees - ECE 2011

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesPolynômes et fractions
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Banque
BCE
Année
2011
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2011ECE MathématiquesMathématiques 2011

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2011.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

Code épreuve :
289

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai 2011, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

EXERCICE

Soit la matrice de définie par : .
  1. a) Justifier que la matrice est diagonalisable.
    b) Vérifier que 1 est une valeur propre de et déterminer un vecteur-colonne propre associé.
    c) Calculer les valeurs propres de et déterminer une base de formée de vecteurs propres de .
Dans la suite de l'exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2 . On considère l'ensemble des matrices de qui vérifient les propriétés suivantes :
  • pour tout de ;
  • admet la valeur propre 1 et est un vecteur-colonne propre associé à cette valeur propre.
  1. L'ensemble , muni des lois usuelles sur les matrices, est-il un espace vectoriel?
  2. Montrer que le produit de deux matrices de est une matrice de .
  3. Soit un élément de et une valeur propre de .
    a) Montrer qu'il existe un vecteur-colonne propre associé à la valeur propre , pour lequel il existe un entier de , vérifiant et pour tout de .
    b) En déduire que l'on a : et .
  4. Montrer que si les éléments diagonaux d'une matrice de sont tous strictement supérieurs à , la matrice est inversible.

PROBLÈME

Dans tout le problème :

  • le réel est fixé, est un réel strictement positif et est une fonction définie et continue sur à valeurs réelles;
  • pour tout réel vérifiant, , on pose : et ;
  • sous réserve d'existence, on pose : et .
L'objet du problème est l'étude d'une généralisation de la notion de dérivée d'une fonction à partir de fonctions définies par des intégrales.
La partie III est indépendante de la partie II, et la partie II est largement indépendante de la partie I.

Partie I. Quelques exemples. Premières propriétés

  1. a) Calculer et .
    b) Montrer que .
    c) Établir les deux formules : et .
  2. Dans cette question uniquement, soit un entier naturel donné et la fonction définie par .
    a) Soit un entier naturel. Calculer suivant la parité de , la valeur de .
    b) Calculer et lorsque .
    c) À l'aide de la formule du binôme, montrer que : et , où et sont deux fonctions polynomiales en (dont les coefficients dépendent de ).
    En déduire l'existence et l'expression de et .
  3. Dans cette question uniquement, la fonction est définie par et on choisit .
    a) La fonction est-elle dérivable en 0 ?
    b) Calculer et pour . En déduire l'existence et la valeur de et .
Dans les questions 4 à 6 , on revient au cas général.
4. a) Exprimer à l'aide d'une primitive de .
b) Établir l'existence de et montrer que .
5. On suppose dans cette question que est dérivable en de dérivée .
a) Montrer l'existence d'une fonction définie et continue sur , vérifiant et telle que pour tout réel on ait : .
b) En déduire l'égalité : .
c) Soit un réel strictement positif. Montrer qu'il existe tel que si , on a : .
d) En déduire l'expression de en fonction de .
6. Soit la fonction définie sur par : pour tout couple de .
a) Établir la relation : .
b) Montrer que est de classe sur et qu'elle admet un unique point critique ( ) que l'on exprimera en fonction de et .

Partie II. Probabilités

Les notations sont celles de la partie I.
Les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un espace probabilisé ( ).
On note et Cov respectivement, l'espérance, la variance et la covariance.
On suppose la fonction dérivable en , de dérivée .
Si est une variable aléatoire définie sur ( ), on s'intéresse au coefficient de corrélation linéaire entre les variables aléatoires et dans quelques cas particuliers.
7. Dans cette question uniquement, la variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre .
a) Rappeler la valeur de et de . En déduire la valeur de et .
b) Montrer que . Calculer et .
c) On suppose que . Calculer . En déduire l'existence d'une relation affine entre et . Expliciter cette relation en fonction de et .
d) Vérifier la validité de la relation précédente lorsque .
Dans les questions 8 à 11 , la variable aléatoire suit la loi uniforme sur l'intervalle .
On admet que la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes s'appliquent au cas de deux variables aléatoires à densité.
8. a) Rappeler les expressions d'une densité, de la fonction de répartition, de l'espérance et de la variance de .
b) Établir les égalités suivantes : ,
  1. On suppose dans cette question que .
    a) Si est une fonction paire, calculer et .
    b) Soit un entier naturel impair et la fonction définie par . Calculer et .
  2. On suppose dans cette question que et .
    a) Montrer que est équivalent à , lorsque tend vers .
    b) On pose : , où la fonction a été définie dans la question 5.a).
Établir les deux relations suivantes :
c) Montrer que et .
d) En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
e) Calculer .
11. On suppose dans cette question que et . Que peut-on dire de ?

Partie III. Généralisation aux dérivées d'ordre supérieur

On suppose dans cette partie que la fonction est de classe sur , et on note pour tout entier naturel , la dérivée -ième de , avec la convention .
On confond tout polynôme de avec la fonction polynomiale associée.
Pour tout entier naturel , on définit le polynôme par : pour tout réel, .
  1. a) Calculer , ainsi que leurs dérivées première et seconde.
    b) Déterminer le degré de et, pour tout entier naturel , celui de sa dérivée -ième .
    c) Déterminer le terme de plus haut degré de ainsi que la valeur de .
    d) Soit un entier supérieur ou égal à 1 . Montrer que pour tout de , on peut écrire :
    , où est un polynôme de degré .
    En déduire les valeurs de et de , pour tout de .
    e) Établir pour tout entier naturel , la formule : . (on remarquera que )
  2. Soit un polynôme de et un entier de .
    a) Montrer que .
    b) En déduire l'égalité : .
    c) On suppose que est de degré strictement inférieur à . Calculer .
    d) En choisissant un polynôme particulier, calculer .
  3. On pose, pour tout entier naturel et sous réserve d'existence :
a) À l'aide des questions 4 et 5 , vérifier que et .
b) Montrer que pour tout entier naturel , on a : .
c) En appliquant le résultat de la question 5.a) à la fonction , montrer que pour tout entier naturel , on a:
En déduire l'existence et l'expression de .
15. On rappelle que est le réel défini dans le préambule du problème. Soit un entier supérieur ou égal à 1 et un polynôme de degré inférieur ou égal à . On pose : .
a) Montrer que la famille est une base de , espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à .
La fonction polynomiale s'écrit alors dans cette base : .
b) En utilisant la question 13, établir l'égalité : .
c) On pose, pour tout de .
Montrer que .
d) Pour quel polynôme , la quantité est-elle minimale? On exprimera pour tout de , le coefficient de en fonction de et de .

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