Mardi 30 avril 2013, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3 . Soit l'application définie sur qui associe à tout polynôme , le polynôme défini par :

1.a) Rappeler la dimension de .
b) Montrer que est un endomorphisme de .
c) Déterminer la matrice de dans la base canonique de .
d) La matrice est-elle inversible? Est-elle diagonalisable? Calculer pour tout .
e) Préciser le noyau de ainsi qu'une base de .
f) Déterminer l'image de .
2. On note et respectivement, l'endomorphisme identité et l'endomorphisme nul de , et pour tout endomorphisme de , on pose et pour tout de .
Soit et deux endomorphismes de tels que : et .
a) Soit un polynôme de tel que . Montrer que la famille est une base de .
b) Montrer que est un automorphisme de . Déterminer l'automorphisme réciproque en fonction de .
c) Établir l'égalité : .
d) Montrer que 1 est la seule valeur propre de .

Sur le marché d'un certain bien, on note la fonction de demande globale (des consommateurs), la fonction d'offre globale (des entreprises) et le prix de vente du bien.
On suppose habituellement que la fonction définie sur à valeurs réelles est décroissante et que la fonction définie sur à valeurs réelles est croissante.
Si l'équation admet une solution , on dit que est un prix d'équilibre du marché.
Avant d'atteindre un niveau d'équilibre, le prix peut être soumis à des fluctuations provoquées par des excès d'offre ou des excès de demande au cours du temps.
Afin de rendre compte de cette évolution, on note pour tout la valeur du prix à l'instant .
On suppose que la demande dépend de la valeur du prix selon la relation valable pour tout . Quant aux entreprises, elles adaptent à chaque instant , la quantité offerte à l'instant à un prix anticipé à l'instant ( ), noté , selon la relation , où peut être interprété comme un prix d'étude de marché.
On suppose qu'à chaque instant, l'offre est égale à la demande, c'est-à-dire : pour tout .
Dans toute cette partie, on considère quatre paramètres réels strictement positifs et , avec , et on suppose que les fonctions et sont définies sur par : et .
Par suite, on a pour tout et .

On suppose que et sont donnés et que pour tout entier , on a : .
a) Établir l'existence et l'unicité d'un prix d'équilibre . Calculer .
b) Montrer que pour tout , on a : .
c) Écrire une fonction Pascal récursive, d'en-tête function p(p0,p1 : real ; n : integer) : real; qui renvoie, pour et fixés, le terme .
d) On pose pour tout . Montrer que est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 .
e) Calculer les solutions et de l'équation caractéristique de la suite .
f) Exprimer pour tout en fonction de et .
g) Montrer que la suite est convergente. Quelle est sa limite? Interpréter.
2. Soit un paramètre réel vérifiant . On suppose que le prix est donné et que les anticipations de prix sont adaptatives, c'est-à-dire que pour tout entier , on a : .
a) Exprimer pour tout , le prix courant en fonction du prix anticipé .
b) En déduire que pour tout , le prix vérifie l'équation de récurrence suivante :

c) Quel est le prix d'équilibre ? Déterminer l'expression de en fonction de et .
d) En supposant que , montrer que la suite converge si et seulement si : .

Quelle est alors sa limite?
e) Étudier la convergence de la suite lorsque .

a) Dresser le tableau de variation de sur . Préciser les limites aux bornes de l'intervalle de définition, les racines de l'équation et la valeur maximale de sur .
b) Tracer la courbe représentative de dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

On considère une entreprise présente sur le marché d'un bien qui adapte son volume de production à un niveau de prix donné (par l'équilibre du marché) ou administré (par l'État).
On modélise le coût total de l'entreprise par une fonction définie et de classe sur , strictement croissante sur ainsi que sa dérivée , telle que et équivalent à avec et , lorsque tend vers . On note la dérivée seconde de et on suppose que pour tout . Soit la fonction définie sur à valeurs réelles telle que: .
4.a) Montrer que et que admet sur une fonction réciproque, que l'on note , dont on précisera l'ensemble de définition (la fonction est la fonction d'offre de l'entreprise).
b) Montrer que est concave sur et admet sur un maximum atteint en un seul point.
5. Soit la fonction définie sur à valeurs réelles telle que : (la fonction est la fonction de profit de l'entreprise).
a) Pour tout , exprimer à l'aide de et .
b) Montrer que la fonction est dérivable sur et calculer sa dérivéee .
c) Montrer que la fonction est convexe et croissante sur .
6. On suppose que le prix est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé ( ), à valeurs dans l'ensemble , où est un entier fixé supérieur ou égal à 2 .
a) Montrer que pour tout et pour tout , on a : .
b) En déduire pour tout , l'inégalité : .
c) Établir l'inégalité : . Quelle conclusion peut-on en tirer?
7. On suppose que le prix est une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé ( ), à valeurs dans , dont une densité est nulle sur et continue sur . On suppose l'existence de l'intégrale . Justifier que admet une espérance et montrer que : .

Soit et deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé ( ), à valeurs dans et , respectivement ( et ).
On suppose que pour tout , on a : .
Soit la fonction définie sur à valeurs réelles, telle que:

Ainsi, pour tout est l'espérance conditionnelle de sachant l'événement , notée également . On définit alors une variable aléatoire sur en posant pour tout , et on note .
8.a) On suppose que et sont indépendantes. Déterminer la variable aléatoire .
b) Quelle est la variable aléatoire ?
c) On suppose que les réels sont deux à deux distincts. Déterminer pour tout .
d) Montrer que (on pourra appliquer le théorème du transfert).
e) Soit les réels et . Exprimer en fonction de et .

Dans cette partie, on suppose qu'à chaque instant , le prix d'un certain bien est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé ( ), à valeurs dans , où est un entier fixé supérieur ou égal à 2 . On suppose que la suite est constituée de variables aléatoires de même loi, et que pour tout et pour tout , on a : .
Soit une suite de variables aléatoires discrètes finies indépendantes et de même loi, telles que pour tout , on a et .
On suppose que pour tout , les variables aléatoires et sont indépendantes.
Soit et deux paramètres réels vérifiant et .
On suppose que est de la forme , où et sont des constantes réelles, et que pour tout , on a : .
9.a) Calculer pour tout et . Déterminer les constantes et en fonction de et .
b) Calculer pour tout , la covariance .

Que représente le paramètre pour le couple de variables aléatoires ?
10. Déterminer la variable aléatoire .
11. On rappelle que l'on note l'anticipation de faite à l'instant ( ).

Pour tout , on pose : (erreur d'anticipation à l'instant ).
a) On suppose dans cette question que les anticipations de prix sont naïves, c'est-à-dire que pour tout , on a : .
Déterminer . Calculer et .
b) On suppose dans cette question que les anticipations de prix sont rationnelles, ce qui se traduit dans le cadre du modèle (1) par : .
Déterminer . Calculer et .
c) Comparer les deux types d'anticipation naïve et rationnelle.