BCE Maths appliquées HEC ECE 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Mardi 30 avril 2013, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

On note E = ℝ_3[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3 . Soit f l'application définie sur E qui associe à tout polynôme P ∈ E, le polynôme f(P) défini par :

1.a) Rappeler la dimension de E.
b) Montrer que f est un endomorphisme de E.
c) Déterminer la matrice M de f dans la base canonique de E.
d) La matrice M est-elle inversible? Est-elle diagonalisable? Calculer pour tout n ∈ ℕ^∗, M^n.
e) Préciser le noyau Kerf de f ainsi qu'une base de Kerf.
f) Déterminer l'image Imf de f.
2. On note id_E et 0_E respectivement, l'endomorphisme identité et l'endomorphisme nul de E, et pour tout endomorphisme v de E, on pose v^0 = id_E et pour tout k de ℕ^∗, v^k = v ∘ v^(k − 1).
Soit u et g deux endomorphismes de E tels que : u^4 = 0_E, u^3 ≠ 0_E et g = id_E + u + u^2 + u^3.
a) Soit P un polynôme de E tel que P ∉ Ker(u^3). Montrer que la famille (P, u(P), u^2(P), u^3(P)) est une base de E.
b) Montrer que g est un automorphisme de E. Déterminer l'automorphisme réciproque g^(− 1) en fonction de u.
c) Établir l'égalité : Keru = Ker(g − id_E).
d) Montrer que 1 est la seule valeur propre de g.

Sur le marché d'un certain bien, on note D la fonction de demande globale (des consommateurs), O la fonction d'offre globale (des entreprises) et p le prix de vente du bien.
On suppose habituellement que la fonction D : p ↦ D(p) définie sur ℝ_+à valeurs réelles est décroissante et que la fonction O : p ↦ O(p) définie sur ℝ_+à valeurs réelles est croissante.
Si l'équation O(p) = D(p) admet une solution p^∗, on dit que p^∗ est un prix d'équilibre du marché.
Avant d'atteindre un niveau d'équilibre, le prix p peut être soumis à des fluctuations provoquées par des excès d'offre (O(p) > D(p)) ou des excès de demande (D(p) > O(p)) au cours du temps.
Afin de rendre compte de cette évolution, on note pour tout n ∈ ℕ, p_n la valeur du prix à l'instant n.
On suppose que la demande dépend de la valeur du prix selon la relation D_n = D(p_n) valable pour tout n ∈ ℕ. Quant aux entreprises, elles adaptent à chaque instant n ∈ ℕ, la quantité offerte O_n à l'instant n à un prix anticipé à l'instant ( n − 1 ), noté pˆ_n, selon la relation O_n = O(pˆ_n), où pˆ_0 peut être interprété comme un prix d'étude de marché.
On suppose qu'à chaque instant, l'offre est égale à la demande, c'est-à-dire : pour tout n ∈ ℕ, O_n = D_n.
Dans toute cette partie, on considère quatre paramètres réels strictement positifs a, b, c et d, avec a > d, et on suppose que les fonctions D et O sont définies sur ℝ_+par : D(p) = a − bp et O(p) = cp + d.
Par suite, on a pour tout n ∈ ℕ, D(p_n) = a − bp_n et O(pˆ_n) = cpˆ_n + d.

On suppose que p_0 et p_1 sont donnés et que pour tout entier n ⩾ 2, on a : pˆ_n = 2p_(n − 1) − p_(n − 2).
a) Établir l'existence et l'unicité d'un prix d'équilibre p^∗. Calculer p^∗.
b) Montrer que pour tout n ⩾ 2, on a : p_n = − 1/2p_(n − 1) + 1/4p_(n − 2) + 5/2.
c) Écrire une fonction Pascal récursive, d'en-tête function p(p0,p1 : real ; n : integer) : real; qui renvoie, pour p_0, p_1 et n fixés, le terme p_n.
d) On pose pour tout n ∈ ℕ : v_n = p_n − p^∗. Montrer que (v_n)_(n ∈ ℕ) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 .
e) Calculer les solutions r_1 et r_2 de l'équation caractéristique de la suite (v_n)_(n ∈ ℕ).
f) Exprimer pour tout n ∈ ℕ, p_n en fonction de n, r_1, r_2, p_0, p_1 et p^∗.
g) Montrer que la suite (p_n)_(n ∈ ℕ) est convergente. Quelle est sa limite? Interpréter.
2. Soit β un paramètre réel vérifiant 0 < β ⩽ 1. On suppose que le prix p_0 est donné et que les anticipations de prix sont adaptatives, c'est-à-dire que pour tout entier n ⩾ 1, on a : pˆ_n = pˆ_(n − 1) + β(p_(n − 1) − pˆ_(n − 1)).
a) Exprimer pour tout n ∈ ℕ, le prix courant p_n en fonction du prix anticipé pˆ_n.
b) En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, le prix p_n vérifie l'équation de récurrence suivante :

c) Quel est le prix d'équilibre p^∗ ? Déterminer l'expression de p_n en fonction de n, p_0, p^∗, b, c et β.
d) En supposant que p_0 ≠ p^∗, montrer que la suite (p_n)_(n ∈ ℕ) converge si et seulement si : c/b < 2/β − 1.

Quelle est alors sa limite?
e) Étudier la convergence de la suite (p_n)_(n ∈ ℕ) lorsque c < b.

a) Dresser le tableau de variation de h_p sur ℝ_+. Préciser les limites aux bornes de l'intervalle de définition, les racines de l'équation h_p(x) = 0 et la valeur maximale de h_p sur ℝ_+.
b) Tracer la courbe représentative de h_1 dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

On considère une entreprise présente sur le marché d'un bien qui adapte son volume de production x ∈ ℝ_+à un niveau de prix p ∈ ℝ_+donné (par l'équilibre du marché) ou administré (par l'État).
On modélise le coût total de l'entreprise par une fonction F définie et de classe C^2 sur ℝ_+, strictement croissante sur ℝ_+ainsi que sa dérivée F^′, telle que F(0) = F^′(0) = 0 et F(x) équivalent à sx^r avec s > 0 et r > 1, lorsque x tend vers + ∞. On note F^(′′) la dérivée seconde de F et on suppose que pour tout x ∈ ℝ_+, F^(′′)(x) > 0. Soit Π_p la fonction définie sur ℝ_+à valeurs réelles telle que: Π_p(x) = px − F(x).
4.a) Montrer que lim_(x → + ∞)F^′(x) = + ∞ et que F^′ admet sur ℝ_+une fonction réciproque, que l'on note S, dont on précisera l'ensemble de définition (la fonction S est la fonction d'offre de l'entreprise).
b) Montrer que Π_p est concave sur ℝ_+et admet sur ℝ_+un maximum atteint en un seul point.
5. Soit M la fonction définie sur ℝ_+à valeurs réelles telle que : M(p) = max_(x ∈ ℝ_+)Π_p(x) (la fonction M est la fonction de profit de l'entreprise).
a) Pour tout p ∈ ℝ_+, exprimer M(p) à l'aide de p, F et S.
b) Montrer que la fonction M est dérivable sur ℝ_+et calculer sa dérivéee M^′.
c) Montrer que la fonction M est convexe et croissante sur ℝ_+.
6. On suppose que le prix p est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs dans l'ensemble {p^((1)), p^((2)), …, p^((k))} ⊂ ℝ_+, où k est un entier fixé supérieur ou égal à 2 .
a) Montrer que pour tout i ∈ [ [1, k] ] et pour tout y ∈ ℝ_+, on a : M(p^((i))) − M(y) ⩾ M^′(y)(p^((i)) − y).
b) En déduire pour tout y ∈ ℝ_+, l'inégalité : E(M(p)) ⩾ M(y) + M^′(y)(E(p) − y).
c) Établir l'inégalité : E(M(p)) ⩾ M(E(p)). Quelle conclusion peut-on en tirer?
7. On suppose que le prix p est une variable aléatoire à densité définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs dans ℝ_+, dont une densité f est nulle sur ℝ_−et continue sur ℝ_+. On suppose l'existence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)M(x)f(x)dx. Justifier que p admet une espérance et montrer que : E(M(p)) ⩾ M(E(p)).

Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs dans {x_1, x_2, …, x_q} ⊂ ℝ et {y_1, y_2, …, y_r} ⊂ ℝ, respectivement ( q ⩾ 2 et r ⩾ 2 ).
On suppose que pour tout i ∈ [ [1, q] ], on a : P([X = x_i]) > 0.
Soit φ la fonction définie sur {x_1, x_2, …, x_q} à valeurs réelles, telle que:

Ainsi, pour tout i ∈ [ [1, q] ], φ(x_i) est l'espérance conditionnelle de Y sachant l'événement [X = x_i], notée également E(Y|[X = x_i]). On définit alors une variable aléatoire Z sur Ω en posant pour tout ω ∈ Ω, Z(ω) = E(Y|[X = X(ω)]) et on note Z = E(Y|X) = φ(X).
8.a) On suppose que X et Y sont indépendantes. Déterminer la variable aléatoire E(Y|X).
b) Quelle est la variable aléatoire E(X|X) ?
c) On suppose que les réels φ(x_1), φ(x_2), …, φ(x_q) sont deux à deux distincts. Déterminer pour tout i ∈ [ [1, q] ], P([E(Y|X) = φ(x_i)]).
d) Montrer que E(E(Y|X)) = E(Y) (on pourra appliquer le théorème du transfert).
e) Soit les réels λ, ρ et μ. Exprimer E(λY + ρX + μ|X) en fonction de λ, ρ, μ, X et E(Y|X).

Dans cette partie, on suppose qu'à chaque instant n(n ∈ ℕ), le prix p_n d'un certain bien est une variable aléatoire discrète définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs dans {p^((1)), p^((2)), …, p^((k))} ⊂ ℝ_+, où k est un entier fixé supérieur ou égal à 2 . On suppose que la suite (p_n)_(n ∈ ℕ) est constituée de variables aléatoires de même loi, et que pour tout n ∈ ℕ et pour tout i ∈ [ [1, k] ], on a : P([p_n = p^((i))]) > 0.
Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite de variables aléatoires discrètes finies indépendantes et de même loi, telles que pour tout n ∈ ℕ, on a E(u_n) = 0 et V(u_n) = σ^2 > 0.
On suppose que pour tout n ∈ ℕ^∗, les variables aléatoires u_n et p_(n − 1) sont indépendantes.
Soit θ et p^∗ deux paramètres réels vérifiant − 1 < θ < 1 et p^∗ ⩾ 0.
On suppose que p_0 est de la forme p_0 = ℓu_0 + m, où ℓ et m sont des constantes réelles, et que pour tout n ∈ ℕ^∗, on a : p_n = θp_(n − 1) + (1 − θ)p^∗ + u_n.
9.a) Calculer pour tout n ∈ ℕ^∗, E(p_n) et V(p_n). Déterminer les constantes ℓ et m en fonction de θ et p^∗.
b) Calculer pour tout n ∈ ℕ^∗, la covariance Cov(p_n, p_(n − 1)).

Que représente le paramètre θ pour le couple de variables aléatoires (p_n, p_(n − 1)) ?
10. Déterminer la variable aléatoire E(p_n|p_(n − 1)).
11. On rappelle que l'on note pˆ_n l'anticipation de p_n faite à l'instant ( n − 1 ).

Pour tout n ∈ ℕ^∗, on pose : e_n = p_n − pˆ_n (erreur d'anticipation à l'instant n ).
a) On suppose dans cette question que les anticipations de prix sont naïves, c'est-à-dire que pour tout n ∈ ℕ^∗, on a : pˆ_n = p_(n − 1).
Déterminer E(pˆ_n|p_(n − 1)). Calculer E(pˆ_n), V(pˆ_n), E(e_n) et V(e_n).
b) On suppose dans cette question que les anticipations de prix sont rationnelles, ce qui se traduit dans le cadre du modèle (1) par : pˆ_n = E(p_n|p_(n − 1)).
Déterminer E(pˆ_n|p_(n − 1)). Calculer E(pˆ_n), V(pˆ_n), E(e_n) et V(e_n).
c) Comparer les deux types d'anticipation naïve et rationnelle.