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BCE Maths appliquees HEC ECE 2014

Epreuve de maths appliquees - ECE 2014

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesInformatique
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Banque
BCE
Année
2014
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2014ECE MathématiquesMathématiques 2014

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2014.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
586b6690-d13c-46c5-8f90-80118dfa5b89
Code sujet : 289

Conception : HEC Paris

MATHÉMATIQUES

OPTION : ÉCONOMIQUE

Mercredi 30 avril 2014, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

EXERCICE

On note l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
On pose pour toute matrice :
(somme des coefficients des lignes)
(somme des coefficients des colonnes)
(somme des coefficients des diagonales)
Pour tout couple , on note la matrice de dont tous les coefficients sont nuls, excepté celui situé à l'intersection de la -ième ligne et de la -ième colonne qui vaut 1 .
On rappelle que la famille ( ) est une base de ; on note cette base.
  1. Soit l'ensemble des matrices telles que .
    a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
    b) Quelle est la dimension de ?
Soit l'application de dans qui, à toute matrice , fait correspondre le vecteur de .
2.a) Montrer que est une application linéaire.
b) On note la base canonique de . Écrire la matrice de dans les bases et .
3. On note l'ensemble des matrices telles que :
a) Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
b) On note le noyau de l'application linéaire . Montrer que .
c) On note la matrice de dont tous les coefficients sont égaux à 1 . Montrer que toute matrice de s'écrit de manière unique comme la somme d'une matrice de et d'une matrice .
d) Quel est le rang de l'application ?
e) Déterminer la dimension de ainsi qu'une base de .

PROBLÈME

  • La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est notée .
  • La notation désigne la fonction exponentielle.
  • Les trois parties du problème sont très largement indépendantes.

Partie I. Un équivalent d'une intégrale

  1. Soit la fonction définie sur l'intervalle [ 0,1 , à valeurs réelles, telle que : .
    a) Montrer que la fonction est de classe sur .
    b) Montrer que pour tout , on a .
    c) On note la fonction dérivée de la fonction . Montrer que pour tout , on a : .
    d) En déduire pour tout , un encadrement de .
  2. Soit la fonction définie sur l'intervalle ] 0,1 , à valeurs réelles, telle que : .
    a) Rappeler le développement limité en 0 à l'ordre 2 de .
    b) Calculer . En déduire que la fonction est prolongeable par continuité en 0 .
On note encore la fonction ainsi prolongée.
c) Sous réserve d'existence, on note la fonction dérivée de .
Montrer que pour tout , on a : .
d) Dresser le tableau de variation de la fonction sur .
En déduire que réalise une bijection strictement croissante de dans .
3. On pose pour tout et pour tout .
a) Établir la convergence de l'intégrale . On pose alors pour tout .
b) Montrer que pour tout , on a : .
c) En déduire l'encadrement : .
d) Montrer que pour tout , on a : .
4. Soit la suite réelle définie par : pour tout .
a) Montrer que pour tout , on a : .
b) On pose pour tout . Établir la convergence de la suite ; déterminer sa limite.
c) Établir pour tout , les inégalités suivantes :
d) Établir pour tout , l'encadrement : .
e) En déduire un équivalent de lorsque tend vers .

Partie II. Quelques propriétés asymptotiques de la loi de Poisson

Les notations sont identiques à celles de la Partie I.
5. On pose pour tout réel et pour tout et .
a) Calculer pour tout réel .
b) Établir pour tout réel et pour tout , la relation : .
c) En déduire pour tout réel et pour tout , une expression de sous forme de somme.
d) Montrer que pour tout , l'intégrale est convergente et calculer sa valeur.
e) À l'aide du changement de variable , montrer que pour tout , on a : .
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé , de même loi de Poisson de paramètre 1. On pose pour tout .
6.a) Rappeler, sans démonstration mais en citant le résultat de cours utilisé, la loi de la variable aléatoire .
b) Exprimer pour tout et en fonction de et respectivement.
7. Pour tout , on note la fonction définie sur , à valeurs réelles, telle que : .
a) Étudier les variations de sur .
b) Établir pour tout , la relation :
c) En déduire que la suite est décroissante.
d) Étudier la monotonie de la suite .
e) Montrer que les deux suites et sont convergentes.
8.a) Énoncer le théorème de la limite centrée et déterminer .
b) En déduire, à l'aide des questions 4 et 5 , un équivalent de ! lorsque tend vers .
c) Donner un équivalent et la limite de lorsque tend vers .
d) Déterminer .
Partie III. Médianes : cas des variables aléatoires discrètes et des variables aléatoires à densité Soit une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé ( ), de fonction de répartition . On appelle médiane de , tout réel vérifiant les deux conditions : et . On admet qu'un tel réel existe toujours.
9．On suppose que l＇on a défini un entier supérieur ou égal à 1 et un type type proba array of real．Soit une variable aléatoire discrète à valeurs dans ．On suppose que la loi de est stockée dans une variable loi de type proba．
Écrire une fonction Pascal d＇en－tête function mediane（loi ：proba）：real ；qui renvoie une médiane de ．
10．Dans cette question， est une variable aléatoire discrète à valeurs dans admettant une espérance ．
a）Montrer que pour tout ，on a ： ．
b）Montrer que ： ．
En déduire que pour tout ，on a ： ．
c）Soit une médiane de ．On suppose que ．
Déterminer，pour tout ，le signe de ．Conclure．
d）On suppose que suit la loi de Poisson de paramètre ．
En utilisant les questions 7 et 8 ，justifier que est une médiane de ．
En utilisant les questions 10．a et 8．c，montrer que est équivalent à lorsque tend vers ．
11．Dans cette question， est une variable aléatoire à densité dont une densité est continue sur ．
On suppose que admet une espérance ．Soit la fonction de dans définie par ．
a）Établir pour tout ，l＇encadrement： ．
En déduire que ．
En considérant la variable aléatoire ，montrer que ．
b）Établir pour tout réel，la relation ： ．
c）Montrer que pour tout couple ，on a ： ．
d）On note une médiane de ．Montrer que est un point en lequel la fonction atteint son minimum．

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