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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2005

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2005
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2005ECS MathématiquesMathématiques 2005

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2005.

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c4a4f083-fc9b-4a26-89b9-43dadbcd662f

BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteur: ESSEC

CODE EPREUVE :

286
ESSECM2_S

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 16 mai 2005 , de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'ilsera amené à prendre.
Dans ce problème, les variables aléatoires sont réelles et toutes définies sur un espace probabilisé ( ). représente une suite de variables aléatoires et, pour tout , on note . Si est une variable aléatoire réelle, désigne son espérance.

Préliminaires

  1. Soit ( ) une suite de variables aléatoires réelles de même loi, admettant une espérance . Énoncer, avec précision, la loi faible des grands nombres pour la suite .
  2. Soit un réel strictement positif et un sous-ensemble de tel que l'intervalle soit inclus dans le complémentaire de . Déterminer
L'objet du problème est de préciser de manière quantitative les résultats ci-dessus.

I. Un premier exemple. Le cas gaussien

Dans cette partie, est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi normale centrée réduite, .
  1. Quelle est la loi de ?
  2. Soit un réel strictement positif. Dans cette partie, on note exp la fonction exponentielle.
    a) Montrer que
b) En posant , montrer que
  1. a) Montrer que pour tout , on a .
    b) Montrer que l'intégrale converge et la calculer.
    c) Déterminer
d) En déduire, lorsque tend vers l'infini, un équivalent de .

II. Quelques résultats généraux

À l'instar des variables aléatoires discrètes, on admettra que si sont deux variables aléatoires à densité, indépendantes, admettant une espérance, alors admet une espérance et .
Soit une variable aléatoire réelle (discrète ou à densité). Pour tout telle que admet une espérance , on pose
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que .
  1. Montrer que pour tout , pour tout tel que existe, on a .
  2. Soit une variable aléatoire réelle et tel que existe.
    a) Montrer que pour tout réel, , où désigne la fonction indicatrice de l'ensemble .
    b) En déduire que ,
    c) Montrer que .
  3. Soit une variable aléatoire réelle et tel que existe.
    a) Montrer que pour tout réel, .
    b) En déduire que , puis que .

III. Un second exemple. Le cas binomial

Dans cette partie, est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli , avec . On rappelle que .
  1. Calculer et déterminer son domaine de définition.
Soit un réel fixé de .
2. On suppose dans cette question que .
a) Étudier sur les variations de la fonction définie par
b) Montrer que la fonction atteint sur un maximum strictement positif qu'on exprimera en fonction de et .
c) Montrer que
  1. On suppose dans cette question que , (donc ).
    a) Déterminer la loi de la variable aléatoire .
    b) Montrer que
  1. Soit . Déduire des questions précédentes que
  1. Soit un réel de [. Montrer que, pour assez grand, il est toujours possible de trouver deux réels tels que qui vérifient les inégalités:
(on pourra étudier les variations de la fonction ).
6. Une entreprise souhaite acquérir une machine qui fabrique un certain type d'objets et qui, en fonctionnement normal, produit une proportion , d'objets défectueux. Le directeur veut connaître la valeur de . Pour cela il teste la machine et prélève un échantillon de , objets qu'il analyse.
Pour tout , soit la variable aléatoire de Bernoulli définie par
èééé
On suppose que dans les conditions de prélèvement, les variables aléatoires sont indépendantes.
a) Montrer que est un estimateur sans biais de .
b) Calculer le risque quadratique . Déterminer .
7. On souhaite déterminer dans cette question un intervalle de confiance du paramètre inconnu, au niveau de confiance , à partir de l'échantillon .
a) Quelle est la limite en loi de la suite ?
b) Soit la réalisation de sur l'échantillon considéré. Soit le réel défini par , où désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée, réduite.
Déterminer en fonction de un intervalle de confiance de au niveau .

IV. Le cas général

Soit une variable aléatoire réelle de densité .
Pour tout réel tel que converge, on note
On supposera que est défini sur un intervalle contenant 0 .
  1. Soit , et tel que .
    a) Montrer que pour tout réel
b) Montrer que, pour tout réel
c) En déduire que l'intégrale converge, puis que admet une espérance .
2. Soit , et tel que . Soit tel que .
a) Montrer que, pour tout réel,
puis que
b) Montrer que est dérivable en et que
On admettra (et on démontrerait de manière analogue) que la fonction est de classe sur [ et que pour tout
  1. On note .
    a) Donner le domaine de définition de la fonction .
    b) Calculer , dérivées première et seconde de .
    c) En utilisant l'inégalité de Cauchy Schwarz, montrer que est strictement croissante sur ; en déduire que admet en (respectivement ) une limite (finie ou infinie) qu'on notera (respectivement ). Quelle est la valeur de ?
    d) Montrer que admet en (respectivement ) une limite (finie ou infinie) qu'on notera (respectivement ).
  2. Soit a réel donné. Pour tout , on pose : .
Dresser le tableau de variations de la fonction (on distinguera trois cas : et .
5. Pour tout réel, on pose : . On suppose désormais que .
Montrer que .
6. Montrer que si ,
puis que si
  1. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que .
Montrer que si , puis que si .
8. Soit . Montrer que

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