Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionTopologie/EVNProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Notations :
Dans tout le problème, les lettres et désignent des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 .
Par ailleurs, on note :
l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels ; ainsi, tout élément appartenant à est une matrice colonne à lignes.
la matrice transposée de la matrice .
la matrice identité de .
Pour appartenant à , et .
Pour tout entier naturel non nul, on munit de sa structure euclidienne canonique ; ainsi :
si et appartiennent à , le produit scalaire de et s'obtient
par la relation et la norme euclidienne de notée par :
On admettra que toute matrice et sa transposée ont même rang. De plus, on rappelle que lorsque le produit de deux matrices et est possible, on a la relation .
Question préliminaire.
Soit un sous-espace vectoriel de de dimension non nulle et une base orthonormée de vecteurs colonnes de .
On envisage la projection orthogonale sur représentée par sa matrice dans la base canonique de .
Montrer que et vérifier que est une matrice symétrique.
Partie I - Décomposition spectrale de la matrice associée à une matrice de .
On envisage dans toute cette partie une matrice appartenant à .
2)
(a) Préciser la taille de la matrice et vérifier que .
(b) Montrer que si alors et établir que .
Montrer que et sont nulles simultanément.
(c) Justifier l'égalité : .
3)
(a) Établir que la matrice est diagonalisable et en calculant pour vecteur propre de la matrice , montrer que ses valeurs propres sont des réels positifs.
(b) On désigne par ( ) la liste des valeurs propres distinctes de la matrice , classée dans l'ordre croissant.
On rappelle que où .
Pour entier naturel compris entre 1 et , on note la matrice de la projection orthogonale sur dans la base canonique de .
Vérifier que pour et distincts compris entre 1 et est la matrice nulle.
Justifier les relations : et . Cette dernière écriture s'appelle la décomposition spectrale de .
4) Exemples:
(a) Déterminer la décomposition spectrale de lorsque est la matrice 3,3 égale à
(b) On envisage la matrice ligne où les réels sont fixés, non tous nuls simultanément. Ainsi, est un réel.
Montrer que le polynôme est annulateur pour la matrice . Préciser la liste des valeurs propres et la décomposition spectrale de la matrice .
Partie II - Pseudo solution d'une équation linéaire.
On s'intéresse dans cette partie à l'équation où et .
Une matrice appartenant à est dite solution de cette équation si elle vérifie la relation .
Elle est dite pseudo solution de cette équation si elle vérifie :
On suppose que l'équation admet au moins une solution. Montrer que est une pseudo solution si et seulement si elle est solution de l'équation.
On suppose que est une pseudo solution de l'équation.
Montrer que, pour tout réel et toute matrice de , on a :
En déduire que .
7) Montrer que tout de vérifiant la relation est pseudo solution et en déduire qu'il existe toujours au moins une pseudo solution de l'équation.
8) Exemple : déterminer toutes les pseudo solutions de l'équation lorsque :
Parmi celles-ci, préciser celle dont la norme euclidienne est minimale.
9) Donner une condition sur le rang de pour que l'équation admette une unique pseudo solution.
Partie III - Pseudo inverse d'une matrice.
On reprend les notations de la partie 2.
Parmi toutes les pseudo solutions de l'équation , on se propose de chercher s'il en existe, celle(s) dont la norme euclidienne est minimale.
10) Montrer que l'équation possède une unique pseudo solution de norme minimale notée et qu'elle est caractérisée par les deux conditions : et est orthogonal à .
11) Pour fixé et appartenant à , préciser dans les cas suivants :
(a) est de rang .
(b) est la matrice nulle.
12) Lorsque varie dans , montrer que l'application qui à associe son unique pseudo solution de norme minimale est une application linéaire de dans .
Relativement aux bases canoniques respectives de et de , cette dernière application linéaire est représentée par sa matrice appartenant à . On convient de l'appeler, jusqu'à la fin de ce problème, pseudo inverse de la matrice et de la noter .
13) On suppose que est non nulle et on revient à la matrice dont la décomposition spectrale introduite à la question 3) b) est .
On désigne par l'ensemble des indices compris entre 1 et pour lesquels on a .
(a) Pourquoi a-t-on ?
(b) Vérifier que .
14) Reprendre l'exemple de la question 8) en calculant explicitement ; retrouver ainsi l'unique pseudo solution de norme minimale.
15) Lorsque appartient à , montrer que :
Partie IV - Étude de l'opérateur .
Démontrer les relations suivantes:
Soit une matrice appartenant à vérifiant :
(a) Montrer que vérifie les relations suivantes :
(b) En déduire que et qu'ainsi est l'unique matrice vérifiant les relations (*).
18) Établir les formules suivantes:
(a) .
(b) .
19) Soit un réel strictement positif et .
Montrer que : . (On conviendra, sous réserve d'existence, que la limite en un point d'une matrice est la matrice formée des limites en ce même point de ses coefficients). Utiliser ce procédé pour trouver la pseudo inverse de la matrice mise en œuvre dans la question 8).
20) Pour tout réel différent de 0 et , exprimer en fonction de et . La matrice admet-elle une limite lorsque tend vers 0 ?
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