La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Notations :
Dans tout le problème, les lettres m et n désignent des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 .
Par ailleurs, on note :
ℳ_(m, n)(ℝ) l'espace vectoriel des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients réels ; ainsi, tout élément X appartenant à ℳ_(n, 1)(ℝ) est une matrice colonne à n lignes.
^t M la matrice transposée de la matrice M.
I_n la matrice identité de ℳ_(n, n)(ℝ).
Pour M appartenant à ℳ_(m, n)(ℝ), KerM = {X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ)/MX = 0} et ImM = {MX/X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ)}.
Pour tout m entier naturel non nul, on munit ℳ_(m, 1)(ℝ) de sa structure euclidienne canonique ; ainsi :
si X = (x_1; x_2; ⋮; x_m) et Y = (y_1; y_2; ⋮; y_m) appartiennent à ℳ_(m, 1)(ℝ), le produit scalaire de X et Y s'obtient
par la relation ^t XY = ∑_(i = 1)^m x_i y_i et la norme euclidienne de Y notée ‖Y‖_m par : ‖Y‖_m^2 = ^t YY = ∑_(i = 1)^m y_i^2
On admettra que toute matrice et sa transposée ont même rang. De plus, on rappelle que lorsque le produit de deux matrices M et N est possible, on a la relation ^t(MN) = ^t N^t M.
Question préliminaire.
Soit F un sous-espace vectoriel de ℳ_(n, 1)(ℝ) de dimension k non nulle et (U_1, U_2, …, U_k) une base orthonormée de vecteurs colonnes de F.
On envisage la projection orthogonale sur F représentée par sa matrice P dans la base canonique de ℳ_(n, 1)(ℝ).
Montrer que P = ∑_(i = 1)^k U_i^t U_i et vérifier que P est une matrice symétrique.
Partie I - Décomposition spectrale de la matrice ^t AA associée à une matrice A de ℳ_(m, n)(ℝ).
On envisage dans toute cette partie une matrice A appartenant à ℳ_(m, n)(ℝ).
2)
(a) Préciser la taille de la matrice ^t AA et vérifier que KerA ⊂ Ker^t AA.
(b) Montrer que si X ∈ Ker^t AA alors ‖AX‖_m = 0 et établir que KerA = Ker^t AA.
Montrer que A et ^t AA sont nulles simultanément.
(c) Justifier l'égalité : Im^t A = Im^t AA.
3)
(a) Établir que la matrice ^t AA est diagonalisable et en calculant ‖AX‖_m^2 pour X vecteur propre de la matrice ^t AA, montrer que ses valeurs propres sont des réels positifs.
(b) On désigne par ( λ_1, λ_2, …, λ_p ) la liste des valeurs propres distinctes de la matrice ^t AA, classée dans l'ordre croissant.
On rappelle que ℳ_(n, 1)(ℝ) = ⨁_(i = 1)^p E_(λ_i)(^t AA) où E_(λ_i)(^t AA) = Ker(^t AA − λ_i I_n).
Pour i entier naturel compris entre 1 et p, on note P_i la matrice de la projection orthogonale sur E_(λ_i)(^t AA) dans la base canonique de ℳ_(n, 1)(ℝ).
Vérifier que pour i et j distincts compris entre 1 et p, P_i P_j est la matrice nulle.
Justifier les relations : I_n = ∑_(i = 1)^p P_i et ^t AA = ∑_(i = 1)^p λ_i P_i. Cette dernière écriture s'appelle la décomposition spectrale de ^t AA.
4) Exemples:
(a) Déterminer la décomposition spectrale de ^t AA lorsque A est la matrice 3,3 égale à (1, − 1, 1; 1, − 1, 1; − 1, 1, 2)
(b) On envisage la matrice ligne A = (a_1 a_2⋯a_n) où les réels a_1, a_2, …, a_n sont fixés, non tous nuls simultanément. Ainsi, A^t A est un réel.
Montrer que le polynôme X^2 − (A^t A)X est annulateur pour la matrice ^t AA. Préciser la liste des valeurs propres et la décomposition spectrale de la matrice ^t AA.
Partie II - Pseudo solution d'une équation linéaire.
On s'intéresse dans cette partie à l'équation AX = B où A ∈ ℳ_(m, n)(ℝ) et B ∈ ℳ_(m, 1)(ℝ).
Une matrice X appartenant à ℳ_(n, 1)(ℝ) est dite solution de cette équation si elle vérifie la relation AX = B.
Elle est dite pseudo solution de cette équation si elle vérifie :
∀Z ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ) ‖AX − B‖_m ≤ ‖AZ − B‖_m
On suppose que l'équation AX = B admet au moins une solution. Montrer que X est une pseudo solution si et seulement si elle est solution de l'équation.
On suppose que X est une pseudo solution de l'équation.
Montrer que, pour tout réel λ et toute matrice Y de ℳ_(n, 1)(ℝ), on a :
λ^2‖AY‖_m^2 + 2λ^t Y^t A(AX − B) ≥ 0
En déduire que ^t AAX = ^t AB.
7) Montrer que tout X de ℳ_(n, 1)(ℝ) vérifiant la relation ^t AAX = ^t AB est pseudo solution et en déduire qu'il existe toujours au moins une pseudo solution de l'équation.
8) Exemple : déterminer toutes les pseudo solutions de l'équation AX = B lorsque :
A = (1, − 1, 1; 1, − 1, 1; − 1, 1, 2) et B = (2; 2; 1)
Parmi celles-ci, préciser celle dont la norme euclidienne est minimale.
9) Donner une condition sur le rang de A pour que l'équation admette une unique pseudo solution.
Partie III - Pseudo inverse d'une matrice.
On reprend les notations de la partie 2.
Parmi toutes les pseudo solutions de l'équation AX = B, on se propose de chercher s'il en existe, celle(s) dont la norme euclidienne est minimale.
10) Montrer que l'équation possède une unique pseudo solution de norme minimale notée S et qu'elle est caractérisée par les deux conditions : ^t AAS = ^t AB et S est orthogonal à Ker^t AA.
11) Pour B fixé et appartenant à ℳ_(m, 1)(ℝ), préciser S dans les cas suivants :
(a) A est de rang n.
(b) A est la matrice nulle.
12) Lorsque B varie dans ℳ_(m, 1)(ℝ), montrer que l'application qui à B associe son unique pseudo solution de norme minimale S est une application linéaire de ℳ_(m, 1)(ℝ) dans ℳ_(n, 1)(ℝ).
Relativement aux bases canoniques respectives de ℳ_(m, 1)(ℝ) et de ℳ_(n, 1)(ℝ), cette dernière application linéaire est représentée par sa matrice appartenant à ℳ_(n, m)(ℝ). On convient de l'appeler, jusqu'à la fin de ce problème, pseudo inverse de la matrice A et de la noter A^+.
13) On suppose que A est non nulle et on revient à la matrice ^t AA dont la décomposition spectrale introduite à la question 3) b) est ∑_(i = 1)^p λ_i P_i.
On désigne par Γ(A) l'ensemble des indices i compris entre 1 et p pour lesquels on a λ_i ≠ 0.
(a) Pourquoi a-t-on Γ(A) ≠ ∅ ?
(b) Vérifier que A^+ = ∑_(i ∈ Γ(A))1/(λ_i)P_i^t A.
14) Reprendre l'exemple de la question 8) en calculant explicitement A^+; retrouver ainsi l'unique pseudo solution de norme minimale.
15) Lorsque A appartient à ℳ_(1, n)(ℝ), montrer que :
Soit M une matrice appartenant à ℳ_(n, m)(ℝ) vérifiant :
A = AMA, M = MAM, ^t(MA) = MA, ^t(AM) = AM
(a) Montrer que M vérifie les relations suivantes :
M = M^t M^t A = ^t A^t MM, A = A^t A^t M = ^t M^t AA, ^t A = ^t AAM = MA^t A
(b) En déduire que M = A^+et qu'ainsi A^+est l'unique matrice vérifiant les relations (*).
18) Établir les formules suivantes:
(a) (A^+)^+ = A.
(b) (^t A)^+ = ^t(A^+).
19) Soit x un réel strictement positif et A ∈ ℳ_(m, n)(ℝ).
Montrer que : A^+ = lim_(x → 0^+)[(^t AA + xI_n)^(− 1)^t A]. (On conviendra, sous réserve d'existence, que la limite en un point d'une matrice est la matrice formée des limites en ce même point de ses coefficients). Utiliser ce procédé pour trouver la pseudo inverse de la matrice A mise en œuvre dans la question 8).
20) Pour tout α réel différent de 0 et A ∈ ℳ_(m, n)(ℝ), exprimer (αA)^+en fonction de α et A^+. La matrice (αA)^+admet-elle une limite lorsque α tend vers 0 ?
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