La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème, désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment et à valeurs réelles.

Sous réserve d'existence, on note et .
Le but du problème est d'obtenir, à l'aide des fonctions et , des expressions des fonctions et comme somme de séries ou produit infini (On parle de développements eulériens).

Plus précisément, dans la partie I, on étudie les premières propriétés de la fonction ; dans la seconde partie, on introduit et on étudie l'opérateur défini sur par: , .

On en déduit une expression de la fonction , puis, dans la partie III, de la fonction sinus. Enfin, dans la partie IV, l'étude de la fonction permet d'obtenir une expression de .

1- Montrer que, pour tout nombre réel qui n'est pas un entier relatif, la série de terme général est convergente.
Dans la suite, on notera l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des entiers relatifs. La fonction est donc définie sur .

2- Imparité et périodicité de :
a. Justifier que est impaire.
by Vérifier que pour dans .
c- Montrer que pour dans .
La fonction est donc périodique de période 1 .
3- Continuité de :
a- Justifier pour dans l'ensemble l'existence de :

b. Vérifier que: .
c- Soit un nombre réel de , montrer que : où

d- En déduire que est continue sur puis que est continue sur .
La fonction est donc continue sur .
4- Etude de en 0 et en 1 :
a- Montrer que : et que : .
b- Obtenir des résultats similaires lorsque tend vers 1 .

On rappelle que désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment et à valeurs réelles.
est l'application définie sur par : .

On note, pour tout entier naturel l'élément de défini par : et pour tout entier naturel le sous espace vectoriel de dont une base est .

5- Vérifier que est un endomorphisme de .

6- Etude de sur :
a- Vérifier que: .
On note l'endomorphisme de défini par: .
b- Déterminer la matrice de dans la base .
q- Quelles sont les valeurs propres de ? est-il diagonalisable?

7- Etude du noyau de l'endomorphisme ( ) :
a- Montrer que n'est pas réduit à .

Soit un élément de . On note et . On fixe dans tel que et dans tel que .
b- Montrer que : .
c- En déduire que: .
d- En déduire que : .
e- Faire une étude similaire pour .
f- Montrer alors que est constante.

8- Etude de la fonction cot:
Pour tout dans l'ensemble , on note .
a- Vérifier que cot est définie et continue sur , qu'elle est impaire et périodique de période 1.
b- Montrer que : et que : .
c- Obtenir des résultats similaires lorsque tend vers 1 .
d- Démontrer que, pour tout nombre réel dans , on a :

9- Calcul de :
a- Vérifier que, pour tout nombre réel dans .
b- Montrer que -cot se prolonge par continuité sur .
c- Démontrer alors que .
Autrement dit : .
10- Première application :
a- Déterminer .
Pour tout nombre réel dans , on pose
b- Vérifier que .
c- En déduire que .
d- Déterminer .

Pour tout entier naturel non nul et tout nombre réel dans , on pose et .

11- Montrer que, pour tout nombre réel dans , la série converge. On note alors .
12- Explicitation de : on fixe un nombre réel dans .
2 - Pour entier naturel non nul, calculer en fonction de .
b- Justifier l'existence de .
c- Montrer que : .
d En déduire que : .
e- Montrer alors que, pour tout nombre réel dans .

13- Pour tout nombre réel et pour tout entier naturel non nul , on pose . a- Montrer que, pour tout nombre réel de , la suite est convergente. Dans la suite, on pose et on note: .
b- Vérifier que, pour tout nombre réel de .
c- Montrer que la suite est en fait convergente pour tout nombre réel . On note encore

d- Soient un entier naturel non nul et un nombre réel dans , montrer que .
e- En déduire que, pour tout nombre réel . Vérifier alors que est 2périodique sur .
f- Montrer alors que, pour tout nombre réel .
Finalement, on obtient ainsi : .

Dans cette partie, pour tout entier naturel non nul et pour tout nombre réel dans , on pose et .

14- Montrer que, pour tout nombre réel dans , la série de terme général est convergente.
La fonction est donc définie sur .
15- Montrer que, pour tout entier naturel non nul et pour tout nombre réel dans , . Pour cela, on pourra utiliser sans la démontrer la formule trigonométrique .
16- Pour tout nombre réel et tout entier naturel non nul , on pose .
a- Vérifier que lorsque n'est pas de la forme .
b- Expliciter lorsque s'écrit avec dans .
c- Donner la valeur de .

17- Soit une fonction de classe sur , montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que : .

18- Pour élément de , on définit la fonction sur par :

a- Montrer que est de classe sur .
b- Vérifier que :

c- En déduire que :

19-Application :
a- Démontrer, à l'aide des questions précédentes que, pour tout élément de ,

b- En déduire que, pour tout élément de .