BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2016Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2016

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2016 FilièreECS MatièreMathématiques

Annales BCE ECS Mathématiques BCE ECS 2016 ECS Mathématiques Mathématiques 2016

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Développements eulériens des fonctions cotangente et sinus comme sommes de séries

Le problème construit deux expressions classiques dues à Euler : la fonction cotangente comme somme d'une série de fractions rationnelles, puis la fonction sinus comme produit infini. Il introduit pour cela une fonction φ définie par une série, un opérateur de dédoublement d'intervalle T, puis une seconde fonction ψ obtenue par des intégrales trigonométriques.

1Partie I : étude de la fonction φOn établit la convergence, l'imparité, la périodicité et la continuité de la série définissant φ, ainsi que son comportement au voisinage de 0 et de 1.
2Partie II : étude de l'opérateur TOn étudie l'endomorphisme T de dédoublement d'intervalle sur l'espace des fonctions continues, sa restriction aux polynômes, son noyau associé à la valeur propre 2, puis on en déduit l'égalité φ = cotangente.
3Partie III : développement eulérien de la fonction sinusOn construit, à partir de φ, un produit infini convergent et on montre qu'il coïncide avec sin(πx), obtenant ainsi la formule du produit infini d'Euler pour le sinus.
4Partie IV : un autre développement du sinusOn introduit la fonction ψ à l'aide d'intégrales de Dirichlet et on retrouve, par un argument de convergence dominée, le développement en série de 1/sin(πx).

Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2016.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Conception : ESSEC

OPTION Scientifique

MATHÉMATIQUES

Vendredi 6 mai 2016, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Notations et objectifs :

Dans tout le problème,

E

désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment

[0, 1]

et à valeurs réelles.

Sous réserve d'existence, on note

φ : x \mapsto 1/x - \sum_(n = 1)^(+ \infty)(2x)/(n^2 - x^2)

ψ : x \mapsto \sum_(n = 1)^(+ \infty)(- 1)^(n - 1)x/(n^2 - x^2)

.
Le but du problème est d'obtenir, à l'aide des fonctions

φ

ψ

, des expressions des fonctions

sin1/(sin)

(cos)/(sin)

comme somme de séries ou produit infini (On parle de développements eulériens).

Plus précisément, dans la partie I, on étudie les premières propriétés de la fonction

φ

; dans la seconde partie, on introduit et on étudie l'opérateur

T

défini sur

E

par:

\forallf \in E, \forallx \in [0, 1]

[T(f)](x) = f(x/2) + f((x + 1)/2)

On en déduit une expression de la fonction

(cos)/(sin)

, puis, dans la partie III, de la fonction sinus. Enfin, dans la partie IV, l'étude de la fonction

ψ

permet d'obtenir une expression de

1/(sin)

Partie I : Etude de la fonction $φ$ .

1- Montrer que, pour tout nombre réel

x

qui n'est pas un entier relatif, la série de terme général

u_n(x) = (2x)/(n^2 - x^2)

est convergente.
Dans la suite, on notera

D

l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des entiers relatifs. La fonction

φ

est donc définie sur

D

2- Imparité et périodicité de

φ

:
a. Justifier que

φ

est impaire.
by Vérifier que pour

x

dans

D : (2x)/(n^2 - x^2) = 1/(n - x) - 1/(n + x)

.
c- Montrer que pour

x

dans

D : φ(x + 1) = φ(x)

.
La fonction

φ

est donc périodique de période 1 .
3- Continuité de

φ

:
a- Justifier pour

x

dans l'ensemble

D \cup {0, 1}

l'existence de :

g(x) = \sum_(n = 2)^(+ \infty)(2x)/(n^2 - x^2) = \sum_(n = 2)^(+ \infty)(1/(n - x) - 1/(n + x))

b. Vérifier que:

\forallx \in D, φ(x) = 1/x - 1/(1 - x) + 1/(1 + x) - g(x)

.
c- Soit

h

un nombre réel de

] - 1/2, 1/2[

, montrer que :

\forallx \in [0, 1], |g(x + h) - g(x)| \leq C|h|

où

C = \sum_(n = 2)^(+ \infty)2/((n - 1)(n - 3/2))

d- En déduire que

g

est continue sur

[0, 1]

puis que

φ

est continue sur

]0, 1[

.
La fonction

φ

est donc continue sur

D

.
4- Etude de

φ

en 0 et en 1 :
a- Montrer que :

φ(x) \sim _(x \to 0)1/x

et que :

lim_(x \to 0)(φ(x) - 1/x) = 0

.
b- Obtenir des résultats similaires lorsque

x

tend vers 1 .

Partie II: Etude de l'opérateur T

On rappelle que

E

désigne l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment

[0, 1]

et à valeurs réelles.

T

est l'application définie sur

E

par :

\forallf \in E, \forallx \in [0, 1], [T(f)](x) = f(x/2) + f((x + 1)/2)

On note, pour tout entier naturel

k, e_k

l'élément de

E

défini par :

\forallx \in [0, 1], e_k(x) = x^k

et pour tout entier naturel

n, F_n

le sous espace vectoriel de

E

dont une base est

B_n = (e_k)_(k \in [ [0, n] ])

5- Vérifier que

T

est un endomorphisme de

E

6- Etude de

T

sur

F_n

:
a- Vérifier que:

\forallf \in F_n, T(f) \in F_n

.
On note

T_n

l'endomorphisme de

F_n

défini par:

\forallf \in F_n, T_n(f) = T(f)

.
b- Déterminer la matrice de

T_n

dans la base

B_n

.
q- Quelles sont les valeurs propres de

T_n

T_n

est-il diagonalisable?

7- Etude du noyau de l'endomorphisme (

T - 2.id_E

) :
a- Montrer que

Ker(T - 2.id_E)

n'est pas réduit à

{0_E}

Soit

f

un élément de

Ker(T - 2.id_E)

. On note

m = min_(x \in [0, 1])f(x)

M = max_(x \in [0, 1])f(x)

. On fixe

x_0

dans

[0, 1]

tel que

m = f(x_0)

x_1

dans

[0, 1]

tel que

M = f(x_1)

.
b- Montrer que :

f((x_0)/2) = m

.
c- En déduire que:

\foralln \in ℕ, f((x_0)/(2^n)) = m

.
d- En déduire que :

m = f(0)

.
e- Faire une étude similaire pour

M

.
f- Montrer alors que

f

est constante.

8- Etude de la fonction cot:
Pour tout

x

dans l'ensemble

D

, on note

cot(x) = π(cos(πx))/(sin(πx))

.
a- Vérifier que cot est définie et continue sur

D

, qu'elle est impaire et périodique de période 1.
b- Montrer que :

cot(x) \sim _(x \to 0)1/x

et que :

cot(x) - 1/x \sim _(x \to 0) - (π^2)/3x

.
c- Obtenir des résultats similaires lorsque

x

tend vers 1 .
d- Démontrer que, pour tout nombre réel

x

dans

D

, on a :

x/2 \in D, (x + 1)/2 \in D

et cot(x/2) + cot((x + 1)/2) = 2cot(x)

9- Calcul de

φ

:
a- Vérifier que, pour tout nombre réel

x

dans

D, φ(x/2) + φ((x + 1)/2) = 2φ(x)

.
b- Montrer que

φ

-cot se prolonge par continuité sur

[0, 1]

.
c- Démontrer alors que

φ = cot

.
Autrement dit :

\forallx \in D, π(cos(πx))/(sin(πx)) = 1/x - \sum_(n = 1)^(+ \infty)(2x)/(n^2 - x^2)

.
10- Première application :
a- Déterminer

lim_(x \to 0)(1 - xcot(x))/(2x^2)

.
Pour tout nombre réel

x

dans

]0, 1[

, on pose

δ(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2 - x^2) - \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

b- Vérifier que

|δ(x) - (x^2)/(1 - x^2)| \leq x^2\sum_(n = 2)^(+ \infty)1/(n^2(n^2 - 1))

.
c- En déduire que

lim_(x \to 0)\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2 - x^2) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

.
d- Déterminer

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

Partie III: Développement eulérien de la fonction sinus

Pour tout

n

entier naturel non nul et tout nombre réel

x

dans

[0, 1[

, on pose

α_n(x) = ln(1 - (x^2)/(n^2))

β_n(x) = \sum_(k = 1)^n α_k(x)

11- Montrer que, pour tout nombre réel

x

dans

[0, 1]

, la série

\sum_(n \geq 1)α_n(x)

converge. On note alors

β(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)α_n(x)

.
12- Explicitation de

β

: on fixe un nombre réel

x

dans

]0, 1[

.
2 - Pour

N

entier naturel non nul, calculer

\int_0^x(\sum_(n = 1)^N(- 2t)/(n^2 - t^2))dt

en fonction de

β_N(x)

.
b- Justifier l'existence de

\int_0^x(φ(t) - 1/t)dt

.
c- Montrer que :

|\int_0^x(φ(t) - 1/t)dt - \int_0^x(\sum_(n = 1)^N(- 2t)/(n^2 - t^2))dt| \leq \sum_(n = N + 1)^(+ \infty)1/(n^2 - 1)

.
d En déduire que :

β(x) = \int_0^x(φ(t) - 1/t)dt

.
e- Montrer alors que, pour tout nombre réel

x

dans

]0, 1[, β(x) = ln((sin(πx))/(πx))

13- Pour tout nombre réel

x

et pour tout entier naturel non nul

n

, on pose

P_n(x) = πx\prod_(k = 1)^n(1 - (x^2)/(k^2))

. a- Montrer que, pour tout nombre réel

x

[0, 1[

, la suite

(P_n(x))_(n \geq 1)

est convergente. Dans la suite, on pose

P(x) = lim_(n \to + \infty)P_n(x)

et on note:

P(x) = πx\prod_(n = 1)^(+ \infty)(1 - (x^2)/(n^2))

.
b- Vérifier que, pour tout nombre réel

x

[0, 1[, P(x) = πxexp(β(x)) = sin(πx)

.
c- Montrer que la suite

(P_n(x))_(n \geq 1)

est en fait convergente pour tout nombre réel

x

. On note encore

P(x) = lim_(n \to + \infty)P_n(x)

d- Soient

n

un entier naturel non nul et

x

un nombre réel dans

] - n, n[

, montrer que

P_n(x + 1) = - ((n + 1 + x)/(n - x))P_n(x)

.
e- En déduire que, pour tout nombre réel

x : P(x + 1) = - P(x)

. Vérifier alors que

P

est 2périodique sur

ℝ

.
f- Montrer alors que, pour tout nombre réel

x, P(x) = sin(πx)

.
Finalement, on obtient ainsi :

\forallx \in ℝ, sin(πx) = πx\prod_(n = 1)^(+ \infty)(1 - (x^2)/(n^2))

Partie IV: Un autre développement du sinus

Dans cette partie, pour tout entier naturel non nul

n

et pour tout nombre réel

x

dans

D⋃{0}

, on pose

λ_n(x) = \int_0^π cos(xt)cos(nt)dt

v_n(x) = (- 1)^(n - 1)x/(n^2 - x^2)

14- Montrer que, pour tout nombre réel

x

dans

D⋃{0}

, la série de terme général

v_n(x)

est convergente.
La fonction

ψ

est donc définie sur

D⋃{0}

.
15- Montrer que, pour tout entier naturel non nul

n

et pour tout nombre réel

x

dans

D⋃{0}

λ_n(x) = ((- 1)^(n - 1)xsin(πx))/(n^2 - x^2) = sin(πx)v_n(x)

. Pour cela, on pourra utiliser sans la démontrer la formule trigonométrique

cosacosb = 1/2(cos(a + b) + cos(a - b))

.
16- Pour tout nombre réel

t

et tout entier naturel non nul

n

, on pose

C_n(t) = \sum_(k = 1)^n cos(kt)

.
a- Vérifier que lorsque

t

n'est pas de la forme

2pπ, p \in ℤ, C_n(t) = - 1/2 + 1/2(sin((2n + 1)t/2))/(sin(t/2))

.
b- Expliciter

C_n(t)

lorsque

t

s'écrit

2pπ

avec

p

dans

ℤ

.
c- Donner la valeur de

I_n = \int_0^π C_n(t)dt

17- Soit

F

une fonction de classe

C^1

sur

[0, π]

, montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que :

lim_(n \to + \infty)(\int_0^π F(t)sin((2n + 1)t/2)dt) = 0

18- Pour

x

élément de

D

, on définit la fonction

Φ_x

sur

[0, π]

par :

Φ_x(t) = {(cos(xt) − 1)/(sin(t/2)), si t ∈ ]0, π]; 0, si t = 0

a- Montrer que

Φ_x

est de classe

C^1

sur

[0, π]

.
b- Vérifier que :

\forallt \in [0, π], C_n(t)(cos(xt) - 1) = - 1/2(cos(xt) - 1) + 1/2Φ_x(t)sin((2n + 1)t/2)

c- En déduire que :

\foralln \in ℕ^*, \forallx \in D, \sum_(k = 1)^n λ_k(x) = - 1/2(sin(πx))/x + π/2 + 1/2\int_0^π Φ_x(t)sin((2n + 1)t/2)dt + I_n

19-Application :
a- Démontrer, à l'aide des questions précédentes que, pour tout

x

élément de

D

ψ(x)sin(πx) = - 1/2(sin(πx))/x + π/2

b- En déduire que, pour tout

x

élément de

D, π/(sin(πx)) = 1/x + 2x\sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^(n - 1))/(n^2 - x^2)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies ESSEC ECS 2016 ?

Il porte sur les séries de fonctions, les endomorphismes en dimension finie, l'intégration et les fonctions trigonométriques, réunis autour des développements eulériens du sinus et de la cotangente.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les parties s'enchaînent logiquement : la partie II utilise les résultats de la partie I pour établir φ = cotangente, la partie III s'appuie sur φ pour obtenir le produit infini du sinus, et la partie IV est plus autonome avec l'introduction de ψ.

Que sont les développements eulériens étudiés dans ce sujet ?

Ce sont des expressions de la cotangente et du sinus sous forme de séries de fractions rationnelles ou de produit infini, dues à Euler, que le sujet démontre progressivement.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La convergence des séries de fonctions, les critères de convergence uniforme, la diagonalisation d'un endomorphisme, et le calcul d'intégrales à paramètre.

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2016

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

Conception : ESSEC

MATHÉMATIQUES

Vendredi 6 mai 2016, de 14 h. à 18 h.

Notations et objectifs :

Partie I : Etude de la fonction φ.

Partie II: Etude de l'opérateur T

Partie III: Développement eulérien de la fonction sinus

Partie IV: Un autre développement du sinus

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies ESSEC ECS 2016 ?

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Que sont les développements eulériens étudiés dans ce sujet ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Commentaires• BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2016

Commentaires• BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2016

Partie I : Etude de la fonction $φ$ .