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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2002

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2002ECS MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2002.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
E.S.C.P. - E.A.P.
ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Lundi 13 Mai 2002, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document . l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisće.
Les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont toutes définies sur un même espace probabilisé ( ) et à valeurs réelles. L'espérance d'une variable aléatoire est notée .
On admet les résultats suivants:
i) si et sont deux variables aléatoires possédant une espérance et vérifiant l'inégalité (c'est-à-dire vérifiant pour tout élément de ) alors on a l'inégalité : .
ii) Étant donné une fonction continue sur et une variable aléatoire possédant une densité continue sur et nulle sur , si lintégrale converge absolument alors la variable aléatoire possède une espérance vérifiant .

Partie I Définition de l'application

On note l'ensemble des fonctions réelles définies, continues sur et telles que, pour tout réel strictement positif, l'intégrale converge absolument.
  1. a) Verrifier que est un espace vectoriel réel.
    b) Vérifier que contient les fonctions continues et bornées sur .
  2. Pour tout élément de on note la fonction définie, pour tout réel strictement positif, par:
a) Vérifier que est une application linéaire de dans l'espace vectoriel des fonctions de dans .
b) Pour tout réel positif ou nul, on note la fonction réelle définie par pour tout réel positif ou nul. Vérifier que, pour tout réel positif ou nul, la fonction est dans et, pour tout réel strictement positif, calculer .
c) Montrer que, pour tout réel positif ou nul et toute fonction de , la fonction est aussi dans et vérifie, pour tout réel strictement positif, l'égalité : .
3) On considère une fonction élément de , de classe , croissante et bornée sur . Montrer que la fonction est aussi dans et, pour tout réel strictement positif, justifier l'égalité:
  1. Soit une fonction élément de . Pour tout entier naturel , montrer que la fonction qui à tout réel positif ou nul associe est aussi élément de .

Partie II Dérivabilité de la fonction

Dans toute cette partie on considère un réel strictement positif et une fonction élément de .
  1. Soit un réel non nul vérifiant l'inégalité .
    a) Pour tout réel strictement positif, justifier l'inégalité : .
    b) Pour tout réel strictement positif, justifier l'inégalité:
c) En déduire que est dérivable en et que son nombre dérivé en vaut:
d) Montrer que la fonction est indéfiniment dérivable sur et, pour tout entier naturel , donner à l'aide d'une intégrale la valeur de la dérivée -ième de en .

Partie III Injectivité de l'application

Dans toute cette partie on considère un réel strictement positif et une fonction continue et bornée sur l'intervalle . Ainsi est élément de .
  1. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi exponentielle de paramètre égal à (donc d'espérance ). Pour tout entier naturel , on pose .
    a) Donner une densité de la variable aléatoire .
    b) Donner une densité, qu'on notera , de la variable aléatoire .
  2. a) Soit un réel strictement positif. Prouver l'égalité :
b) En utilisant la continuité de la fonction en , pour tout réel a strictement positif, justifier l'existence d'un réel strictement positif tel que, pour tout entier naturel non nul, on a:
c) Soit & un récl strictement positif. Prouver l'égalité:
  1. On note un majorant de sur .
    a) Soit un réel strictement positif. Pour tout entier naturel , on note l'événement :
. et suntes son indicatrice. Justifier l'inégalité suivante entre variables aléatoires :
b) En déduire l'égalité :
  1. a) Déduire des questions précédentes l'égalité :
puis l'égalité :
b) Montrer que si deux fonctions et continues et bornées sur l'intervalle vérifient alors et sont égales.
c) Montrer, plus précisement, que si deux fonctions et continues et bornées sur l'intervalle vérifient seulement pour tout dans [ (où a est positif ou nul) alors et sont encore égales.

Partie IV Étude du régime permanent d'une file d'attente

Un certain jour des clients arrivent dans une poste ne possédant qu'un seul guichet. Un client qui arrive dans la poste soit se fait servir tout de suite si le guichet est libre. soit prend place dans la file d'attente si le guichet est occupé, se fait servir dès que tous ses prédécesseurs dans la file ont été servis et quitte aussitôt la poste. On modélise cette situation en notant, pour tout entier naturel non nul, l'instant (aléatoire) d'arrivée dans la poste du -ième client, sa durée d'attente (aléatoire) dans la file ( si le guichet est libre), la durée (aléatoire) de son service au guichet et la durée de présence dans la poste.
On pose et, pour tout entier naturel non nul, on note et on a alors .
On fait les hypothèses suivantes:
i) les variables aléatoires sont indépendantes;
ii) les variables aléatoires suivent toutes la loi exponentielle de paramètre (d'espérance égale à );
iii) les variables aléatoires sont strictement positives et ont toutes la même densité égale sur à la densité d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre (d'espérance égale à );
iv) l'espérance commune des est supérieure à celle des c'est-à-dire : .
Pour tout entier naturel non nul, on note la fonction de répartition de et celle de . On admet que et sont continues sur .
Dans les trois premières questions de cette partie on considère un entier au moins égal à 2 , un réel positif ou nul et un réel strictement positif.
  1. Justifier les égalités: si et sinon.
  2. Justifier l'indépendance des variables aléatoires et .
  3. a) Pour tout entier naturel , justifier l'inégalité :
puis l'inégalité :
b) Pour tout entier naturel non nul, justifier l'inégalité:
puis l'inégalité :
c) En déduire l'encadrement :
  1. Soit un réel positif ou nul. En utilisant l'encadrement précédent, établir l'égalité:
En raisomnant de la même façon on montrerait et on admettra l'égalité:
  1. On fait désormais, et jusqu'à la fin du problème, thypothèse que les fonctions et sont indépendantes de et on note et les fonctions vérifiant, pour tout entier naturel non nul, et . On dit alors qu'on étudie la file d'attente en régime permanent.
    a) Pour tout réel positif ou nul, établir l'égalité:
b) En déduire, pour tout réel positif ou nul, l'égalité:
  1. a) Montrer que la fonction dt est de classe , croissante et bornée sur .
Pour tout réel strictement positif, établir l'égalité : .
b) Montrer que pour tout réel vérifiant , on a l'égalité:
  1. Montrer que la fonction est de classe , croissante et bornée sur . Pour tout réel strictement positif, établir successivement les égalités :
  1. a) Pour tout réel vérifiant , justifier l'égalité:
b) Pour tout réel positif ou nul, en déduire l'égalité:
c) Justifier que la fonction admet la limite 1 en et en déduire, pour tout réel positif ou nul, l'égalité :
  1. a) Montrer que, en régime permanent, le temps passé dans la poste suit une loi exponentielle de paramètre égal à .
    b) On suppose qu'un autre jour les arrivées des clients sont en moyenne deux fois plus fréquentes et la durée de service deux fois plus rapide. Que deviennent, en régime permanent. le temps moyen passé dans la poste par un client et la probabilité d'être servi tout de suite?

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