La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Dans tout le problème:
On note ( Ω, A, P ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire définie sur ( Ω, A ), à valeurs dans ℝ_+.
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur le même espace (Ω, A) qui est, sauf mention contraire, muni de la probabilité P.
On note S_X la fonction définie sur ℝ à valeurs réelles, telle que : ∀x ∈ ℝ, S_X(x) = P([X > x]).
Dans le cadre de l'évaluation des risques encourus par des établissements financiers, il est nécessaire de retrancher à la valeur moyenne attendue des investissements (espérance mathématique "pure") un terme correctif d'autant plus important que le risque est plus grand.
L'objet du problème est de déterminer grâce à une "fonction de distorsion", une "espérance corrigée" qui prend en compte cette notion de risque et qui possède les propriétés requises pour une évaluation cohérente de risques financiers, en particulier, une propriété de sous-additivité nécessaire pour valoriser équitablement les avantages éventuels de la diversification.
Partie I. Probabilité de surpassement et espérance.
On suppose uniquement dans cette question que X suit la loi exponentielle E(λ) (avec λ > 0 ).
a) Vérifier l'égalité : E(X) = ∫_0^(+ ∞)S_X(x)dx.
b) Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction de répartition F de X et interpréter E(X) en terme d'aire grâce à la formule précédente.
Soit h la fonction définie sur ℝ_+par : h(x) = 1/((x + 1)(x + 2)).
a) Justifier la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)h(x)dx.
b) Déterminer deux réels c et d vérifiant pour tout réel x ⩾ 0, la relation : h(x) = c/(x + 1) + d/(x + 2). En déduire une primitive de h sur ℝ_+.
c) Montrer que la fonction f_0 : x ⟼ {1/((x + 1)(x + 2)ln2), si x ⩾ 0; 0, si x < 0 est une densité de probabilité.
On suppose dans cette question que X admet pour densité la fonction f_0 définie à la question 2.c),
a) La variable aléatoire X admet-elle une espérance?
b) Pour tout x réel, calculer S_X(x) et en trouver un équivalent lorsque x tend vers + ∞.
c) Étudier la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)S_X(x)dx.
4.a) Justifier la monotonie de la fonction S_X et trouver la limite de S_X(x) lorsque x tend vers + ∞,
b) Montrer que la fonction S_X est continue à droite. À quelle condition est-elle continue en 0 ?
Dans cette question, on suppose que X admet une densité f nulle sur ] − ∞, 0], continue sur ]0, + ∞[ mais non nécessairement en 0.
a) Montrer que la fonction S_X est continue sur ℝ et de classe C^1 sur ]0, + ∞[.
b) Justifier la convergence de l'intégrale ∫_0^1 xf(x)dx.
c) Établir pour tout réel A ⩾ 0, l'égalité: ∫_0^A S_X(x)dx = AS_X(A) + ∫_0^A xf(x)dx.
d) En déduire que si l'intégrale ∫_0^(+ ∞)S_X(x)dx est convergente, alors X admet une espérance.
e) Montrer que si X admet une espérance, alors on a pour tout réel A ⩾ 0 : ∫_A^(+ ∞)xf(x)dx ⩾ AS_X(A).
f) Déduire des résultats précédents que X admet une espérance si et seulement si l'intégrale ∫_0^(+ ∞)S_X(x)dx est convergente, et que dans ce cas, on a : E(X) = ∫_0^(+ ∞)S_X(x)dx [1].
Dans cette question, on suppose que X est discrète et à valeurs dans N .
a) Établir pour tout entier naturel n, l'égalité : ∑_(k = 0)^n S_X(k) = (n + 1)P([X ⩾ n + 1]) + ∑_(k = 0)^n kP(|X = k]).
b) En déduire que si la série de terme général S_X(n) est convergente, alors X admet une espérance.
c) Montrer que X admet une espérance si et seulement si la série de terme général S_X(n) est convergente, et que dans ce cas, on a: E(X) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)S_X(n).
d) On suppose que X admet une espérance.
(i) Exprimer pour tout N ∈ ℕ, l'intégrale ∫_0^N S_X(x) d x à l'aide d'une somme partielle de la série de terme général S_X(n).
(ii) En déduire que E(X) = lim_(A → + ∞)∫_0^A S_X(x)dx.
Ainsi, la relation [1] reste applicable dans le cas des variables aléatoires à valeurs dans ℕ; on admet qu'elle reste applicable à toute variable aléatoire pour laquelle l'intégrale ∫_0^(+ ∞)S_X(x)dx est convergente.
Partic II. Fonctions de distorsion et espérances corrigées : un exemple.
On appelle fonction de distorsion toute fonction g définie, continue et croissante sur l'intervalle [0, 1] qui vérifie les trois propriétés supplémentaires suivantes : g(0) = 0, g(1) = 1 et g est concave sur ] 0,1 [.
Pour toute fonction de distorsion g, on dit que X admet une espérance corrigée par g, si la fonction composée g ∘ S_X admet une intégrale convergente sur [0, + ∞[,
Cette intégrale, notée E_g(X), est appelée espérance de X corrigée par g. Ainsi : E_g(X) = ∫_0^(+ ∞)g(S_X(x))dx.
7. Exemple, Soit Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite dont la dérivée, notée φ, est telle que: ∀t ∈ ℝ, φ(t) = 1/(√(2π))e^(− (t^2)/2).
a) Justifier que Φ est une bijection de ℝ sur ]0, 1[. On note Ψ la bijection réciproque de Φ.
Soit α ∈ ]0, 1/2[ et w_α la fonction définie sur [0, 1] telle que : w_α(x) = {0, si x = 0; Φ(Ψ(x) − Ψ(α)), si 0 < x < 1; 1, si x = 1.
b) Montrer que la fonction w_α est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[.
c) On note w_α^′ la dérivée de w_α. Établir pour tout x ∈ ]0, 1[ la relation : w_α^′(x) = exp(Ψ(α)Ψ(x) − ((Ψ(α))^2)/2).
d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction w_α au point d'abscisse α.
e) Vérifier que w_α est une fonction de distorsion.
8. On considère à nouveau la fonction de distorsion w_α définie dans la question 7.
Soit Y une variable aléatoire définie sur ( Ω, A, P ) qui suit une loi normale d'écart-type égal à 1 , dont l'espérance est notée μ, et soit X une variable aléatoire qui suit la même loi que exp(Y).
a) Justifier l'existence de l'espérance de X et la calculer.
b) Montrer que pour tout réel x > 0, on a : w_α(S_X(x)) = P([Xe^(− Ψ(α)) > x]).
c) En déduire l'existence et la valeur de E_(w_α)(X).
9. Pour faire tracer par Scilab la courbe représentative de w_α, on utilise la fonction cdfnor qui permet de calculer les valeurs de la fonction de répartition de variables aléatoires de loi normale.
Si une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite et si x et p sont deux réels reliés par l'égalité P([Z ⩽ x]) = p, alors :
p est calculable en Scilab par cdfnor ( ^((1))PQ^(′′), x, 0, 1 );
x est calculable en Scilab par cdfnor (" X^(′′), 0, 1, p, 1 − p ).
Le graphique ci-dessous a été obtenu en affectant successivement à la variable alpha les valeurs 0.2 et 0.4 , et en exécutant les cinq instructions codées comme suit, la quatrième étant incomplète.
(1) qa=cdfnor (′X^(′′), 0, 1, a1pha, 1 − a1pha)
(2) p = [0.02 : 0.01 : 0.98]
(3) q=cdfnor (" X^(′′), zeros (p), ones (p), p, 1 − p) = qa∗ones(p)
(4) wa"cdfnor ("PQ", ?, ?, ?)
(5) plot(p,wa)
a) Quelles sont les valeurs affectées aux variables p et q par les instructions (2) et (3) (on en précisera le format matriciel)?
b) Compléter la quatrième ligne de code.
c) À laquelle des deux courbes correspond la valeur α = 0.2 (on justifiera mathématiquement la réponse)?
d) Comment trouver les tangentes aux deux courbes en (0, 0) et (1, 1) ?
e) Que deviendrait la courbe représentative de w_α si on faisait tendre α vers 0 ?
Partie III. Sous-additivité des espérances corrigées.
Les notations et le contexte de cette partie sont identiques à ceux des parties I et II.
Dans cette partie, on note g une fonction de distorsion arbitraire et on suppose l'existence de E_g(X).
Soit B un réel positif et soit Y une variable aléatoire à valeurs dans ℝ_+telle que P([Y ∈ [0, B]]) = 1.
L'objectif de cette partie consiste à établir l'inégalité : E_g(X + Y) ⩽ E_g(X) + E_g(Y)
10. a) Soit x un réel fixé de [0, 1]. Justifier pour tout entier n ⩾ 1, l'inégalité:
b) En déduire que g(x) ⩾ x.
c) Soit a, b et ε trois réels tels que : 0 < a < b < b + ε < 1.
Justifier l'existence d'un réel λ ∈ [0, 1] vérifiant les deux égalités : {λa + (1 − λ)(b + ε) = b; (1 − λ)a + λ(b + ε) = a + ε.
En déduire l'inégalité : g(b + ε) − g(a + ε) ⩽ g(b) − g(a).
11. a) Montrer que E(X) existe et que E(X) ⩽ E_g(X).
b) Montrer que si X est une variable aléatoire certaine, on a E_g(X) = E(X).
c) Soit r > 0 et s ⩾ 0. Montrer que E_g(rX + s) existe et que : E_g(rX + s) = rE_g(X) + s.
d) Soit T et W deux variables aléatoires telles que P([0≼T ⩽ W]) = 1.
Sous réserve d'existence, comparer E_g(T) et E_g(W).
12. Justifier l'existence de E_g(Y) et de E_g(X + Y); établir les inégalités : E_g(Y) ⩽ B et E_g(X + Y) ⩽ E_g(X) + B.
13. On se propose de montrer par récurrence sur l'entier n que l'inégalité [2] est vraie pour toute variable aléatoire U telle que P([U ∈ [ [0, n] ]]) = 1.
Soit n un entier naturel donné. On suppose que quelle que soit la probabilité P sur (Ω, A), l'inégalité [2] est vraie pour toute fonction de distorsion g, pour toute variable aléatoire X possédant une espérance corrigée par g et pour toute variable aléatoire U telle que P([U ∈ [0, n]]) = 1.
a) Déduire de la question 12 que la propriété ci-dessus est vérifiće pour n = 0.
b) On suppose la propriété ci-dessus vérifiće pour un entier naturel n donné.
Soit Z une variable aléatoire telle que P([Z ∈ [0, n + 1]]) = 1 et p = P([Z > 0]) > 0.
On pose P^∗ = P_([Z > 0]) (probabilité conditionnelle sachant [Z > 0] ). Pour tout réel x > 0, on pose:
S_X^∗(x) = P^∗([X > x]), S_Z^∗(x) = P^∗([Z > x]) et S_(X + Z)^∗(x) = P^∗([X + Z > x])
(i) Établir l'égalité : S_(X + Z)(x) = (1 − p)P_([Z = 0])([X > x]) + pS_(X + Z)^∗(x).
(ii) Exprimer S_X(x) et S_Z(x) en fonction de p, P_([Z = 0])([X > x]), S_X^∗(x) et S_Z^∗(x).
(iii) En utilisant le résultat de la question 10.c), déduire des relations précédentes l'inégalité:
d) En déduire l'inégalité : E_g(X + Z) ⩽ E_g(X) + E_g(Z). Conclure.
14. Pour tout entier n ⩾ 1 et tout ω ∈ Ω, on pose : Y_n(ω) = 1/n⌊nY(ω)⌋, où ⌊u⌋ désigne la partie entière de u.
a) Justifier l'existence de E_g(Y_n) et E_g(X + Y_n); établir l'inégalité : E_g(X + Y_n) ⩽ E_g(X) + E_g(Y_n).
b) Pour x > 0, comparer les événements [Y_n > x] et [Y > x], et montrer que E_g(Y_n) ⩽ E_g(Y).
c) Montrer que pour tout entier n ⩾ 1, on a :
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