Probabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsInformatique
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre
Dans tout le problème:
On note ( ) un espace probabilisé et une variable aléatoire définie sur ( ), à valeurs dans .
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur le même espace qui est, sauf mention contraire, muni de la probabilité .
On note la fonction définie sur à valeurs réelles, telle que : .
Dans le cadre de l'évaluation des risques encourus par des établissements financiers, il est nécessaire de retrancher à la valeur moyenne attendue des investissements (espérance mathématique "pure") un terme correctif d'autant plus important que le risque est plus grand.
L'objet du problème est de déterminer grâce à une "fonction de distorsion", une "espérance corrigée" qui prend en compte cette notion de risque et qui possède les propriétés requises pour une évaluation cohérente de risques financiers, en particulier, une propriété de sous-additivité nécessaire pour valoriser équitablement les avantages éventuels de la diversification.
Partie I. Probabilité de surpassement et espérance.
On suppose uniquement dans cette question que suit la loi exponentielle (avec ).
a) Vérifier l'égalité : .
b) Donner l'allure de la courbe représentative de la fonction de répartition de et interpréter en terme d'aire grâce à la formule précédente.
Soit la fonction définie sur par : .
a) Justifier la convergence de l'intégrale .
b) Déterminer deux réels et vérifiant pour tout réel , la relation : . En déduire une primitive de sur .
c) Montrer que la fonction est une densité de probabilité.
On suppose dans cette question que admet pour densité la fonction définie à la question 2.c),
a) La variable aléatoire admet-elle une espérance?
b) Pour tout réel, calculer et en trouver un équivalent lorsque tend vers .
c) Étudier la convergence de l'intégrale .
4.a) Justifier la monotonie de la fonction et trouver la limite de lorsque tend vers ,
b) Montrer que la fonction est continue à droite. À quelle condition est-elle continue en 0 ?
Dans cette question, on suppose que admet une densité nulle sur , continue sur mais non nécessairement en 0.
a) Montrer que la fonction est continue sur et de classe sur .
b) Justifier la convergence de l'intégrale .
c) Établir pour tout réel , l'égalité: .
d) En déduire que si l'intégrale est convergente, alors admet une espérance.
e) Montrer que si admet une espérance, alors on a pour tout réel .
f) Déduire des résultats précédents que admet une espérance si et seulement si l'intégrale est convergente, et que dans ce cas, on a : .
Dans cette question, on suppose que est discrète et à valeurs dans N .
a) Établir pour tout entier naturel , l'égalité : .
b) En déduire que si la série de terme général est convergente, alors admet une espérance.
c) Montrer que admet une espérance si et seulement si la série de terme général est convergente, et que dans ce cas, on a: .
d) On suppose que admet une espérance.
(i) Exprimer pour tout , l'intégrale d à l'aide d'une somme partielle de la série de terme général .
(ii) En déduire que .
Ainsi, la relation [1] reste applicable dans le cas des variables aléatoires à valeurs dans ; on admet qu'elle reste applicable à toute variable aléatoire pour laquelle l'intégrale est convergente.
Partic II. Fonctions de distorsion et espérances corrigées : un exemple.
On appelle fonction de distorsion toute fonction définie, continue et croissante sur l'intervalle qui vérifie les trois propriétés supplémentaires suivantes : et est concave sur ] 0,1 [.
Pour toute fonction de distorsion , on dit que admet une espérance corrigée par , si la fonction composée admet une intégrale convergente sur ,
Cette intégrale, notée , est appelée espérance de corrigée par . Ainsi : .
7. Exemple, Soit la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite dont la dérivée, notée , est telle que: .
a) Justifier que est une bijection de sur . On note la bijection réciproque de .
Soit et la fonction définie sur telle que : .
b) Montrer que la fonction est continue sur et dérivable sur .
c) On note la dérivée de . Établir pour tout la relation : .
d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse .
e) Vérifier que est une fonction de distorsion.
8. On considère à nouveau la fonction de distorsion définie dans la question 7.
Soit une variable aléatoire définie sur ( ) qui suit une loi normale d'écart-type égal à 1 , dont l'espérance est notée , et soit une variable aléatoire qui suit la même loi que .
a) Justifier l'existence de l'espérance de et la calculer.
b) Montrer que pour tout réel , on a : .
c) En déduire l'existence et la valeur de .
9. Pour faire tracer par Scilab la courbe représentative de , on utilise la fonction cdfnor qui permet de calculer les valeurs de la fonction de répartition de variables aléatoires de loi normale.
Si une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite et si et sont deux réels reliés par l'égalité , alors :
est calculable en Scilab par cdfnor ( );
est calculable en Scilab par cdfnor (" ).
Le graphique ci-dessous a été obtenu en affectant successivement à la variable alpha les valeurs 0.2 et 0.4 , et en exécutant les cinq instructions codées comme suit, la quatrième étant incomplète.
(1) qa=cdfnor
(2)
(3) q=cdfnor (" , zeros , ones
(4) wa"cdfnor ("PQ", ?, ?, ?)
(5) plot(p,wa)
a) Quelles sont les valeurs affectées aux variables et par les instructions (2) et (3) (on en précisera le format matriciel)?
b) Compléter la quatrième ligne de code.
c) À laquelle des deux courbes correspond la valeur (on justifiera mathématiquement la réponse)?
d) Comment trouver les tangentes aux deux courbes en et ?
e) Que deviendrait la courbe représentative de si on faisait tendre vers 0 ?
Partie III. Sous-additivité des espérances corrigées.
Les notations et le contexte de cette partie sont identiques à ceux des parties I et II.
Dans cette partie, on note une fonction de distorsion arbitraire et on suppose l'existence de .
Soit un réel positif et soit une variable aléatoire à valeurs dans telle que .
L'objectif de cette partie consiste à établir l'inégalité :
10. a) Soit un réel fixé de . Justifier pour tout entier , l'inégalité:
b) En déduire que .
c) Soit et trois réels tels que : .
Justifier l'existence d'un réel vérifiant les deux égalités : .
En déduire l'inégalité : .
11. a) Montrer que existe et que .
b) Montrer que si est une variable aléatoire certaine, on a .
c) Soit et . Montrer que existe et que : .
d) Soit et deux variables aléatoires telles que .
Sous réserve d'existence, comparer et .
12. Justifier l'existence de et de ; établir les inégalités : et .
13. On se propose de montrer par récurrence sur l'entier que l'inégalité [2] est vraie pour toute variable aléatoire telle que .
Soit un entier naturel donné. On suppose que quelle que soit la probabilité sur , l'inégalité [2] est vraie pour toute fonction de distorsion , pour toute variable aléatoire possédant une espérance corrigée par et pour toute variable aléatoire telle que .
a) Déduire de la question 12 que la propriété ci-dessus est vérifiće pour .
b) On suppose la propriété ci-dessus vérifiće pour un entier naturel donné.
Soit une variable aléatoire telle que et .
On pose (probabilité conditionnelle sachant ). Pour tout réel , on pose:
(i) Établir l'égalité : .
(ii) Exprimer et en fonction de et .
(iii) En utilisant le résultat de la question 10.c), déduire des relations précédentes l'inégalité:
c) Justifier que la fonction est une fonction de distorsion et établir l'inégalité :
d) En déduire l'inégalité : . Conclure.
14. Pour tout entier et tout , on pose : , où désigne la partie entière de .
a) Justifier l'existence de et ; établir l'inégalité : .
b) Pour , comparer les événements et , et montrer que .
c) Montrer que pour tout entier , on a :
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