Mardi 30 avril 2013, de 8 h. à 12 h.

Dans tout le problème, pour tout couple :

Soit une suite de matrices de . On pose pour tout .
On dit que la suite converge vers la matrice de , si pour tout couple , on a : . On note alors : .
On admet sans démonstration que si et sont deux suites de matrices de qui convergent respectivement vers les matrices et , et si est une suite de matrices de qui converge vers , alors la suite converge vers , la suite converge vers , et pour tout réel , la suite converge vers .
Le problème étudie quelques aspects mathématiques du contrôle de systèmes linéaires.

Pour toute matrice de , on pose pour tout réel et pour tout .

a) Justifier que la matrice est diagonalisable.
b) Soit la matrice-colonne de dont tous les coefficients sont égaux à 1 .

Calculer le produit et en déduire une valeur propre de .
c) Montrer que 0 est une valeur propre de et trouver la dimension du sous-espace propre associé.
d) Exprimer en fonction de .

Montrer que pour tout réel et pour tout appartient à .
e) En déduire que pour tout réel, la suite de matrices de converge vers la matrice de définie par : .
f) Calculer . Exprimer pour tout couple , le produit en fonction de . En déduire que pour tout réel, la matrice est inversible et déterminer son inverse.
2. Soit une matrice de .

On pose pour tout et .
a) À l'aide de l'identité , montrer que pour tout , on a : .
b) En déduire que pour tout réel, la série est convergente.
c) Montrer que pour tout réel et pour tout , la série est convergente.
d) Montrer que pour tout réel, la suite de converge vers une matrice de . Que vaut lorsque et que l'unique coefficient de est un réel ?
3. Soit une matrice diagonale de .
a) Vérifier que pour tout réel et pour tout , la matrice est diagonale.
b) En déduire que pour tout réel, la matrice est diagonale et donner l'expression de ses coefficients diagonaux en fonction de ceux de .
c) On pose pour tout . Montrer que la suite converge vers .
4. Soit une matrice de une matrice inversible de et .
a) Établir pour tout réel, l'égalité : .
b) On suppose que est diagonalisable. Montrer que :

(On pourra traiter dans un premier temps le cas où est diagonale)
On admet dans la suite du problème que la relation ( ) reste valable pour toute matrice de .

Soit un espace vectoriel de dimension sur l'espace vectoriel des endomorphismes de et un élément de . On note id l'endomorphisme identité de .
5.a) Rappeler la dimension de et justifier l'existence d'une suite finie de nombres complexes tels que le polynôme de soit un polynôme annulateur de .
b) En considérant, pour tout , les endomorphismes ( ), montrer que possède au moins une valeur propre.
6. On suppose l'existence d'un entier vérifiant et d'un sous-espace vectoriel de dimension stable par . Soit un supplémentaire de dans et le projecteur de sur parallèlement à .
a) Montrer qu'il existe un vecteur non nul et un nombre complexe vérifiant la relation : .
b) Montrer que la somme des deux sous-espaces vectoriels et est directe et stable par .
7. À l'aide des questions précédentes, établir par récurrence sur l'existence d'une base de telle que pour tout .
8. Soit la matrice de dans la base . On pose pour tout .
a) Montrer que pour tout , on a : .
b) En déduire que le polynôme de est un polynôme annulateur de la matrice .
9. Soit une matrice de . En utilisant la question 8.b, montrer que admet un polynôme annulateur appartenant à et de degré .
10. Soit une matrice de et une matrice-colonne de .

Pour tout , on note le sous-espace vectoriel de engendré par et la matrice de dont les colonnes successives sont .
La matrice est appelée matrice de Kalman d'ordre associée au couple .
a) Montrer que pour tout entier , on a : .
b) Justifier l'existence d'un sous-espace vectoriel de vérifiant la propriété suivante : pour qu'une matrice de appartienne à , il faut et il suffit que pour tout élément de , on ait : .
c) En déduire que si une suite de matrices de est convergente, sa limite appartient à .
d) À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout réel, la matrice-colonne appartient à , où a été définie dans la question 2.d.

On conserve dans cette partie les définitions et notations de la question 10 . Dans les questions 12,13 et 14 , on note un entier supérieur ou égal à 2 . Les questions 13 et 14 sont indépendantes des questions 11 et 12 . On note l'espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs dans .
11. Exemple : . Soit ( ) un couple de réels.
a) Soit . On cherche une fonction définie et dérivable sur , de dérivée , vérifiant et telle que pour tout .
Calculer la dérivée de la fonction , et en déduire que est donnée par :

b) On dit que le couple est contrôlable, si pour tout réel (appelé cible), il existe une fonction (appelée contrôle) telle que toute fonction définie et dérivable sur vérifiant et pour tout , atteint la cible en 1 , c'est-à-dire vérifie .
Donner l'expression de la fonction définie par (**) lorsque la fonction est constante sur .
En déduire que le couple est contrôlable si et seulement si .
12 . Pour tout , on pose : et , où pour tout est le coefficient de la -ième ligne de .
On admet que pour tout , la fonction appartient à et on définit alors, pour toute fonction , la matrice-colonne de par :

Par analogie avec la question 11.b, on dit que le couple est contrôlable, si pour toute matrice-colonne (cible), il existe une fonction (contrôle) vérifiant l'égalité : .
a) Soit . Justifier que pour tout appartient à .

En déduire que appartient à .
b) Soit un élément non nul de tel que pour toute fonction , on ait : . Montrer que pour tout , on a : .
c) En déduire, à l'aide de la relation (*) (question 4.b), que pour tout , on a : .
d) Déduire des résultats précédents que le couple est contrôlable, si et seulement si la matrice de Kalman est inversible.
Dans les questions 13 et 14, on suppose que est inversible et on cherche à optimiser le contrôle d'un système linéaire discret en minimisant une fonction de coût quadratique .
13. Soit un entier vérifiant . Pour tout -uplet de , appelé contrôle discret, on définit la suite finie de par :

a) Calculer et trouver une matrice-colonne telle que : .
b) Établir pour toute matrice-colonne (cible), l'existence d'un contrôle discret tel que .
14. On cherche ici à déterminer un contrôle discret optimal permettant d'atteindre une cible . Soit la fonction de dans définie par: .
a) On admet sans démonstration que la matrice est inversible.

Montrer que le problème de minimisation de sous la contrainte admet un unique point critique donné par : .
b) Montrer que réalise un minimum global de sous la contrainte .