BCE Maths approfondies HEC ECS 2013Sujet et corrigé

Mardi 30 avril 2013, de 8 h. à 12 h.

Dans tout le problème, pour tout couple (p, q) ∈ ℕ^(∗2) :

Soit (M_n)_(n ∈ ℕ) une suite de matrices de M_(p, q)(ℝ). On pose pour tout n ∈ ℕ : M_n = (m_(i, j)(n))_(1 ⩽ i ⩽ p; 1 ⩽ j ⩽ q).
On dit que la suite (M_n)_(n ∈ ℕ) converge vers la matrice M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ p; 1 ⩽ j ⩽ q) de M_(p, q)(ℝ), si pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, p] ] × [ [1, q] ], on a : lim_(n → + ∞)m_(i, j)(n) = m_(i, j). On note alors : M = lim_(n → + ∞)M_n.
On admet sans démonstration que si (A_n)_(n ∈ ℕ) et (B_n)_(n ∈ ℕ) sont deux suites de matrices de M_(p, q)(ℝ) qui convergent respectivement vers les matrices A et B, et si (C_n)_(n ∈ ℕ) est une suite de matrices de M_(q, s)(ℝ)(s ⩾ 1) qui converge vers C ∈ M_(q, s)(ℝ), alors la suite (A_n + B_n)_(n ∈ ℕ) converge vers A + B, la suite (A_n C_n)_(n ∈ ℕ) converge vers AC, et pour tout réel α, la suite (αA_n)_(n ∈ ℕ) converge vers αA.
Le problème étudie quelques aspects mathématiques du contrôle de systèmes linéaires.

Pour toute matrice A de M_p(ℝ), on pose pour tout x réel et pour tout n ∈ ℕ : T_(A, n)(x) = ∑_(k = 0)^n 1/(k!)(xA)^k.

a) Justifier que la matrice A est diagonalisable.
b) Soit V la matrice-colonne de M_(p, 1)(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 .

Calculer le produit AV et en déduire une valeur propre de A.
c) Montrer que 0 est une valeur propre de A et trouver la dimension du sous-espace propre associé.
d) Exprimer A^2 en fonction de A.

Montrer que pour tout x réel et pour tout n ∈ ℕ, T_(A, n)(x) appartient à Vect(I_p, A).
e) En déduire que pour tout x réel, la suite de matrices (T_(A, n)(x))_(n ∈ ℕ) de M_p(ℝ) converge vers la matrice T_A(x) de M_p(ℝ) définie par : T_A(x) = I_p + (e^(px) − 1)/pA.
f) Calculer T_A(0). Exprimer pour tout couple (x, y) ∈ ℝ^2, le produit T_A(x)T_A(y) en fonction de T_A(x + y). En déduire que pour tout x réel, la matrice T_A(x) est inversible et déterminer son inverse.
2. Soit A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ p) une matrice de M_p(ℝ).

On pose pour tout k ∈ ℕ : A^k = (a_(i, j)^((k)))_(1 ⩽ i, j ⩽ p) et μ_k = max_((i, j) ∈ [1, p]^2)|a_(i, j)^((k))|.
a) À l'aide de l'identité A^(k + 1) = AA^k, montrer que pour tout k ∈ ℕ, on a : μ_(k + 1) ⩽ p^k μ_1^(k + 1).
b) En déduire que pour tout x réel, la série ∑_(k ⩾ 0)(μ_k)/(k!)x^k est convergente.
c) Montrer que pour tout réel x et pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2, la série ∑_(k ⩾ 0)(a_(i, j)^((k)))/(k!)x^k est convergente.
d) Montrer que pour tout x réel, la suite (T_(A, n)(x))_(n ∈ ℕ) de M_p(ℝ) converge vers une matrice T_A(x) de M_p(ℝ). Que vaut T_A(x) lorsque p = 1 et que l'unique coefficient de A est un réel a ?
3. Soit D une matrice diagonale de M_p(ℝ).
a) Vérifier que pour tout x réel et pour tout n ∈ ℕ, la matrice T_(D, n)(x) est diagonale.
b) En déduire que pour tout x réel, la matrice T_D(x) est diagonale et donner l'expression de ses coefficients diagonaux en fonction de ceux de D.
c) On pose pour tout r ∈ ℕ^∗ : D_r = r(T_D(1/r) − I_p). Montrer que la suite (D_r)_(r ∈ ℕ^∗) converge vers D.
4. Soit A une matrice de M_p(ℝ), P une matrice inversible de M_p(ℝ) et A^′ = P^(− 1)AP.
a) Établir pour tout x réel, l'égalité : T_(A^′)(x) = P^(− 1)T_A(x)P.
b) On suppose que A est diagonalisable. Montrer que :

(On pourra traiter dans un premier temps le cas où A est diagonale)
On admet dans la suite du problème que la relation ( ∗ ) reste valable pour toute matrice A de M_p(ℝ).

Soit E un espace vectoriel de dimension p sur ℂ, L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E et φ un élément de L(E). On note id _E l'endomorphisme identité de E.
5.a) Rappeler la dimension de L(E) et justifier l'existence d'une suite finie (z_k)_(1 ⩽ k ⩽ p^2) de nombres complexes tels que le polynôme ∏_(k = 1)^(p^2)(X − z_k) de ℂ[X] soit un polynôme annulateur de φ.
b) En considérant, pour tout k ∈ [ [1, p] ], les endomorphismes ( φ − z_k id_E ), montrer que φ possède au moins une valeur propre.
6. On suppose l'existence d'un entier k vérifiant 1 ⩽ k < p et d'un sous-espace vectoriel F de dimension k stable par φ. Soit H un supplémentaire de F dans E et π le projecteur de E sur H parallèlement à F.
a) Montrer qu'il existe un vecteur non nul v ∈ H et un nombre complexe λ vérifiant la relation : π ∘ φ(v) = λv.
b) Montrer que la somme des deux sous-espaces vectoriels F et Vect(v) est directe et stable par φ.
7. À l'aide des questions précédentes, établir par récurrence sur p l'existence d'une base B = (v_1, …, v_p) de E telle que pour tout k ∈ [ [1, p] ], φ(v_k) ∈ Vect(v_1, …, v_k).
8. Soit M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ p) la matrice de φ dans la base B. On pose pour tout k ∈ [ [1, p] ] : F_k = Vect(v_1, …, v_k).
a) Montrer que pour tout k ∈ [ [2, p] ], on a : (φ − m_(k, k)id_E)(F_k) ⊂ F_(k − 1).
b) En déduire que le polynôme ∏_(k = 1)^p(X − m_(k, k)) de ℂ[X] est un polynôme annulateur de la matrice M.
9. Soit A une matrice de M_p(ℝ). En utilisant la question 8.b, montrer que A admet un polynôme annulateur appartenant à ℝ[X] et de degré p.
10. Soit A une matrice de M_p(ℝ) et B une matrice-colonne de M_(p, 1)(ℝ).

Pour tout q ∈ ℕ^∗, on note G_q le sous-espace vectoriel de M_(p, 1)(ℝ) engendré par B, AB, A^2 B, …, A^(q − 1)B et K_q la matrice de M_(p, q)(ℝ) dont les colonnes successives sont B, AB, A^2 B, …, A^(q − 1)B.
La matrice K_q est appelée matrice de Kalman d'ordre q associée au couple (A, B).
a) Montrer que pour tout entier q > p, on a : G_q = G_p.
b) Justifier l'existence d'un sous-espace vectoriel S de M_(p, 1)(ℝ) vérifiant la propriété suivante : pour qu'une matrice G de M_(p, 1)(ℝ) appartienne à G_p, il faut et il suffit que pour tout élément S de S, on ait : ^t SG = 0.
c) En déduire que si une suite (G_n)_(n ∈ ℕ) de matrices de G_p est convergente, sa limite G appartient à G_p.
d) À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout x réel, la matrice-colonne T_A(x)B appartient à G_p, où T_A(x) a été définie dans la question 2.d.

On conserve dans cette partie les définitions et notations de la question 10 . Dans les questions 12,13 et 14 , on note p un entier supérieur ou égal à 2 . Les questions 13 et 14 sont indépendantes des questions 11 et 12 . On note C^0 l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans ℝ.
11. Exemple : p = 1. Soit ( a, b ) un couple de réels.
a) Soit u ∈ C^0. On cherche une fonction f définie et dérivable sur [0, 1], de dérivée f^′, vérifiant f(0) = 0 et telle que pour tout t ∈ [0, 1], f^′(t) = af(t) + bu(t).
Calculer la dérivée de la fonction h : t ↦ h(t) = f(t)e^(− at), et en déduire que f est donnée par :

b) On dit que le couple (a, b) est contrôlable, si pour tout réel y (appelé cible), il existe une fonction u ∈ C^0 (appelée contrôle) telle que toute fonction f définie et dérivable sur [0, 1] vérifiant f(0) = 0 et f^′(t) = af(t) + bu(t) pour tout t ∈ [0, 1], atteint la cible en 1 , c'est-à-dire vérifie f(1) = y.
Donner l'expression de la fonction f définie par (**) lorsque la fonction u est constante sur [0, 1].
En déduire que le couple (a, b) est contrôlable si et seulement si b ≠ 0.
12 . Pour tout x ∈ [0, 1], on pose : W(x) = T_A(1 − x)B ∈ M_(p, 1)(ℝ) et W(x) = (W_k(x))_(1 ⩽ k ⩽ p), où pour tout k ∈ [ [1, p] ], W_k(x) est le coefficient de la k-ième ligne de W(x).
On admet que pour tout k ∈ [ [1, p] ], la fonction x ↦ W_k(x) appartient à C^0 et on définit alors, pour toute fonction u ∈ C^0, la matrice-colonne ∫_0^1 u(x)W(x)dx de M_(p, 1)(ℝ) par :

Par analogie avec la question 11.b, on dit que le couple (A, B) est contrôlable, si pour toute matrice-colonne Y ∈ M_(p, 1)(ℝ) (cible), il existe une fonction u ∈ C^0 (contrôle) vérifiant l'égalité : ∫_0^1 u(x)W(x)dx = Y.
a) Soit u ∈ C^0. Justifier que pour tout x ∈ [0, 1], u(x)W(x) appartient à G_p.

En déduire que ∫_0^1 u(x)W(x)dx appartient à G_p.
b) Soit Z un élément non nul de M_(p, 1)(ℝ) tel que pour toute fonction u ∈ C^0, on ait : ∫_0^1 u(x)^t ZW(x)dx = 0. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], on a : ^t ZW(x) = 0.
c) En déduire, à l'aide de la relation (*) (question 4.b), que pour tout k ∈ [ [1, p] ], on a : ^t ZA^(k − 1)B = 0.
d) Déduire des résultats précédents que le couple (A, B) est contrôlable, si et seulement si la matrice de Kalman K_p est inversible.
Dans les questions 13 et 14, on suppose que K_p est inversible et on cherche à optimiser le contrôle s d'un système linéaire discret en minimisant une fonction de coût quadratique J.
13. Soit q un entier vérifiant q ⩾ p. Pour tout q-uplet s = (s_1, s_2, …, s_q) de ℝ^q, appelé contrôle discret, on définit la suite finie (X_(s, k))_(0 ⩽ k ⩽ q) de M_(p, 1)(ℝ) par :

a) Calculer X_(s, q) et trouver une matrice-colonne C_s ∈ M_(q, 1)(ℝ) telle que : X_(s, q) = K_q C_s.
b) Établir pour toute matrice-colonne Y ∈ M_(p, 1)(ℝ) (cible), l'existence d'un contrôle discret s tel que X_(s, q) = Y.
14. On cherche ici à déterminer un contrôle discret optimal permettant d'atteindre une cible Y ∈ M_(p, 1)(ℝ). Soit J la fonction de ℝ^q dans ℝ définie par: J(s) = ∑_(k = 1)^q s_k^2.
a) On admet sans démonstration que la matrice K_q^t K_q est inversible.

Montrer que le problème de minimisation de J sous la contrainte X_(s, q) = Y admet un unique point critique s^∗ donné par : C_(s^∗) = ^t K_q(K_q^t K_q)^(− 1)Y.
b) Montrer que s^∗ réalise un minimum global de J sous la contrainte X_(s, q) = Y.