BCE Maths approfondies HEC ECS 2015Sujet et corrigé

Mercredi 29 avril 2015, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs,
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

L'objet du problème est d'aborder quelques questions mathématiques relatives au comportement asymptotique de systèmes dynamiques discrets ou continus susceptibles de modéliser l'évolution temporelle de divers phénomènes, en particulier économiques (croissance économique, prix d'équilibre, etc.).
Les trois parties du problème sont indépendantes.
Dans tout le problème:

Soit A une matrice non nulle de M_p(ℝ) et b un vecteur de ℝ^p. Soit x_1, …, x_p p fonctions dérivables sur ℝ_+.
On dit qu'une application x : t ⟼ x(t) = (x_1(t), …, x_p(t)) définie sur ℝ_+, à valeurs dans ℝ^p, est pilotée par le couple ( A, b ), si pour tout réel t ⩾ 0, les matrices colonnes X(t) et X^′(t) de x(t) et x^′(t) dans la base canonique de ℝ^p vérifient le système: ∀t ⩾ 0, X^′(t) = AX(t) + B.
On appelle équilibre du système piloté par le couple (A, b), tout vecteur x^∗ ∈ ℝ^p vérifiant : AX^∗ + B = 0.

On dit qu'un équilibre x^∗ est attractif si pour toute application x pilotée par (A, b), on a : lim_(t → + ∞)x(t) = x^∗.

Solt (a, b) ∈ ℝ^∗ × ℝ et x une fonction dérivable sur ℝ_+, à valeurs réelles, vérifiant : ∀t ⩾ 0, x^′(t) = ax(t) + b.
a) Calculer la dérivée de la fonction y : t ⟼ (x(t) + b/a)e^(− at).
b) En déduire que pour tout t ⩾ 0, on a : x(t) = − b/a + (x(0) + b/a)e^a t.
c) On identifie a à la matrice de M_1(ℝ) dont l'unique coefficient est a. Montrer que le système piloté par le couple (a, b) admet un unique équilibre, puis montrer que cet équilibre est attractif si et seulement si a < 0.
2. Exemple 1. Soit A = (− 2, 1; 1, − 2) et b = (1, 1). Soit x : t ⟼ x(t) = (x_1(t), x_2(t)) une application définie sur ℝ_+, à valeurs dans ℝ^2, pilotée par le couple ( A, b ).
a) Déterminer l'unique équilibre x^∗ du système piloté par le couple ( A, b ).
b) Justifier l'existence d'une matrice inversible Q telle que la matrice Q^(− 1)AQ soit diagonale. Pourquoi peut-on choisir la matrice Q de telle manière que Q^(− 1) = Q^T ?
c) Trouver deux réels λ et μ(λ ⩽ μ) et une matrice inversible Q vérifiant : Q^(− 1) = Q^T et Q^(− 1)AQ = (λ, 0; 0, μ).
d) Pour tout t ⩾ 0, on pose : W(t) = Q^T X(t).
(i) Vérifier pour tout t ⩾ 0, l'égalité : W^′(t) = DW(t) + Q^T B où D = (λ, 0; 0, μ).
(ii) À l'aide des résultats de la question 1 , en déduire que l'équilibre x^∗ est attractif.
3. On suppose p ⩾ 2. Soit B_p = (e_1, …, e_p) la base canonique de ℂ^p et u_p l'unique endomorphisme de ℂ^p tel que u_p(e_1) = e_p et pour tout k ∈ [ [2, p] ], u_p(e_k) = e_(k − 1).
a) Écrire la matrice A_p de l'endomorphisme u_p dans la base B_p. Quel est son rang?
b) Soit ε ∈ ℂ une racine p-ième de l'unité et G la matrice colonne de M_(p, 1)(ℂ) de composantes 1, ε, …, ε^(p − 1), Montrer que G est un vecteur propre de A_p et préciser la valeur propre complexe associée.
c) Montrer que l'endomorphisme u_p est diagonalisable.
d) Montrer que le polynôme X^p − 1 de ℂ[X] est un polynôme annulateur de u_p.

L'endomorphisme u_p admet-il un polynôme annulateur non nul de degré strictement inférieur à p ?
c) Soit P ∈ ℂ[X]. L'endomorphisme P(u_p) de ℂ^p est-il diagonalisable? Quelles sont ses valeurs propres?
4. Exemple 2. Soít α et β deux réels tels que α > 0, β > 0, α ≠ β, α + β ≠ 1 et M = (− 1, α, β; β, − 1, α; α, β, − 1) ∈ M_3(ℝ).
a) On note A la matrice A_p de la question 3 dans le cas où p = 3.
(i) Déterminer un polynôme P à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2, tel que M = P(A).
(ii) En déduire les valeurs propres complexes de M ainsi que leurs parties réelles et imaginaires respectives.
b) Soit c = (1, 1, 1) ∈ ℝ^3.
(i) Trouver l'unique équilibre x^∗ du système piloté par le couple ( M, c ).
(ii) Vérifier que l'application x : t ⟼ x(t) = x^∗ + e^((α + β − 1)t)c est pilotée par le couple ( M, c ).
(iii) En déduire une condition nécessaire portant sur α et β pour que l'équilibre x^∗ soit attractif.

On suppose désormais que la condition précédente est réalisée.
c) On pose : N = M^T + M.
(i) Quelles sont les valeurs propres de la matrice N ?
(ii) Déterminer un réel θ > 0 tel que toutes les valeurs propres de N soient inférieures ou égales à − 2θ.
d) On rappelle que c = (1, 1, 1). On considère une application x pilotée par le couple ( M, c ),

On note y l'application définie sur ℝ_+, à valeurs dans ℝ^3, telle que y; t ⟼ x(t) − x^∗ et φ la fonction définie sur ℝ_+, à valeurs réelles, telle que φ : t ⟼ e^(2θt)‖Y(t)‖^2, où ‖. ‖estlanormecuclidiennecanonique de M_(3, 1)(ℝ).
(i) Vérifier que l'application y est pilotée par le couple (M, 0_(ℝ^3)).
(ii) Montrer que φ est dérivable sur ℝ_+et que : ∀t ∈ ℝ_+, φ^′(t) = e^(2θt) × Y(t)^T(N + 2θI_3)Y(t).
(iii) Montrer que la fonction φ est décroissante sur ℝ_+,
(iv) En déduire que l'équilibre x^∗ est attractif.

Un exemple de pilotage non linéaire est fourni par un modèle de croissance économique endogène à deux secteurs dans lequel le taux de croissance du stock de capital et le taux de croissance du stock de connaissances sont représentés, depuis une date choisie comme origine, par des fonctions x_1 et x_2 respectivement.
Dans ce modèle où ρ désigne un paramètre réel strictement positif, les deux fonctions x_1 et x_2 sont dérivables sur ℝ_+, à valeurs réelles, et vérifient le système :

dans lequel les deux fonctions F_1 et F_2 définies sur ℝ^2, à valeurs réelles, sont données par:

5.a) Pour tout réel ν > − 1, on pose: ∀t ⩾ 0, x_1(t) = x_2(t) = 1/(1 + νe^(− t)).

Vérifier que l'application x : t ⟼ (x_1(t), x_2(t)) est solution du système ( S ).
b) En déduire que pour tout réel c ∈ ]0, 1[, il existe une solution de ( S ) à valeurs dans [c, + ∞[^2.
c) Quel est l'unique couple x^∗ = (x_1^∗, x_2^∗) ∈ (ℝ_+^∗)^2 vérifiant F_1(x_1^∗, x_2^∗) = 0 et F_2(x_1^∗, x_2^∗) = 0 ?
d) Toutes les solutions de ( S ) convergent-elles vers x^∗ lorsque t tend vers + ∞ ?
6. Pour tout réel r, on note q_r la forme quadratique sur ℝ^2 associée à la matrice symétrique Q_r = (1, − r; − r, 1).

On note C_r l'ensemble défini par : C_r = {(u_1, u_2) ∈ ℝ^2; q_r(u_1, u_2) = 1}.
a) Pour quelles valeurs de r la forme quadratique q_r est-elle définie positive? Que peut-on dire alors de la partic C_r de ℝ^2 ?

Dans toute la suite de cette question, r et s sont deux réels vérifiant les inégalités : 0 < s < r < 1.
b) Justifier que l'ensemble {q_s(u_1, u_2); (u_1, u_2) ∈ C_r} admet une borne inférieure, notée m_(r, s), et une borne supérieure, notée M_(r, s), et que ces deux bornes sont atteintes.
c) Justifier que la contrainte d'appartenance à l'ensemble C_r est non critique.
d) Énoncer la condition nécessaire du premier ordre pour un extremum de q_s sous la contrainte C_r.
e) En déduire les valeurs de m_(r, A) et M_(r, A) et établir l'existence d'un réel μ tel que:

Vérifier que (u_1, u_2) ∈ C_r si et seulement si on a : (1 − r)(v_1)^2 + (1 + r)(v_2)^2 = 1.

On se place désormais dans le cas où r = 1/2 et s = 1/4,
b) Pour faire tracer par Scilab le domaine C_r, on peut utiliser le code suivant qui donne le graphique ci-dessous :
(1) n = 100;
(2) theta=1inspace( 0, 2∗%pi, n );
(3) ct = cos (theta);
(4) st=sin(theta) ;
(5) Cr = [ct = (1/sqrt(3))∗st; ct + (1/sqrt(3))∗st];
(6) plot(Cr(1, :), Cr(2, :))

En s'appuyant sur le résultat de la question 7.a), expliquer la méthode employée.
On précisera la signification de la ligne (2) ainsi que le format et le contenu des matrices Cr et Cr(1, : ).
c) Soit z_0 > 0 une valeur affectée à la variable z utilisée ci-dessous. Compléter la ligne (7) afin de tracer la ligne de niveau z_0 de la fonction q_s.
(7) Csz = [sqrt(z)∗(??∗ct + ??∗st); sqrt(z)∗(??∗ct + ??∗st)];
(8) plot(Csz(1, :),Csz(2, i))
d) Le graphique suivant a été obtenu à l'aide des deux scripts précédents pour une valeur z_0 affectée à la variable z . Laquelle?
On justificra la réponse donnée et on précisera pourquoi les deux courbes ont des tangentes communes.

8. Soit c un réel de ]0, 1[ et x une solution de ( S ) à valeurs dans [c, + ∞[^2.

On pose pour tout t ⩾ 0; y_1(t) = x_1(t) − 1 et y_2(t) = x_2(t) − 1. Pour s = ρ/(1 + ρ), on note f la fonction définie sur ℝ_+, à valeurs réelles, telle que f(t) = q_s(y_1(t), y_2(t)).
a) Vérifier pour tout t ⩾ 0, l'égalité : f^′(t) = − 2(1 + ρ)(x_1(t)(y_1(t) − sy_2(t))^2 + x_2(t)(y_2(t) − sy_1(t))^2).
b) En déduire que pour r = (2s)/(1 + s^2), on a pour tout t ⩾ 0 : f^′(t) ⩽ − 2c × (1 − s)/(1 − r) × q_r(y_1(t), y_2(t)).
c) Justifier pour tout t ⩾ 0, l'inégalité: f^′(t) ⩽ − 2cf(t). En déduire que lim_(t → + ∞)f(t) = 0.
9. Quelle propriété peut-on déduire de l'étude précédente pour toute solution de (S) dont chacune des composantes admet un minorant strictement positif?

Dans cette partie, on s'intéresse à un exemple de système se présentant sous la forme d'une équation de récurrence dont les coefficients sont soumis à une perturbation aléatoire.

On suppose p ⩾ 2. Soit A une matrice non nulle de M_p(ℝ) et b un vecteur de ℝ^p.
Soit (x(n))_(n ∈ ℕ) une suite de vecteurs de ℝ^p définie par son terme initial x(0) et la relation de récurrence :

On appelle équilibre du système piloté pas à pas par le couple (A, b), tout vecteur x^∗ = (x_1^∗, …, x_p^∗) ∈ ℝ^p qui vérifie : X^∗ = AX^∗ + B.
On suppose qu'il existe une matrice inversible Q ∈ M_p(ℝ) telle que la matrice D = Q^(− 1)AQ soit diagonale et que tous les coefficients diagonaux λ_1, …, λ_p de D appartiennent à l'intervalle ouvert ] − 1, + 1 [.
10. Montrer que le système piloté pas à pas par le couple ( A, b ) admet un unique équilibre x^∗.

La perturbation aléatoire du système se traduit par le fait que les coordonnées de x^∗ sont des paramètres inconnus qu'on peut chercher à estimer à partir des données observées que constituent les valeurs successives de vecteurs aléatoires y(n) = (y_1(n), …, y_p(n)) à valeurs dans ℝ^p et soumis au système perturbé.
Soit (U_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P), centrées et admettant chacune un moment d'ordre 2. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note v_n = V(U_n) la variance de U_n.
Soit x(0) ∈ ℝ^p et (y(n))_(n ∈ ℕ^∗) la suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans ℝ^p définie par :

où, pour tout n ∈ ℕ^∗, Y(n) est la matrice colonne (y_k(n))_(1 ⩽ k ⩽ p).
11. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note E(y(n)) le vecteur (E(y_1(n)), …, E(y_p(n))) ∈ ℝ^p et E(Y(n)) la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique de ℝ^p.
a) Calculer E(Y(1)) et justifier pour tout n ∈ ℕ^∗, l'égalité : E(Y(n + 1)) − X^∗ = A(E(Y(n)) − X^∗).
b) En déduire que lim_(n → + ∞)E(y(n)) = x^∗.
12. Soit (z(n))_(n ∈ ℕ^∗) la suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans ℝ^p définie par : ∀n ∈ ℕ^∗, Z(n) = Q^(− 1)Y(n).
a) Montrer pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout k ∈ [ [1, p] ], que : V(z_k(n + 1)) = (λ_k^2 + v_(n + 1))V(z_k(n)) + v_(n + 1)(E(z_k(n)))^2.
b) En déduire que si la suite (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente et de limite nulle, alors il existe un réel c_k ∈ ]0, 1[, un entier naturel N et un réel M_k > 0 tels que: ∀n ⩾ N, V(z_k(n + 1)) ⩽ c_k V(z_k(n)) + M_k v_(n + 1).
13. On suppose que la série de terme général v_n est convergente. Soit k ∈ [ [1, p] ].

Avec les notations de la question 12.b), on pose pour tout m ∈ ℕ : α_m = V(z_k(N + m)) et w_m = M_k v_(N + m + 1).
a) Montrer que pour tout m ∈ ℕ, on a : α_(m + 1) ⩽ (c_k)^(m + 1)α_0 + ∑_(j = 0)^m w_j(c_k)^(m − j).
b) En déduire que lim_(n → + ∞)V(z_k(n)) = 0.
c) Montrer que la suite (y_k(n))_(n ∈ ℕ^∗) converge en probabilité vers x_k^∗,