Mercredi 29 avril 2015, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs,
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

L'objet du problème est d'aborder quelques questions mathématiques relatives au comportement asymptotique de systèmes dynamiques discrets ou continus susceptibles de modéliser l'évolution temporelle de divers phénomènes, en particulier économiques (croissance économique, prix d'équilibre, etc.).
Les trois parties du problème sont indépendantes.
Dans tout le problème:

Soit une matrice non nulle de et un vecteur de . Soit fonctions dérivables sur .
On dit qu'une application définie sur , à valeurs dans , est pilotée par le couple ( ), si pour tout réel , les matrices colonnes et de et dans la base canonique de vérifient le système: .
On appelle équilibre du système piloté par le couple , tout vecteur vérifiant : .

On dit qu'un équilibre est attractif si pour toute application pilotée par , on a : .

Solt et une fonction dérivable sur , à valeurs réelles, vérifiant : .
a) Calculer la dérivée de la fonction .
b) En déduire que pour tout , on a : .
c) On identifie à la matrice de dont l'unique coefficient est . Montrer que le système piloté par le couple admet un unique équilibre, puis montrer que cet équilibre est attractif si et seulement si .
2. Exemple 1. Soit et . Soit une application définie sur , à valeurs dans , pilotée par le couple ( ).
a) Déterminer l'unique équilibre du système piloté par le couple ( ).
b) Justifier l'existence d'une matrice inversible telle que la matrice soit diagonale. Pourquoi peut-on choisir la matrice de telle manière que ?
c) Trouver deux réels et et une matrice inversible vérifiant : et .
d) Pour tout , on pose : .
(i) Vérifier pour tout , l'égalité : où .
(ii) À l'aide des résultats de la question 1 , en déduire que l'équilibre est attractif.
3. On suppose . Soit la base canonique de et l'unique endomorphisme de tel que et pour tout .
a) Écrire la matrice de l'endomorphisme dans la base . Quel est son rang?
b) Soit une racine -ième de l'unité et la matrice colonne de de composantes , Montrer que est un vecteur propre de et préciser la valeur propre complexe associée.
c) Montrer que l'endomorphisme est diagonalisable.
d) Montrer que le polynôme de est un polynôme annulateur de .

L'endomorphisme admet-il un polynôme annulateur non nul de degré strictement inférieur à ?
c) Soit . L'endomorphisme de est-il diagonalisable? Quelles sont ses valeurs propres?
4. Exemple 2. Soít et deux réels tels que et .
a) On note la matrice de la question 3 dans le cas où .
(i) Déterminer un polynôme à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2, tel que .
(ii) En déduire les valeurs propres complexes de ainsi que leurs parties réelles et imaginaires respectives.
b) Soit .
(i) Trouver l'unique équilibre du système piloté par le couple ( ).
(ii) Vérifier que l'application est pilotée par le couple ( ).
(iii) En déduire une condition nécessaire portant sur et pour que l'équilibre soit attractif.

On suppose désormais que la condition précédente est réalisée.
c) On pose : .
(i) Quelles sont les valeurs propres de la matrice ?
(ii) Déterminer un réel tel que toutes les valeurs propres de soient inférieures ou égales à .
d) On rappelle que . On considère une application pilotée par le couple ( ),

On note l'application définie sur , à valeurs dans , telle que et la fonction définie sur , à valeurs réelles, telle que , où . de .
(i) Vérifier que l'application est pilotée par le couple .
(ii) Montrer que est dérivable sur et que : .
(iii) Montrer que la fonction est décroissante sur ,
(iv) En déduire que l'équilibre est attractif.

Un exemple de pilotage non linéaire est fourni par un modèle de croissance économique endogène à deux secteurs dans lequel le taux de croissance du stock de capital et le taux de croissance du stock de connaissances sont représentés, depuis une date choisie comme origine, par des fonctions et respectivement.
Dans ce modèle où désigne un paramètre réel strictement positif, les deux fonctions et sont dérivables sur , à valeurs réelles, et vérifient le système :

dans lequel les deux fonctions et définies sur , à valeurs réelles, sont données par:

5.a) Pour tout réel , on pose: .

Vérifier que l'application est solution du système ( ).
b) En déduire que pour tout réel , il existe une solution de ( ) à valeurs dans .
c) Quel est l'unique couple vérifiant et ?
d) Toutes les solutions de ( ) convergent-elles vers lorsque tend vers ?
6. Pour tout réel , on note la forme quadratique sur associée à la matrice symétrique .

On note l'ensemble défini par : .
a) Pour quelles valeurs de la forme quadratique est-elle définie positive? Que peut-on dire alors de la partic de ?

Dans toute la suite de cette question, et sont deux réels vérifiant les inégalités : .
b) Justifier que l'ensemble admet une borne inférieure, notée , et une borne supérieure, notée , et que ces deux bornes sont atteintes.
c) Justifier que la contrainte d'appartenance à l'ensemble est non critique.
d) Énoncer la condition nécessaire du premier ordre pour un extremum de sous la contrainte .
e) En déduire les valeurs de et et établir l'existence d'un réel tel que:

Vérifier que si et seulement si on a : .

On se place désormais dans le cas où et ,
b) Pour faire tracer par Scilab le domaine , on peut utiliser le code suivant qui donne le graphique ci-dessous :
(1) ;
(2) theta=1inspace( );
(3) (theta);
(4) st=sin(theta) ;
(5) ;
(6)

En s'appuyant sur le résultat de la question 7.a), expliquer la méthode employée.
On précisera la signification de la ligne (2) ainsi que le format et le contenu des matrices Cr et , : ).
c) Soit une valeur affectée à la variable utilisée ci-dessous. Compléter la ligne (7) afin de tracer la ligne de niveau de la fonction .
(7) ;
(8) plot(Csz(1, :),Csz(2, i))
d) Le graphique suivant a été obtenu à l'aide des deux scripts précédents pour une valeur affectée à la variable z . Laquelle?
On justificra la réponse donnée et on précisera pourquoi les deux courbes ont des tangentes communes.

8. Soit un réel de et une solution de ( ) à valeurs dans .

On pose pour tout et . Pour , on note la fonction définie sur , à valeurs réelles, telle que .
a) Vérifier pour tout , l'égalité : .
b) En déduire que pour , on a pour tout .
c) Justifier pour tout , l'inégalité: . En déduire que .
9. Quelle propriété peut-on déduire de l'étude précédente pour toute solution de dont chacune des composantes admet un minorant strictement positif?

Dans cette partie, on s'intéresse à un exemple de système se présentant sous la forme d'une équation de récurrence dont les coefficients sont soumis à une perturbation aléatoire.

On suppose . Soit une matrice non nulle de et un vecteur de .
Soit une suite de vecteurs de définie par son terme initial et la relation de récurrence :

On appelle équilibre du système piloté pas à pas par le couple , tout vecteur qui vérifie : .
On suppose qu'il existe une matrice inversible telle que la matrice soit diagonale et que tous les coefficients diagonaux de appartiennent à l'intervalle ouvert [.
10. Montrer que le système piloté pas à pas par le couple ( ) admet un unique équilibre .

La perturbation aléatoire du système se traduit par le fait que les coordonnées de sont des paramètres inconnus qu'on peut chercher à estimer à partir des données observées que constituent les valeurs successives de vecteurs aléatoires à valeurs dans et soumis au système perturbé.
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé , centrées et admettant chacune un moment d'ordre 2. Pour tout , on note la variance de .
Soit et la suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans définie par :

où, pour tout est la matrice colonne .
11. Pour tout , on note le vecteur et la matrice colonne de ses coordonnées dans la base canonique de .
a) Calculer et justifier pour tout , l'égalité : .
b) En déduire que .
12. Soit la suite de vecteurs aléatoires à valeurs dans définie par : .
a) Montrer pour tout et tout , que : .
b) En déduire que si la suite est convergente et de limite nulle, alors il existe un réel , un entier naturel et un réel tels que: .
13. On suppose que la série de terme général est convergente. Soit .

Avec les notations de la question 12.b), on pose pour tout et .
a) Montrer que pour tout , on a : .
b) En déduire que .
c) Montrer que la suite converge en probabilité vers ,

Grâce aux résultats des questions 11.b) et 19.c), on peut dire que est une suite d'estimateurs de asymptotiquement sans biais et convergente.