BCE Maths approfondies HEC ECS 2018Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2018

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2018.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Conception : HEC Paris

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril 2018, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Hormis le résultat de la question 12.b), la partie IV est indépendante du préliminaire et des parties I, II et III.

Préliminaire

1.a) Établir pour tout entier naturel

k

, la convergence de l'intégrale

\int_0^(+ \infty)t^k e^(- t^2) dt

On pose alors,

A_0 = \int_0^(+ \infty)e^(- t^2) dt

et, pour tout entier

k ⩾ 1, A_k = \int_0^(+ \infty)t^k e^(- t^2) dt

.
b) Calculer

A_0, A_1

A_2

.
2. Déduire de la question 1.a) la convergence, pour tout

x

réel, des deux intégrales :

\int_0^(+ \infty)e^(- t^2)cos(2xt)dt et \int_0^(+ \infty)te^(- t^2)sin(2xt)dt

Partie I. Calcul d'une fonction auxiliaire

On note

F

G

respectivement, les fonctions définies sur

R

par :

\forallx \in R, F(x) = \int_0^(+ \infty)e^(- t^2)cos(2xt)dt et G(x) = \int_0^(+ \infty)te^(- t^2)sin(2xt)dt

Dans cette partie, on veut montrer d'une part, que la fonction

F

est dérivable sur

R

et d'autre part, donner pour tout réel

x

, l'expression de

F(x)

.
3.a) À l'aide d'une formule de Taylor, établir pour tout réel

u

, l'inégalité :

|sin(u)| ⩽ |u|

.
b) Pour tous réels

u

v

, justifier la formule trigonométrique :

cos(u) - cos(v) = 2sin((u + v)/2)sin((v - u)/2)

.
c) En déduire que la fonction

F

est continue sur

R

.
4. a) Pour tout réel

u

, justifier à l'aide d'une formule de Taylor, l'inégalité :

|u - sin(u)| ⩽ (u^2)/2

.
b) Pour tous réels

x

h

, établir l'inégalité :

|F(x + h) - F(x) + 2hG(x)| ⩽ \int_0^(+ \infty)e^(- t^2)(|(2ht - sin(2ht))sin(2xt)| + (1 - cos(2ht))|cos(2xt)|)dt

(On pourra admettre l'existence de l'intégrale du second membre, qui découle du préliminaire)
c) En déduire l'existence d'une constante

C > 0

telle que :

\forall(x, h) \in R^2, |F(x + h) - F(x) + 2hG(x)| ⩽ Ch^2.

5.a) Justifier que la fonction

F

est dérivable sur

R

et exprimer sa fonction dérivée

F^'

à l'aide de la fonction

G

.
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout réel

x

, on a :

F^'(x) = - 2xF(x)

.
c) En déduire que pour tout réel

x

, on a :

F(x) = (\sqrtπ)/2e^(- x^2)

Partie II. Fonction de Dirichlet

Pour tout $n \in N$ , soit $φ_n$ la fonction définie sur $D = R∖{2kπ; k \in Z}$ par:

\forallu \in D, φ_n(u) = (sin((n + 1/2)u))/(2sin(u/2))

(L'ensemble

D

est l'ensemble des nombres récls qui ne sont pas des multiples de

2π

)
a) Montrer que la fonction

φ_n

est continue sur

D

et prolongeable par continuité en 0 .
b) En déduire que la fonction

φ_n

admet un prolongement continu sur

R

On note encore

φ_π

la fonction ainsi prolongée sur R .
c) Montrer que la fonction

φ_n

est paire.
7. On note

i

le nombre complexe de module 1 et d'argument

π/2

.
a) Pour tout réel

u

, calculer la somme

\sum_(k = 1)^n e^(iku)

.
b) En déduire la relation:

\forallu \in R, \sum_(k = 1)^n cos(ku) = φ_n(u) - 1/2

.
c) Pour tout

n \in N

, calculer l'intégrale

\int_0^(2π)φ_n(u)du

.
8. Soit

ψ

une fonction continuc sur

R

et périodique de période

T

. Établir pour tout réel

x

, l'égalité :

\int_x^(x + T)ψ(u)du = \int_0^T ψ(u)du

Partie III. Formule sommatoire de Poisson
Dans cette partie, on note

θ

un réel strictement positif fixé et on considère la fonction

f

définie sur

R

à valeurs réelles telle que:

\forallx \in R, f(x) = e^(- θx^2)

.
9.a) Montrer que pour tout réel

x

, les deux séries

\sum_(k ⩾ 1)f(x + 2kπ)

. et

\sum_(k ⩾ 1)f(x - 2kπ)

sont convergentes.

On pose alors :

\forallx \in R, H(x) = f(x) + \sum_(k = 1)^(+ \infty)f(x + 2kπ) + \sum_(k = 1)^(+ \infty)f(x - 2kπ)

On définit ainsi une fonction

H

sur

R

et on admet sans démonstration dans toute la suite du problème que la fonction

H

est de classe

C^1

sur

R

.
b) Préciser la parité de la fonction

H

et de sa fonction dérivée

H^'

.
10. Dans cette question, on note

n

un entier naturel fixé.

Pour tout

N \in N^*

, soit

H_N

la fonction définie sur R par :

\forallx \in R, H_N(x) = f(x) + \sum_(k = 1)^N f(x + 2kπ) + \sum_(k = 1)^N f(x - 2kπ).

a) Établir l'égalité :

\int_0^(2π)H_N(x)cos(nx)dx = \int_(- 2Nπ)^(2(N + 1)π)f(u)cos(nu)du

.
b) En déduire que l'on a :

lim_(N \to + \infty)\int_0^(2π)H_N(x)cos(nx)dx = 2\int_0^(+ \infty)f(u)cos(nu)du

.
c) Établir pour tout réel

x

, l'inégalité :

|H(x) - H_N(x)| ⩽ 2\sum_(k = N + 1)^(+ \infty)e^(- 4θπ^2 k^2)

.
d) En déduire les égalités :

\int_0^(2π)H(x)cos(nx)dx = 2\int_0^(+ \infty)f(u)cos(nu)du = \sqrt(π/θ) \times exp(- (n^2)/(4θ))

Soit $x$ un réel appartenant au segment $[0, 2π]$ .

Pour tout

n \in N

, on pose :

a_n = \int_0^(2π)H(x)cos(nx)dx

.
a) Pour tout

N \in N^*

, ćtablir l'égalité :

a_0 + 2\sum_(n = 1)^N a_n cos(nx) = \int_0^(2π)H(u) \times φ_N(u + x)du + \int_0^(2π)H(u) \times φ_N(u - x)du

où la fonction

φ_N

a été définie dans la question 6 .
b) En déduire l'égalité :

a_0 + 2\sum_(n = 1)^N a_n cos(nx) = \int_0^(2π)((H(v + x) + H(v - x))/(2sin(v/2))) \times sin((N + 1/2)v)dv

c) Justifier la continuité sur le segment

[0, 2π]

de la fonction

K_x

définie par :

K_x(v) = {(H(v + x) + H(v − x) − 2H(x))/(2sin(v/2)), si v ∈ ]0, 2π[; 0, si v = 0 ou v = 2π.

d) À l'aide de la question 7.c), établir l'égalité :

a_0 + 2\sum_(n = 1)^N a_n cos(nx) - 2πH(x) = \int_0^(2π)K_x(v) \times sin((N + 1/2)v)dv

12.a) Soit

g

une fonction définie et de classe

C^1

sur le segment

[0, 1]

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale

\int_0^l g(t)sin(λt)dt

tend vers 0 lorsque le réel

λ

tend vers

+ \infty

On admet plus généralement que si

g

est une fonction continue sur un segment

[α, β](α < β)

, alors :

lim_(λ \to + \infty)\int_α^β g(t)sin(λt)dt = 0

b) Établir pour tout réel

x \in [0, 2π]

et pour tout réel

θ > 0

, la relation (formule sommatoire de Poisson) :

1/(\sqrt(πθ))(1/2 + \sum_(n = 1)^(+ \infty)exp(- (n^2)/(4θ))cos(nx)) = e^(- θx^2) + \sum_(k = 1)^(+ \infty)e^(- θ(x + 2kπ)^2) + \sum_(k = 1)^(+ \infty)e^(- θ(x - 2kπ)^2).

Partie IV. Une application probabiliste de la formule sommatoire de Poisson

Soit

p

un réel vérifiant

0 < p < 1

.
Deux joueurs A et B lancent tour à tour une pièce de monnaie.
Le jet de la pièce donne "Pile" avec la probabilité

p

et "Face" avec la probabilité

1 - p

.
Le vainqueur de la partie est le joueur qui obtient «Pile» le premier, auquel cas la partie s'arrête.
Le premier lancer (de rang 1) est effectué par le joueur A.
Si la partie ne s'arrête pas avant, les trois lancers suivants (de rangs 2,3 et 4) sont effectués par le joueur B , les cinq suivants (de rangs

5, 6, 7, 8

et 9 ) par le joueur A, et ainsi de suite.
Après chaque changement de main, le joueur qui reprend la main peut ainsi effectuer (au maximum) deux lancers de plus que ceux que vient d'effectuer l'autre joueur.
On suppose que les résultats des lancers successifs sont indépendants.
13.a) Compléter la fonction Scilab suivante qui simule une partie effectuée selon les règles précédentes et affiche le vainqueur.

function v=jeu(p)
    i=1;
    v=1;
    s=1 ;
    j=1 ;
    while rand()> p
        i=i+1;
        j=j+1 ;
        if j>s then v=-v; // changement de main
            s= ............;
            j= ........... ;
            end;
    end;
    if v==1 then disp("A vainqueur"); else disp("B vainqueur");
    end ;
endfunction

b) Que représente la valeur de

i

après l'exécution de la fonction "jeu"?
c) Préciser la signification de la variable

v

.
d) Compléter le code de la fonction «jeu» pour qu'elle affiche le nombre de lancers effectués par le joueur A.
e) Écrire un code Scilab permettant d'obtenir une valeur approchée de la probabilité que le vainqueur du jeu soit le joueur A .
14. On suppose que l'expérience aléatoire précédente est modélisée à l'aide d'un espace probabilisé (

Ω, A, P_p

). On note :

$X$ le nombre de lancers effectués par le joueur A et $I$ l'ensemble des rangs possibles de ses lancers $1, 5, 6, \dots$ ;
$Y$ le nombre de lancers effectués par le joueur B et $J$ l'ensemble des rangs possibles de ses lancers $2, 3, 4, \dots$ ;
$H$ l'événement aléatoire "le vainqueur est A ";
$K$ l'événement aléatoire «le vainqueur est B ».
a) Justifier que $P_p(H \cup K) = 1$ et identifier la loi de la variable aléatoire $X + Y$ .
b) Montrer que: $lim_(p \to 1)P_p(H) = 1$ .
15.a) Justifier que l'ensemble $I$ est inclus dans la réunion $⋃_(n \in ℕ)[4n^2 + 1, 4n^2 + 4n + 1]$ .
b) Démontrer que : $P_p(H) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((1 - p)^(4n^2) - (1 - p)^(4n^2 + 4n + 1))$ . Donner une expression similaire pour $P_p(K)$ .
16.a) En utilisant le résultat de la question 12.b), établir l'inégalité stricte suivante : $\sum_(n = 0)^(+ \infty)(- 1)^n(1 - p)^(n^2) > 1/2$ .
b) Que peut-on en déduire concernant le jeu considéré?

FIN

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