La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Hormis le résultat de la question 12.b), la partie IV est indépendante du préliminaire et des parties I, II et III.

Préliminaire

1.a) Établir pour tout entier naturel

, la convergence de l'intégrale

On pose alors,

et, pour tout entier

.
b) Calculer

.
2. Déduire de la question 1.a) la convergence, pour tout

réel, des deux intégrales :

Partie I. Calcul d'une fonction auxiliaire

On note

respectivement, les fonctions définies sur

par :

Dans cette partie, on veut montrer d'une part, que la fonction

est dérivable sur

et d'autre part, donner pour tout réel

, l'expression de

.
3.a) À l'aide d'une formule de Taylor, établir pour tout réel

, l'inégalité :

.
b) Pour tous réels

, justifier la formule trigonométrique :

.
c) En déduire que la fonction

est continue sur

.
4. a) Pour tout réel

, justifier à l'aide d'une formule de Taylor, l'inégalité :

.
b) Pour tous réels

, établir l'inégalité :

(On pourra admettre l'existence de l'intégrale du second membre, qui découle du préliminaire)
c) En déduire l'existence d'une constante

telle que :

5.a) Justifier que la fonction

est dérivable sur

et exprimer sa fonction dérivée

à l'aide de la fonction

.
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout réel

, on a :

.
c) En déduire que pour tout réel

, on a :

Partie II. Fonction de Dirichlet

Pour tout , soit la fonction définie sur par:

(L'ensemble

est l'ensemble des nombres récls qui ne sont pas des multiples de

)
a) Montrer que la fonction

est continue sur

et prolongeable par continuité en 0 .
b) En déduire que la fonction

admet un prolongement continu sur

On note encore

la fonction ainsi prolongée sur R .
c) Montrer que la fonction

est paire.
7. On note

le nombre complexe de module 1 et d'argument

.
a) Pour tout réel

, calculer la somme

.
b) En déduire la relation:

.
c) Pour tout

, calculer l'intégrale

.
8. Soit

une fonction continuc sur

et périodique de période

. Établir pour tout réel

, l'égalité :

Partie III. Formule sommatoire de Poisson
Dans cette partie, on note

un réel strictement positif fixé et on considère la fonction

définie sur

à valeurs réelles telle que:

.
9.a) Montrer que pour tout réel

, les deux séries

. et

sont convergentes.

On pose alors :

On définit ainsi une fonction

sur

et on admet sans démonstration dans toute la suite du problème que la fonction

est de classe

sur

.
b) Préciser la parité de la fonction

et de sa fonction dérivée

.
10. Dans cette question, on note

un entier naturel fixé.

Pour tout

, soit

la fonction définie sur R par :

a) Établir l'égalité :

.
b) En déduire que l'on a :

.
c) Établir pour tout réel

, l'inégalité :

.
d) En déduire les égalités :

Soit un réel appartenant au segment .

Pour tout

, on pose :

.
a) Pour tout

, ćtablir l'égalité :

où la fonction

a été définie dans la question 6 .
b) En déduire l'égalité :

c) Justifier la continuité sur le segment

de la fonction

définie par :

d) À l'aide de la question 7.c), établir l'égalité :

12.a) Soit

une fonction définie et de classe

sur le segment

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale

tend vers 0 lorsque le réel

tend vers

On admet plus généralement que si

est une fonction continue sur un segment

, alors :

b) Établir pour tout réel

et pour tout réel

, la relation (formule sommatoire de Poisson) :

Partie IV. Une application probabiliste de la formule sommatoire de Poisson

Soit

un réel vérifiant

.
Deux joueurs A et B lancent tour à tour une pièce de monnaie.
Le jet de la pièce donne "Pile" avec la probabilité

et "Face" avec la probabilité

.
Le vainqueur de la partie est le joueur qui obtient «Pile» le premier, auquel cas la partie s'arrête.
Le premier lancer (de rang 1) est effectué par le joueur A.
Si la partie ne s'arrête pas avant, les trois lancers suivants (de rangs 2,3 et 4) sont effectués par le joueur B , les cinq suivants (de rangs

et 9 ) par le joueur A, et ainsi de suite.
Après chaque changement de main, le joueur qui reprend la main peut ainsi effectuer (au maximum) deux lancers de plus que ceux que vient d'effectuer l'autre joueur.
On suppose que les résultats des lancers successifs sont indépendants.
13.a) Compléter la fonction Scilab suivante qui simule une partie effectuée selon les règles précédentes et affiche le vainqueur.

function v=jeu(p)
    i=1;
    v=1;
    s=1 ;
    j=1 ;
    while rand()> p
        i=i+1;
        j=j+1 ;
        if j>s then v=-v; // changement de main
            s= ............;
            j= ........... ;
            end;
    end;
    if v==1 then disp("A vainqueur"); else disp("B vainqueur");
    end ;
endfunction

b) Que représente la valeur de

après l'exécution de la fonction "jeu"?
c) Préciser la signification de la variable

.
d) Compléter le code de la fonction «jeu» pour qu'elle affiche le nombre de lancers effectués par le joueur A.
e) Écrire un code Scilab permettant d'obtenir une valeur approchée de la probabilité que le vainqueur du jeu soit le joueur A .
14. On suppose que l'expérience aléatoire précédente est modélisée à l'aide d'un espace probabilisé (

). On note :

le nombre de lancers effectués par le joueur A et l'ensemble des rangs possibles de ses lancers ;
le nombre de lancers effectués par le joueur B et l'ensemble des rangs possibles de ses lancers ;
l'événement aléatoire "le vainqueur est A ";
l'événement aléatoire «le vainqueur est B ».
a) Justifier que et identifier la loi de la variable aléatoire .
b) Montrer que: .
15.a) Justifier que l'ensemble est inclus dans la réunion .
b) Démontrer que : . Donner une expression similaire pour .
16.a) En utilisant le résultat de la question 12.b), établir l'inégalité stricte suivante : .
b) Que peut-on en déduire concernant le jeu considéré?

FIN

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\title{Conception : HEC Paris }

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\date{}


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