Le sujet propose un premier exercice de probabilités avec une question de cours suivie d'une recherche d'équivalent par somme de Riemann, un deuxième exercice sur la recherche de solutions développables en série entière d'une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants, puis un problème déterminant la somme des inverses des carrés des entiers par plusieurs méthodes utilisant les intégrales de Wallis et les séries entières.

1Exercice I : probabilités et somme de RiemannQuestion de cours sur une loi de probabilité, puis recherche d'un équivalent à l'aide d'une somme de Riemann.
2Exercice II : équation différentielle et série entièreRecherche de solutions développables en série entière d'une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants, étude des espaces de solutions et question de recollement.
3Problème : somme des inverses des carrésDétermination de la valeur de la somme des 1/n² par différentes méthodes, à l'aide des intégrales de Wallis, de séries entières et de théorèmes d'intégration terme à terme, de continuité et de dérivation des fonctions définies par une intégrale.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le texte était clair, précis et assez court, sans véritable difficulté pour un étudiant ayant travaillé régulièrement, même si les deux exercices ont été mal ou peu traités, avec une moyenne brute de 10,11 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,11 / 20 · écart-type 4,53 · 6 431 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,11/ 20
Écart-type: 4,53
Présents: 6 431
Coefficient: 12
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Somme de Riemann non reconnue · Équation caractéristique invoquée à tort · Interversion série-intégrale largement maltraitée

Le texte était clair, précis et assez court, avec des situations classiques rencontrées tout au long des deux années de classe préparatoire. Les deux exercices ont été mal ou peu traités, surtout le deuxième, alors que les candidats se sont montrés nettement plus compétents dans le problème.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Somme de Riemann non reconnueQ3
La somme de Riemann n'est pas toujours reconnue, la mention de l'hypothèse de continuité de la fonction fait souvent défaut, et les candidats soustraient à tort des équivalents.
2
Équation caractéristique invoquée à tortQ4
Il est étonnant de voir apparaître des équations caractéristiques alors que les coefficients de l'équation différentielle ne sont pas constants.
3
Interversion série-intégrale largement maltraitéeQ12, Q14
L'interversion série-intégrale a été largement maltraitée : annonce de convergence uniforme ou normale sans démonstration, majoration fallacieuse, voire interversion sans aucune vérification.
4
Caractère C1 largement maltraitéQ16
Le caractère C1 a été largement maltraité à la question 16 : dérivée selon t, majoration dépendant de x, majoration clairement fausse, voire oubli de l'hypothèse de domination sur la dérivée.
5
Développement en série entière sans domaine de validitéQ10
Un développement en série entière doit toujours être accompagné de son domaine de validité, ce qui a malheureusement parfois été oublié à la question 10.

Ce qui a été bien réussi

La question 8 a été en général bien traitée.
La question 9 sur les intégrales de Wallis est généralement bien menée si la dérivée associée est correcte.
Le théorème de continuité est dans l'ensemble connu à la question 15.
Le calcul de f(1) à la question 18 est bien réalisé avec des méthodes variées.

Conseils du jury

Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler à chaque fois toutes leurs hypothèses, même si elles figurent quelques lignes plus haut.
Éviter de trafiquer les calculs pour obtenir à tout prix le résultat attendu, ce qui indispose fortement le correcteur.
Toujours préciser le domaine de validité d'un développement en série entière.
Prendre le temps de bien comprendre la question avant de répondre, plutôt que de recopier l'énoncé avant chaque réponse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème, tous indépendants.

EXERCICE I

X

est une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

d'espérance finie.

Q1. Exprimer, pour

k

non nul,

P(X = k)

en fonction de

P(X > k - 1)

et de

P(X > k)

.
Démontrer que pour tout

n \in ℕ, \sum_(k = 1)^n kP(X = k) = \sum_(k = 0)^(n - 1)P(X > k) - nP(X > n)

.
Démontrer le résultat de cours :

E(X) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)P(X > k)

Q2. Soit

n \in ℕ^*

. Une urne contient

n

boules numérotées de 1 à

n

. On effectue, de façon équiprobable,

p

tirages successifs avec remise et on note

X

le plus grand nombre obtenu. Calculer, pour tout entier naturel

k, P(X \leq k)

, puis donner la loi de

X

Q3. Calculer

lim_(n \to + \infty)1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)(k/n)^p

, puis en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour

n

au voisinage de

+ \infty

E(X)

EXERCICE II

On considère les équations différentielles :

(E) : x^2 y^('') + 4xy^' + (2 - x^2)y = 1

(H):

x^2 y^('') + 4xy^' + (2 - x^2)y = 0

On note

I = ]0, + \infty[, S_l(E)

l'ensemble des solutions de l'équation (

E

) sur

I

S_l(H)

l'ensemble des solutions de l'équation (

H

) sur

I

Q4. Donner, en justifiant, la dimension de l'espace vectoriel

S_l(H)

.
Q5. Démontrer qu'il existe une unique solution

f

de (

E

) sur

I

développable en série entière sur

ℝ

.
Vérifier que pour tout

x \in I, f(x) = (chx - 1)/(x^2)

.
Q6. On note pour

x \in I, g(x) = (- 1)/(x^2)

h(x) = (shx)/(x^2)

.
On admet dans cette question que

g \in S_l(E)

h \in S_l(H)

.
Donner, sans calculs, l'ensemble

S_l(E)

.
Q7. Quelle est la dimension de l'espace vectoriel

S_ℝ(H)

(solutions de

(H)

sur

ℝ

) ?

PROBLÈME

II existe de nombreuses méthodes pour déterminer la valeur de

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

.
Ce problème propose deux méthodes différentes de recherche de la valeur de cette somme.

Q8. Question préliminaire
Si on admet que

\sum_(n = 0)^(+ \infty)1/((2n + 1)^2) = (π^2)/8

, que vaut la somme

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

Partie 1

Q9. On note, pour tout entier naturel

n, W_n = \int_0^(π/2)(sinx)^n dx

.
Calculer la dérivée de la fonction

x \mapsto (sinx)^(n + 1)

, puis déterminer une relation entre

W_(n + 2)

W_n

En déduire, pour tout entier naturel

n

, que

W_(2n + 1) = (2^(2n)(n!)^2)/((2n + 1)!)

Q10. Déterminer sur l'intervalle

] - 1, 1[

le développement en série entière des fonctions

x \mapsto 1/(\sqrt(1 - x^2))

x \mapsto Arcsinx

Q11. En déduire que pour tout

x \in [0, π/2[, x = \sum_(n = 0)^(+ \infty)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2(2n + 1))(sinx)^(2n + 1)

Q12. Justifier que

\int_0^(π/2)[\sum_(n = 0)^(+ \infty)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2(2n + 1))(sinx)^(2n + 1)]dx = \sum_(n = 0)^(+ \infty)\int_0^(π/2)((2n)!)/(2^(2n)(n!)^2(2n + 1))(sinx)^(2n + 1) dx

Q13. En déduire la valeur de

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

Partie II

Q14. Donner sur l'intervalle

] - 1, 1[

le développement en série entière de la fonction

x \mapsto 1/(x^2 - 1)

, puis calculer l'intégrale

\int_0^1(lnx)/(x^2 - 1) dx

On donnera le résultat sous la forme de la somme d'une série numérique.

Q15. On pose pour

x \in [0, + \infty[, f(x) = \int_0^(+ \infty)(Arctan(xt))/(1 + t^2) dt

.
Démontrer que la fonction

f

est bien définie et est continue sur l'intervalle

[0, + \infty[

Q16. Établir que cette fonction

f

est de classe

C^1

sur l'intervalle

]0, 1]

et exprimer

f^'(x)

comme une intégrale.

Q17. Réduire au même dénominateur l'expression

t/(1 + t^2) - (x^2 t)/(1 + t^2 x^2)

et en déduire que pour tout

x \in ]0, 1[, f^'(x) = (lnx)/(x^2 - 1)

Q18. Calculer

f(1)

, puis en déduire la valeur de

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte maths 1 CCINP MP-MPI 2024 ?

Le sujet porte sur les probabilités et sommes de Riemann, les équations différentielles à solutions en série entière, et les intégrales de Wallis dans un problème sur la somme des inverses des carrés des entiers.

Quelle est la moyenne à maths 1 CCINP MP-MPI 2024 ?

D'après le rapport, la moyenne brute du sujet était de 10,11 sur 20, avec un écart-type important de 4,53.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur maths 1 CCINP MP-MPI 2024 ?

Une interversion série-intégrale souvent maltraitée sans vérification des hypothèses, un caractère C1 mal justifié, et l'oubli du domaine de validité d'un développement en série entière.

Quelle partie de maths 1 CCINP MP-MPI 2024 a été la mieux réussie ?

D'après le rapport, les candidats se sont montrés nettement plus compétents dans le problème sur la somme des inverses des carrés que dans les deux exercices, notamment le deuxième.

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Commentaires• CCINP Mathématiques 1 MP MPI 2024

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