CCINP Mathématiques 1 PSI 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Les calculatrices sont autorisées.

Dans tout ce problème, on désigne par μ une application continue 2π - périodique de R dans R et on considère l'équation différentielle :

On désigne par φ_μ la solution sur R de ( E_μ ) qui vérifie en outre les relations φ_μ(0) = φ_μ^′(0) = 0. Pour x ∈ R, on note :

Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction φ_μ. Dans la partie II et la partie III, on étudie un exemple explicite.

On désigne par F_μ la fonction définie sur R par F_μ(x) = (sinx)G_μ(x) − (cosx)H_μ(x).

Pour simplifier les notations, on écrira F, G, H, φ pour désigner les fonctions F_μ, G_μ, H_μ, φ_μ.
I. 1 Justifier la dérivabilité de G, H et donc F. Préciser F(0) et F^′(0).
I. 2 Montrer que F est de classe C^2 sur R et exprimer F^(′′)(x) + F(x) en fonction de μ(x).
I. 3 Justifier l'affirmation F = φ.
I. 4 Etude du caractère 2π - périodique de φ.
I.4.1 Calculer la dérivée de G(x + 2π) − G(x) et H(x + 2π) − H(x).
I.4.2 Exprimer G(x + 2π) − G(x) en fonction de G(2π)
et H(x + 2π) − H(x) en fonction de H(2π).
I.4.3 Exprimer φ(x + 2π) − φ(x) en fonction de sinx, cosx, G(2π), H(2π).
I.4.4 A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur G(2π) et H(2π) la fonction φ est-elle 2π-périodique?
I.4.5 La fonction φ est-elle 2π - périodique lorsque μ(t) = sint ? (resp. lorsque μ(t) = cost ?)
I.4.6 La fonction φ est-elle bornée lorsque μ(t) = sint ? (resp. lorsque μ(t) = cost?)
I.4.7 Montrer que la fonction φ est 2π - périodique lorsque μ(t) = |sint|.
I.4.8 Les fonctions φ, φ^′, et φ^(′′) sont-elles bornées lorsque μ(t) = |sint| ?

Dans toute la suite du problème, on suppose que μ(t) = |sint|.

Calcul de ∫_(R_+)e^(− t)φ(t)dt
II. 1 Justifier l'intégrabilité sur R_+de la fonction t ↦ e^(− t)|sint|.
II. 2 Pour n ∈ N, on note v_n = ∫_(nπ)^((n + 1)π)e^(− t)|sint|dt.
II.2.1 Calculer v_0.
II.2.2 Montrer qu'il existe un nombre réel ρ (que l'on explicitera) tel que pour tout n ∈ N, on ait v_n = ρ^n v_0.
II.2.3 En déduire la convergence de la série ∑_(n ≥ 0)v_n et expliciter sa somme ∑_(n = 0)^(+ ∞)v_n.
II.2.4 En déduire la valeur de l'intégrale ∫_(R_+)e^(− t)|sint|dt.

II.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de I.4.8) que les fonctions t ↦ e^(− t)φ(t), t ↦ e^(− t)φ^′(t) et t ↦ e^(− t)φ^(′′)(t) sont intégrables sur R_+.
II.3.2 Etablir une relation entre ∫_(R_+)e^(− t)μ(t)dt et ∫_(R_+)e^(− t)φ(t)dt.

En déduire ∫_(R_+)e^(− t)φ(t)dt.

Si f est une application continue 2π - périodique de R dans R, on désigne par a_n(f) et b_n(f) les coefficients de Fourier réels de f :

Lorsqu'elle converge, on désigne par SF_f(t) la somme de la série de Fourier :

III.1.1 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction μ( rappel : μ(t) = |sint| ) .
III.1.2 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction φ( rappel : φ^(′′)(t) + φ(t) = |sint|, φ(0) = φ^′(0) = 0) )

III.2.1 Calculer les coefficients a_n(μ) pour n ∈ N. Quelle est la valeur des coefficients b_n(μ) pour n ∈ N^∗ ?
III.2.2 Etablir la convergence de la série ∑_(p ≥ 1)1/((4p^2 − 1)) et expliciter sa somme ∑_(p = 1)^(+ ∞)1/(4p^2 − 1).
III.2.3 Etablir la convergence de la série ∑_(p ≥ 1)1/((4p^2 − 1)^2) et calculer sa somme ∑_(p = 1)^(+ ∞)1/((4p^2 − 1)^2).

III.3.1 Etudier la parité des fonctions G, H puis celle de la fonction φ. Quelle est la valeur des coefficients b_n(φ) pour n ∈ N^∗ ?
III.3.2 Etablir une relation entre a_n(φ^(′′)) et a_n(φ) pour n ∈ N.
III.3.3 En déduire la valeur de a_n(φ) pour n ≠ 1.
III.3.4 Calculer a_1(φ).
III. 4 On considère la série ∑_(p ≥ 1)1/((4p^2 − 1)(16p^4 − 1)). Justifier la convergence de cette série et expliciter sa somme ∑_(p = 1)^(+ ∞)1/((4p^2 − 1)(16p^4 − 1)) en calculant l'intégrale du II par un autre procédé qu’on justifiera soigneusement.
III. 5 On considère dans cette question l'application φ de classe C^2 de R dans R vérifiant :

III.5.1 La fonction φ est-elle 2π-périodique?
III.5.2 La fonction φ est-elle bornée sur R ?
III.5.3 La fonction t ↦ e^(− t)φ(t) est-elle intégrable sur R_+?

Fin de l'énoncé.