CCINP Mathématiques 1 PSI 2003

Les calculatrices sont autorisées.

Dans tout ce problème, on désigne par une application continue - périodique de dans et on considère l'équation différentielle :

On désigne par la solution sur de ( ) qui vérifie en outre les relations . Pour , on note :

Dans la partie I, on étudie quelques propriétés de la fonction . Dans la partie II et la partie III, on étudie un exemple explicite.

On désigne par la fonction définie sur par .

Pour simplifier les notations, on écrira pour désigner les fonctions .
I. 1 Justifier la dérivabilité de et donc . Préciser et .
I. 2 Montrer que est de classe sur et exprimer en fonction de .
I. 3 Justifier l'affirmation .
I. 4 Etude du caractère - périodique de .
I.4.1 Calculer la dérivée de et .
I.4.2 Exprimer en fonction de
et en fonction de .
I.4.3 Exprimer en fonction de .
I.4.4 A quelle condition nécessaire et suffisante portant sur et la fonction est-elle -périodique?
I.4.5 La fonction est-elle - périodique lorsque ? (resp. lorsque ?)
I.4.6 La fonction est-elle bornée lorsque ? (resp. lorsque
I.4.7 Montrer que la fonction est - périodique lorsque .
I.4.8 Les fonctions , et sont-elles bornées lorsque ?

Dans toute la suite du problème, on suppose que .

Calcul de
II. 1 Justifier l'intégrabilité sur de la fonction .
II. 2 Pour , on note .
II.2.1 Calculer .
II.2.2 Montrer qu'il existe un nombre réel (que l'on explicitera) tel que pour tout , on ait .
II.2.3 En déduire la convergence de la série et expliciter sa somme .
II.2.4 En déduire la valeur de l'intégrale .

II.3.1 Déduire des résultats obtenus dans la partie I (en particulier de I.4.8) que les fonctions et sont intégrables sur .
II.3.2 Etablir une relation entre et .

En déduire .

Si est une application continue - périodique de dans , on désigne par et les coefficients de Fourier réels de :

Lorsqu'elle converge, on désigne par la somme de la série de Fourier :

III.1.1 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction rappel : ) .
III.1.2 Justifier la convergence de la série de Fourier de la fonction rappel : )

III.2.1 Calculer les coefficients pour . Quelle est la valeur des coefficients pour ?
III.2.2 Etablir la convergence de la série et expliciter sa somme .
III.2.3 Etablir la convergence de la série et calculer sa somme .

III.3.1 Etudier la parité des fonctions puis celle de la fonction . Quelle est la valeur des coefficients pour ?
III.3.2 Etablir une relation entre et pour .
III.3.3 En déduire la valeur de pour .
III.3.4 Calculer .
III. 4 On considère la série . Justifier la convergence de cette série et expliciter sa somme en calculant l'intégrale du II par un autre procédé qu’on justifiera soigneusement.
III. 5 On considère dans cette question l'application de classe de dans vérifiant :

III.5.1 La fonction est-elle -périodique?
III.5.2 La fonction est-elle bornée sur ?
III.5.3 La fonction est-elle intégrable sur ?

Fin de l'énoncé.