CCINP Mathématiques 1 PSI 2013
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Intégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)Suites et séries de fonctions
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
Abstract
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autorisées.
Notations :
On note :
-
l'ensemble des entiers naturels. -
l'ensemble des réels et l'intervalle .
Pour tout entier naturel
Objectifs :
L'objet de ce problème est d'expliciter la valeur d'une fonction (notée
Partie I
Etude d'une fonction et de sa limite
I. 1 Etude de la fonction
On note
I.1.1 Montrer que
I.1.2 Montrer que
I.1.2 Montrer que
I.1.3 Que peut-on dire de la parité de
I.1.4 Démontrer que
I.1.4 Démontrer que
I. 2 Développement en série de
I.2.1 Montrer que pour tout
I.2.2 Expliciter
I.2.2 Expliciter
I. 3 Calcul de
Pour tout entier
I.3.1 Montrer que pour tout réel
I.3.2 Soit
I.3.2 Soit
I.3.3 Démontrer que pour tout entier
I.3.4 En déduire que pour tout
En admettant que
Partie II
Etude de deux fonctions
II. 1 Etude de la fonction
II.1.1 Justifier l'existence, pour tout réel
On note
II.1.2 La forme différentielle
II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs
II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de
II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs
II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de
II. 2 Etude de la fonction
II.2.1 Montrer que l'on définit une fonction
II.2.2 Montrer que
II.2.3 Déterminer une constante
II.2.3 Déterminer une constante
II.2.4 Expliciter
Partie III
Calcul d'une intégrale
III. 1 Etude de la fonction
III.1.1 Vérifier que l'on définit une fonction
III.1.2 Calculer
III. 2 Soit
III. 2 Soit
Montrer que
III. 3 Désormais, a désigne un réel. Soit
III. 3 Désormais, a désigne un réel. Soit
Montrer que
III. 4 Soit
III.4.1 Justifier l'existence de
III.4.2 Montrer que
III. 5 Justifier l'intégrabilité sur
III. 6 Calculer
III. 4 Soit
III.4.1 Justifier l'existence de
III.4.2 Montrer que
III. 5 Justifier l'intégrabilité sur
III. 6 Calculer
Fin de l'énoncé
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