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CCINP Mathématiques 1 PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Calcul de l'intégrale de Gauss et d'intégrales à paramètre par formes différentielles et développements en série
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Le problème vise à expliciter la valeur d'une fonction ψ définie par une intégrale à paramètre. La partie I étudie la fonction f(x) = intégrale de 0 à x de e^(-t²)dt et calcule sa limite Δ en +∞, l'intégrale de Gauss, par un encadrement d'intégrales de Wallis. La partie II étudie deux fonctions auxiliaires, l'une via une forme différentielle et une intégrale curviligne, l'autre via une équation différentielle qu'elle vérifie. La partie III combine ces résultats pour calculer l'intégrale ψ.

  1. 1Partie I : Étude d'une fonction et de sa limiteÉtudier la fonction f, son développement en série entière, et calculer sa limite Δ (intégrale de Gauss) par encadrement d'intégrales de Wallis.
  2. 2Partie II : Étude de deux fonctionsÉtudier une fonction h via une forme différentielle et une intégrale curviligne, et une fonction φ via l'équation différentielle qu'elle vérifie.
  3. 3Partie III : Calcul d'une intégraleÉtudier la fonction ψ définie par une intégrale à paramètre et calculer sa valeur en combinant les résultats des parties précédentes.

Difficulté moyenne. Le rapport souligne un contraste marqué : de grandes difficultés sur des questions a priori simples de début d'épreuve (dérivation, parité), alors que les mêmes candidats se révèlent ensuite capables de traiter assez correctement des questions mettant en œuvre des théorèmes très évolués.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Imparité et dérivée affirmées sans preuve · Récurrence sur le degré du polynôme esquivée · Existence d'une intégrale généralisée mal justifiée
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L'épreuve couvrait une large partie du programme d'analyse (séries entières, formes différentielles, intégrales à paramètre, intégrales doubles). Le jury note une grande difficulté, pour nombre de candidats, à traiter des questions a priori simples en début d'épreuve, alors qu'ils se révèlent ensuite capables de traiter assez correctement des questions mettant en œuvre des théorèmes très évolués. Les correcteurs ont apprécié les copies bien présentées où les résultats apparaissent clairement à la fin d'une démonstration bien construite et complète.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Imparité et dérivée affirmées sans preuveI.1

    L'imparité de la fonction f doit être démontrée et non affirmée, et la dérivée n-ième de exp(-x²) devient trop souvent, à tort, (-2x)^n exp(-x²).

  2. 2
    Récurrence sur le degré du polynôme esquivéeI.1

    Trop de candidats se contentent de qualifier l'existence du polynôme d'immédiate, ou de vérifier l'hypothèse sur quelques rangs seulement en concluant par « ainsi de suite ».

  3. 3
    Existence d'une intégrale généralisée mal justifiéeI.1

    Le caractère localement intégrable est presque toujours omis, et trop de candidats croient à tort qu'une fonction qui tend vers 0 à l'infini est intégrable sur R+.

  4. 4
    Convergence normale affirmée à tortI.2

    Pour justifier l'intégrabilité terme à terme de la série, trop de candidats affirment à tort la convergence normale de la série sur tout R.

  5. 5
    Valeurs absolues oubliées pour l'intégrabilitéII.1

    Une inégalité sans valeur absolue ne suffit pas à justifier l'intégrabilité d'une fonction ; ce point, pourtant essentiel, est souvent négligé.

  6. 6
    Équation différentielle de II.4 délaisséeII.3, II.4

    L'équation différentielle à résoudre en II.4 est trop souvent ignorée, alors que c'était un exercice facile, même en conservant le paramètre non calculé en II.3.

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.3 est plutôt réussie.
  • En fin de II.1, certains candidats réussissent et concluent correctement, creusant un écart significatif avec les autres.
  • En II.2, beaucoup de candidats voient la nécessité de se placer sur un compact pour la dérivabilité, ce que les correcteurs saluent.
  • La partie III est abordée très largement et souvent avec un certain succès, la question III.1 étant traitée par une majorité de candidats.

Conseils du jury

  • Démontrer plutôt qu'affirmer, en particulier pour l'imparité d'une fonction ou l'existence d'un polynôme par récurrence rigoureuse.
  • Toujours vérifier que les hypothèses d'un théorème sont applicables, sans se contenter de les énoncer.
  • Ne pas oublier les valeurs absolues nécessaires pour justifier une intégrabilité par comparaison.
  • Présenter des démonstrations complètes et bien construites, avec des résultats qui apparaissent clairement à la fin.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :

On note :
  • ℕ l'ensemble des entiers naturels.
  • ℝ l'ensemble des réels et ℝ^+l'intervalle [0, + ∞[.
Pour tout entier naturel n on note n! la factorielle de n avec la convention 0! = 1.

Objectifs :

L'objet de ce problème est d'expliciter la valeur d'une fonction (notée ψ ) définie par une intégrale. Dans la partie I, on étudie une fonction f et l'on propose un procédé de calcul de la limite de f en + ∞. La partie II est consacrée à l'étude de deux fonctions (notées h et φ ) qui seront utilisées dans la partie III.

Partie I

Etude d'une fonction et de sa limite

I. 1 Etude de la fonction f

On note f la fonction définie sur ℝ par:
f(x) = ∫_0^x exp(− t^2)dt = ∫_0^x e^(− t^2)dt
I.1.1 Montrer que f est une fonction impaire dérivable sur ℝ.
I.1.2 Montrer que f est indéfiniment dérivable sur ℝ. Pour tout entier n ∈ ℕ^∗, on note f^((n)) la dérivée n-ième de f. Montrer qu'il existe une fonction polynôme p_n, dont on précisera le degré, telle que pour tout x ∈ ℝ :
f^((n))(x) = p_n(x)exp(− x^2).
I.1.3 Que peut-on dire de la parité de p_n ?
I.1.4 Démontrer que f admet une limite finie en + ∞ (on ne demande pas de calculer cette limite). Dans toute la suite du problème, on note Δ cette limite.

I. 2 Développement en série de f

I.2.1 Montrer que pour tout x ∈ ℝ, on a f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(x^(2n + 1))/(n!(2n + 1)).
I.2.2 Expliciter p_n(0).

I. 3 Calcul de Δ

Pour tout entier n, on note :
W_n = ∫_0^(π/2)cos^n xdx
I.3.1 Montrer que pour tout réel u, on a e^u ≥ 1 + u.
I.3.2 Soit n un entier naturel non nul. Montrer que :
{(1 − u)^n ≤ e^(− nu), si, u ≤ 1; e^(− nu) ≤ 1/((1 + u)^n), si, u > − 1
I.3.3 Démontrer que pour tout entier n non nul, on a :
∫_0^1(1 − x^2)^n dx ≤ ∫_0^(+ ∞)e^(− nx^2)dx ≤ ∫_0^(+ ∞)(dx)/((1 + x^2)^n)
I.3.4 En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
W_(2n + 1) ≤ Δ/(√n) ≤ W_(2n − 2)
En admettant que W_n ∼ _(+ ∞)√(π/(2n)), calculer Δ.

Partie II
Etude de deux fonctions

II. 1 Etude de la fonction h

II.1.1 Justifier l'existence, pour tout réel b, de l'intégrale :
h(b) = ∫_0^(+ ∞)cos(2bt)exp(− t^2)dt
On note ω la forme différentielle définie sur ℝ^2 par :
ω(x, y) = e^(− (x^2 − y^2))(cos(2xy)dx + sin(2xy)dy)
II.1.2 La forme différentielle ω est-elle exacte sur ℝ^2 ?
II.1.3 Etant donnés deux réels strictement positifs a et b, on note P le pavé de ℝ^2 défini par: 0 ≤ x ≤ a et 0 ≤ y ≤ b. On note γ le bord de P orienté dans le sens trigonométrique. Quelle est la valeur de l'intégrale curviligne ∫_γ ω ?
II.1.4 En évaluant l'intégrale curviligne de ω le long des segments qui forment γ, déterminer h(b) en fonction de b et Δ.

II. 2 Etude de la fonction φ

II.2.1 Montrer que l'on définit une fonction φ paire et continue sur ℝ en posant :
φ(x) = ∫_0^(+ ∞)exp(− t^2 − (x^2)/(t^2))dt
II.2.2 Montrer que φ est de classe C^1 sur ]0, + ∞[.
II.2.3 Déterminer une constante α telle que pour tout x ∈ ]0, + ∞[ on ait :
φ^′(x) = αφ(x).
II.2.4 Expliciter φ(x) pour x ∈ ]0, + ∞[, puis pour x ∈ ℝ.

Partie III
Calcul d'une intégrale

III. 1 Etude de la fonction ψ

III.1.1 Vérifier que l'on définit une fonction ψ, continue sur ℝ, paire en posant :
ψ(x) = ∫_0^(+ ∞)(cos(2xt))/(1 + t^2)dt
III.1.2 Calculer ψ(0).
III. 2 Soit p ∈ ℕ^∗ et j_p la fonction définie sur ℝ par :
j_p(x) = ∫_0^p yexp(− (1 + x^2)y^2)dy
Montrer que (j_p)_(p ∈ ℕ) est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur ℝ. Expliciter sa limite.
III. 3 Désormais, a désigne un réel. Soit n ∈ ℕ^∗ et k_n fonction définie sur ℝ^+par :
k_n(y) = ∫_0^n yexp(− y^2 x^2)cos(2ax)dx
Montrer que (k_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur ℝ^+. Expliciter sa limite.
III. 4 Soit u_(n, p) = ∫_0^n j_p(x)cos(2ax)dx avec n ∈ ℕ^∗ et p ∈ ℕ^∗.
III.4.1 Justifier l'existence de lim_(p → + ∞)u_(n, p) et l'expliciter sous forme d'une intégrale.
III.4.2 Montrer que u_(n, p) = ∫_0^p k_n(y)exp(− y^2)dy.
III. 5 Justifier l'intégrabilité sur [0, + ∞[ de la fonction y ↦ k_n(y)exp(− y^2).
III. 6 Calculer ψ(x).
Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths 1 PSI 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths 1 PSI 2013 ?

Il porte sur les intégrales à paramètre, les séries entières, les formes différentielles et intégrales curvilignes, ainsi que les équations différentielles linéaires.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet CCINP maths 1 PSI 2013 ?

Des affirmations non démontrées sur l'imparité ou la dérivée d'une fonction, une justification insuffisante de l'existence d'intégrales généralisées, et des valeurs absolues oubliées pour justifier une intégrabilité.

Ce sujet CCINP maths 1 PSI 2013 sur l'intégrale de Gauss est-il difficile ?

Le rapport relève un contraste : les questions simples de début de sujet posent souvent plus de difficultés que les questions faisant appel à des théorèmes plus avancés, abordés avec un certain succès en partie III.

Ce sujet permet-il de calculer l'intégrale de Gauss ?

Oui, la partie I calcule la limite en +∞ de la fonction f(x) = intégrale de 0 à x de e^(-t²)dt, qui correspond à l'intégrale de Gauss, par encadrement d'intégrales de Wallis.

Pas de description pour le moment