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CCINP Mathématiques 1 TSI 2013

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesSéries entières (et Fourier)
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2013
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Mathématiques
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Cette épreuve comporte deux exercices et un problème indépendants. Ils peuvent être traités dans un ordre quelconque.

EXERCICE 1

Soit la fonction définie sur l'intervalle .
  1. a) Déterminer la limite de en .
    b) Justifier que est dérivable sur l'intervalle , calculer et déterminer le signe de sur l'intervalle . En déduire le tableau de variation de .
  2. a) Montrer que s'annule exactement deux fois sur l'intervalle : une première fois sur l'intervalle et une deuxième fois sur l'intervalle .
On notera et les deux solutions de l'équation sur avec .
b) Simplifier l'expression (on l'exprimera à l'aide de ).
c) À l'aide de la calculatrice, montrer que appartient à et que appartient à ] 2, [.
d) Préciser le signe de sur l'intervalle .
3. Tracer l'allure de la courbe représentative de sur .
4. On cherche à obtenir une approximation de . À cet effet, on définit la suite par
a) Calculer puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel appartient à l'intervalle .
b) Vérifier que, pour tout entier naturel .
Que peut-on en déduire sur la monotonie de la suite ?
c) Montrer que la suite converge vers .
d) Écrire dans le langage de votre choix (Maple, Mathematica ou autre) un programme de quelques lignes permettant d'obtenir pour un entier donné la valeur de .

EXERCICE 2

On considère dans cet exercice l'équation différentielle ( ) suivante :
  1. Soit la fonction définie sur par :
Calculer et puis vérifier que la fonction est une solution de l'équation différentielle sur l'intervalle et sur l'intervalle .
2. On cherche désormais des solutions de ( ) qui soient développables en série entière. Pour cela, on considère une série entière, de rayon de convergence supposé strictement positif. Pour , on écrit :
et on suppose que la fonction est solution de sur .
a) Exprimer, pour et à l'aide une série.
b) Démontrer que et que pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on a:
c) Calculer . Plus généralement, que vaut si est un entier pair?
d) Si est impair, on écrit où désigne un entier naturel.
Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , exprimer en fonction de .
Montrer que pour tout entier naturel :
  1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
  2. Donner, sans démonstration, les développements en série entière des fonctions et , ainsi que leurs rayons de convergence.
  3. On note, pour tout réel, .
Que vaut ?
Exprimer pour tout réel non nul, en fonction de et de .
6. Préciser la dimension de l'espace vectoriel des solutions sur de l'équation différentielle , puis exprimer les solutions de sur l'intervalle à l'aide des fonctions et .
7. Quelles sont les solutions de l'équation différentielle sur l'intervalle ?

PROBLÈME

On rappelle que, pour tout réel, la notation désigne .

Partie A

  1. Rappeler, sans démonstration, la nature (convergente ou divergente) de chacune des trois séries suivantes :
  1. Soit un réel. Justifier que la série
est une série convergente.

Partie B

Dans cette partie, désigne un réel fixé appartenant à l'intervalle .
On note la fonction -périodique définie sur à valeurs réelles, telle que :
  1. On suppose, dans cette question 1 seulement, que .
Représenter alors la fonction sur l'intervalle .
2. Donner la valeur des coefficients de Fourier pour tout (on justifiera brièvement la réponse).
Calculer les coefficients de Fourier et pour tout .
3. Énoncer le théorème de Parseval (avec ses hypothèses) et justifier que :
  1. Déterminer la valeur de la somme

Partie C

Dans cette partie, désigne encore un réel appartenant à l'intervalle .
On note la fonction définie sur par :
  1. Déterminer la limite de en . En déduire la nature de l'intégrale impropre .
  2. Donner sans démonstration la nature de l'intégrale impropre .
En déduire la nature de l'intégrale impropre puis la nature de .
3. Calculer la dérivée de sur .
4. Montrer, pour tout , les deux inégalités suivantes :
et
Pour montrer la deuxième inégalité, on rappelle que pour tout réel .
5. En séparant les cas et , en déduire que :
  1. Justifier que, pour tout entier strictement positif
puis que :
  1. À l'aide de la question 5. de la partie et de l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction , démontrer que pour tout entier strictement positif et tout réel dans l'intervalle , on a :
  1. Montrer ensuite que pour tout entier strictement positif, on a :
  1. En déduire avec soin que :
puis déterminer la valeur de

Fin de l'énoncé

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