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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE TSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Abstract

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Cette épreuve comporte deux exercices et un problème indépendants. Ils peuvent être traités dans un ordre quelconque.

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0, + ∞[parf(x) = (x^3)/(12) − x + 1.
  1. a) Déterminer la limite de f en + ∞.
    b) Justifier que f est dérivable sur l'intervalle [0, + ∞[, calculer f^′(x) et déterminer le signe de f^′(x) sur l'intervalle [0, + ∞[. En déduire le tableau de variation de f.
  2. a) Montrer que f s'annule exactement deux fois sur l'intervalle [0, + ∞[ : une première fois sur l'intervalle [0, 2] et une deuxième fois sur l'intervalle ]2, + ∞[.
On notera β et γ les deux solutions de l'équation f(x) = 0 sur [0, + ∞[ avec β < γ.
b) Simplifier l'expression 1 + (β^3)/(12) (on l'exprimera à l'aide de β ).
c) À l'aide de la calculatrice, montrer que β appartient à ]1; 1, 2[ et que γ appartient à ] 2, 7; 2, 8 [.
d) Préciser le signe de f sur l'intervalle [0, + ∞[.
3. Tracer l'allure de la courbe représentative de f sur [0, + ∞[.
4. On cherche à obtenir une approximation de β. À cet effet, on définit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) par
{u_0 = 1; ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = 1 + (u_n^3)/(12).
a) Calculer u_1 puis démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n appartient à l'intervalle [0, β].
b) Vérifier que, pour tout entier naturel n, u_(n + 1) − u_n = f(u_n).
Que peut-on en déduire sur la monotonie de la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) ?
c) Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers β.
d) Écrire dans le langage de votre choix (Maple, Mathematica ou autre) un programme de quelques lignes permettant d'obtenir pour un entier N donné la valeur de u_N.

EXERCICE 2

On considère dans cet exercice l'équation différentielle ( E ) suivante :
x^2 y^(′′) − x(2x^2 − 1)y^′ − (2x^2 + 1)y = 0.
  1. Soit f la fonction définie sur ℝ^∗ par :
∀x ∈ ℝ^∗, f(x) = 1/x
Calculer f^′ et f^(′′) puis vérifier que la fonction f est une solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle ]0, + ∞[ et sur l'intervalle ] − ∞, 0[.
2. On cherche désormais des solutions de ( E ) qui soient développables en série entière. Pour cela, on considère ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n une série entière, de rayon de convergence R supposé strictement positif. Pour x ∈ ] − R, R[, on écrit :
y(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n
et on suppose que la fonction y est solution de (E) sur ] − R, R[.
a) Exprimer, pour x ∈ ] − R, R[, y^′(x) et y^(′′)(x) à l'aide une série.
b) Démontrer que a_0 = 0 et que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , on a:
a_n = 2/(n + 1)a_(n − 2).
c) Calculer a_2. Plus généralement, que vaut a_n si n est un entier pair?
d) Si n est impair, on écrit n = 2p + 1 où p désigne un entier naturel.
Pour tout entier p supérieur ou égal à 1 , exprimer a_(2p + 1) en fonction de a_(2p − 1).
Montrer que pour tout entier naturel p :
a_(2p + 1) = (a_1)/((p + 1)!)
  1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(p ⩾ 0)(x^(2p + 1))/((p + 1)!).
  2. Donner, sans démonstration, les développements en série entière des fonctions x ↦ exp(x) et x ↦ exp(x^2), ainsi que leurs rayons de convergence.
  3. On note, pour tout x réel, g(x) = ∑_(p = 0)^(+ ∞)(x^(2p + 1))/((p + 1)!).
Que vaut g(0) ?
Exprimer pour tout réel x non nul, g(x) en fonction de exp(x^2) et de x.
6. Préciser la dimension de l'espace vectoriel des solutions sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle (E), puis exprimer les solutions de (E) sur l'intervalle ]0, + ∞[ à l'aide des fonctions f et g.
7. Quelles sont les solutions de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle ℝ ?

PROBLÈME

On rappelle que, pour tout x réel, la notation sin^2(x) désigne (sin(x))^2.

Partie A

  1. Rappeler, sans démonstration, la nature (convergente ou divergente) de chacune des trois séries suivantes :
∑_(n ⩾ 1)1/n; ∑_(n ⩾ 1)1/(n√n); ∑_(n ⩾ 1)1/(n^2).
  1. Soit α un réel. Justifier que la série
∑_(n ⩾ 1)(sin^2(nα))/(n^2)
est une série convergente.

Partie B

Dans cette partie, α désigne un réel fixé appartenant à l'intervalle ]0, π[.
On note f la fonction 2π-périodique définie sur ℝ à valeurs réelles, telle que :
{f(t) = 1, pour t ∈ [ − α, α],; f(t) = 0, pour t ∈ ]α, π] et pour t ∈ ] − π, − α[.
  1. On suppose, dans cette question 1 seulement, que α = π/4.
Représenter alors la fonction f sur l'intervalle [ − 2π, 2π].
2. Donner la valeur des coefficients de Fourier b_n(f) pour tout n ∈ ℕ^∗ (on justifiera brièvement la réponse).
Calculer les coefficients de Fourier a_0(f) et a_n(f) pour tout n ∈ ℕ^∗.
3. Énoncer le théorème de Parseval (avec ses hypothèses) et justifier que :
∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin^2(nα))/(n^2) = (α(π − α))/2.
  1. Déterminer la valeur de la somme
∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin^2(n))/(n^2).

Partie C

Dans cette partie, α désigne encore un réel appartenant à l'intervalle ]0, π[.
On note h la fonction définie sur ]0, + ∞[ par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, h(x) = (sin^2(x))/(x^2)
  1. Déterminer la limite de h en 0^+. En déduire la nature de l'intégrale impropre ∫_0^1(sin^2(x))/(x^2) dx.
  2. Donner sans démonstration la nature de l'intégrale impropre ∫_1^(+ ∞)(dx)/(x^2).
En déduire la nature de l'intégrale impropre ∫_1^(+ ∞)(sin^2(x))/(x^2) dx puis la nature de ∫_0^(+ ∞)(sin^2(x))/(x^2) dx.
3. Calculer la dérivée de h sur ]0, + ∞[.
4. Montrer, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, les deux inégalités suivantes :
|x√xh^′(x)| ⩽ 2/(√x) + 2/(x√x)
et
|x√xh^′(x)| ⩽ 4√x.
Pour montrer la deuxième inégalité, on rappelle que pour tout réel x > 0, |sin(x)| ⩽ x.
5. En séparant les cas x ⩾ 1 et 0 < x < 1, en déduire que :
∀x ∈ ]0, + ∞[, |h^′(x)| ⩽ 4/(x√x)
  1. Justifier que, pour tout entier N strictement positif
∫_α^((N + 1)α)(sin^2(x))/(x^2) dx = ∑_(n = 1)^N∫_0^α(sin^2(nα + t))/((nα + t)^2) dt
puis que :
∫_α^((N + 1)α)(sin^2(x))/(x^2) dx − ∑_(n = 1)^N(sin^2(nα))/(n^2 α) = ∑_(n = 1)^N∫_0^α((sin^2(nα + t))/((nα + t)^2) − (sin^2(nα))/((nα)^2))dt.
  1. À l'aide de la question 5. de la partie C et de l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction h, démontrer que pour tout n entier strictement positif et tout réel t dans l'intervalle [0, α], on a :
|(sin^2(nα + t))/((nα + t)^2) − (sin^2(nα))/((nα)^2)| ⩽ (4t)/((nα)^(3/2)).
  1. Montrer ensuite que pour tout entier N strictement positif, on a :
∑_(n = 1)^N∫_0^α|(sin^2(nα + t))/((nα + t)^2) − (sin^2(nα))/((nα)^2)|dt ⩽ 2√α∑_(n = 1)^N 1/(n√n)
  1. En déduire avec soin que :
|∫_α^(+ ∞)(sin^2(x))/(x^2) dx − (π − α)/2| ⩽ 2√α∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n√n),
puis déterminer la valeur de
∫_0^(+ ∞)(sin^2(x))/(x^2) dx

Fin de l'énoncé

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