CCINP Mathématiques 2 PC 2006

N.B.: Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

La partie III est indépendante des deux premières.

Soit la suite de fonctions polynomiales définies sur par :

I.1. Soient et . Donner une expression de à l'aide de factorielles.

Soit un nombre réel qui n'est pas un nombre entier strictement négatif.
On définit la fonction de la variable réelle par :

I.2. Montrer que est définie sur tout entier.
I.3. On considère l'équation différentielle linéaire homogène en la fonction inconnue de la variable réelle :

I.3.1. Montrer que est solution de ( ) sur .
I.3.2. Réciproquement, soit une solution de ( ), paire, et développable en série entière de la variable au voisinage de . Exprimer en fonction de et .

On suppose à présent, et jusqu'à la fin de la partie I de ce problème, que .
I.4. Soit la fonction définie sur par :

I.4.1. Montrer que est solution de ( ) sur .
I.4.2. En comparant les limites à droite en 0 de et , montrer que ces fonctions sont linéairement indépendantes dans .

En déduire la solution générale de ( ) sur .
I.4.3. Soit une fonction de classe sur à valeurs réelles.

Montrer que est solution de sur [ si et seulement si la fonction est solution de ( ) sur .

En déduire la solution générale de sur .
I.5. Soit la fonction définie sur .
I.5.1. Montrer que est solution sur de l'équation différentielle :

Que peut-on dire de ?
I.5.2. En déduire la solution générale de ( ) sur puis sur .

Dans cette partie, désigne un nombre réel strictement supérieur à .
On définit la fonction de la variable réelle par :

II.1. Montrer que est définie et de classe sur .
II.2.
II.2.1. Montrer que pour tout on a .
II.2.2. A l'aide d'une intégration par parties, en déduire que est solution de ( ) sur .
II.3. Montrer que est développable en série entière de sur , et que l'on a :

où .
II.4. Exprimer en fonction de et .
II.5. En déduire pour tout une expression de en fonction de et .

Soit une fonction de deux variables réelles et de classe sur . On lui associe la fonction de classe sur définie par :

pour tout .
On note le laplacien de , défini par .
III.1. Montrer que pour tout on a :

On se propose de déterminer les fonctions non identiquement nulles telles que soit de la forme et que , où est un nombre réel positif ou nul, et et des fonctions de classe sur et respectivement.
III.2. Soient et vérifiant les conditions ci-dessus.
III.2.1. Montrer que est -périodique.
III.2.2. Montrer qu'il existe un nombre réel tel que l'on ait simultanément :

III.2.3. Déduire de la question III.2.1. que le nombre réel est nécessairement de la forme , avec .
III.2.4. En déduire la forme générale de .

On distinguera le cas où et le cas où .
III.3. On suppose dans cette question que .
III.3.1 Déterminer la forme générale de dans le cas où .
III.3.2. Déterminer la forme générale de dans le cas où .

On pourra commencer par chercher les fonctions qui sont de la forme .
III.4. On suppose dans cette question que .

Soit la fonction définie sur .
Montrer que est solution sur de l'équation différentielle :