CCINP Mathématiques 2 PC 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B.: Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

La partie III est indépendante des deux premières.

Soit (P_n)_(n ∈ ℕ) la suite de fonctions polynomiales définies sur ℝ par :

I.1. Soient m ∈ ℕ et n ∈ ℕ. Donner une expression de P_n(m) à l'aide de factorielles.

Soit α un nombre réel qui n'est pas un nombre entier strictement négatif.
On définit la fonction f_α de la variable réelle x par :

I.2. Montrer que f_α est définie sur ℝ tout entier.
I.3. On considère l'équation différentielle linéaire homogène en la fonction inconnue y de la variable réelle x :

I.3.1. Montrer que f_α est solution de ( E_α ) sur ℝ.
I.3.2. Réciproquement, soit y une solution de ( E_α ), paire, et développable en série entière de la variable x au voisinage de x = 0. Exprimer y en fonction de f_α et y(0).

On suppose à présent, et jusqu'à la fin de la partie I de ce problème, que α ∉ ℤ.
I.4. Soit g_α la fonction définie sur ]0, + ∞[ par :

I.4.1. Montrer que g_α est solution de ( E_α ) sur ]0, + ∞[.
I.4.2. En comparant les limites à droite en 0 de f_α et g_α, montrer que ces fonctions sont linéairement indépendantes dans C^2(]0, + ∞[, ℝ).

En déduire la solution générale de ( E_α ) sur ]0, + ∞[.
I.4.3. Soit y une fonction de classe C^2 sur ] − ∞, 0[ à valeurs réelles.

Montrer que y est solution de (E_α) sur ] − ∞, 0 [ si et seulement si la fonction x ↦ y(− x) est solution de ( E_α ) sur ]0, + ∞[.

En déduire la solution générale de (E_α) sur ] − ∞, 0[.
I.5. Soit j_α la fonction définie sur ]0, + ∞[parj_α(x) = x^α f_α(x).
I.5.1. Montrer que j_α est solution sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle :

Que peut-on dire de j_(− α) ?
I.5.2. En déduire la solution générale de ( B_α ) sur ]0, + ∞[ puis sur ] − ∞, 0[.

Dans cette partie, α désigne un nombre réel strictement supérieur à − 1/2.
On définit la fonction h_α de la variable réelle x par :

II.1. Montrer que h_α est définie et de classe C^2 sur ℝ.
II.2.
II.2.1. Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a xh_α^(′′)(x) + xh_α(x) = ∫_0^1(1 − t^2)^(α + 1/2)xcosxtdt.
II.2.2. A l'aide d'une intégration par parties, en déduire que h_α est solution de ( E_α ) sur ℝ.
II.3. Montrer que h_α est développable en série entière de x sur ℝ, et que l'on a :

où I_n(α) = ∫_0^1(1 − t^2)^(α − 1/2)t^(2n)dt.
II.4. Exprimer h_α en fonction de h_α(0) et f_α.
II.5. En déduire pour tout n ∈ ℕ une expression de I_n(α) en fonction de n, P_n(α) et I_0(α).

Soit F : ℝ^2 − {(0, 0)} → ℝ une fonction de deux variables réelles x et y de classe C^2 sur ℝ^2 − {(0, 0)}. On lui associe la fonction F~ de classe C^2 sur ]0, + ∞[ × ℝ définie par :

pour tout (r, θ) ∈ ]0, + ∞[ × ℝ.
On note ΔF le laplacien de F, défini par ΔF = (∂^2 F)/(∂x^2) + (∂^2 F)/(∂y^2).
III.1. Montrer que pour tout (r, θ) ∈ ]0, + ∞[ × ℝ on a :

On se propose de déterminer les fonctions F non identiquement nulles telles que F~ soit de la forme F~(r, θ) = f(r)g(θ) et que ΔF + ω^2 F = 0, où ω est un nombre réel positif ou nul, et f et g des fonctions de classe C^2 sur ]0, + ∞[ et ℝ respectivement.
III.2. Soient F, F~, f et g vérifiant les conditions ci-dessus.
III.2.1. Montrer que g est 2π-périodique.
III.2.2. Montrer qu'il existe un nombre réel λ tel que l'on ait simultanément :

III.2.3. Déduire de la question III.2.1. que le nombre réel λ est nécessairement de la forme λ = p^2, avec p ∈ ℕ.
III.2.4. En déduire la forme générale de g.

On distinguera le cas où p = 0 et le cas où p ≠ 0.
III.3. On suppose dans cette question que ω = 0.
III.3.1 Déterminer la forme générale de f dans le cas où p = 0.
III.3.2. Déterminer la forme générale de f dans le cas où p ≠ 0.

On pourra commencer par chercher les fonctions f qui sont de la forme f(r) = r^α.
III.4. On suppose dans cette question que ω ≠ 0.

Soit f_1 la fonction définie sur ]0, + ∞[parf_1(r) = f(r/ω).
Montrer que f_1 est solution sur ]0, + ∞[ de l'équation différentielle :