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CCINP Mathématiques 2 PC 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Suites et séries de fonctions en liaison avec des intégrales à paramètre
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Le sujet étudie des suites et séries de fonctions définies par des intégrales, en s'appuyant sur deux calculs préliminaires d'intégrales. Les parties II et III, indépendantes, portent respectivement sur des suites d'intégrales et sur des séries de fonctions, mobilisant les théorèmes de continuité, de dérivation sous le signe intégral et de convergence dominée.

  1. 1Partie I : calculs préliminairesJustifier l'existence et calculer deux intégrales particulières qui interviennent dans les parties suivantes.
  2. 2Partie II : étude de quelques suites d'intégralesÉtudier la convergence de suites d'intégrales à l'aide du théorème de convergence dominée.
  3. 3Partie III : étude de séries de fonctionsÉtudier la convergence normale d'une série de fonctions et dériver une somme de série sous le signe somme.

Difficile. Le rapport indique que le sujet comportait de nombreuses questions accessibles, mais que la deuxième partie sur la convergence dominée a posé beaucoup de problèmes aux candidats, avec une progression inquiétante des erreurs sur les notions de base.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Arguments erronés sur l'intégrabilité · Hypothèses de domination mal vérifiées · Énoncé de théorème mal restitué
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Les candidats connaissent en général les théorèmes mais mélangent parfois les notions ou les formulent de façon approximative. Le jury note une progression inquiétante du nombre de candidats commettant de graves erreurs sur les limites usuelles et l'intégrabilité des fonctions de référence.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Arguments erronés sur l'intégrabilité

    Le jury voit proliférer des arguments faux comme « un produit de fonctions intégrables est intégrable » ou « une fonction intégrable est bornée ».

    « un produit de fonctions intégrables est intégrable, ou une fonction intégrable est bornée »
  2. 2
    Hypothèses de domination mal vérifiéesI-2.2

    Les candidats oublient souvent de vérifier la domination sur la dérivée partielle première, alors que seule la dérivée partielle seconde est dominée dans ces cas.

  3. 3
    Énoncé de théorème mal restituéII-1.1

    L'énoncé d'un théorème essentiel du programme d'analyse n'est fait correctement que dans moins de la moitié des copies.

  4. 4
    Convergence normale des séries de fonctions mal compriseIII-2.1

    La convergence normale des séries de fonctions est inconnue ou non comprise par de nombreux candidats.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions de cours sur la convergence ou la continuité d'intégrales à paramètre ont rapporté le plus de points.
  • La question I-2.1 a été plutôt bien traitée.
  • La quasi-totalité des copies est bien présentée.

Conseils du jury

  • Bien lire l'énoncé et terminer chaque réponse par un résultat explicite, souligné ou encadré.
  • Rédiger les réponses en explicitant les théorèmes utilisés plutôt que d'aligner des calculs.
  • Vérifier systématiquement toutes les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer.
  • Revoir avec précision les limites usuelles et l'intégrabilité des fonctions de référence de Riemann.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

On s'intéresse ici à des suites et séries de fonctions en liaison avec des intégrales.
Dans la partie I, on calcule indépendamment deux intégrales particulières (les questions 1 et 2 pour l'une, la question 3 pour l'autre) qui interviennent dans les parties II et III. Les parties II et III sont indépendantes.

Partie I : calculs préliminaires

I-1.
I - 1.1.
Justifier l'existence de l'intégrale K = ∫_0^(+ ∞)(1 − cos(t))/(t^2) dt.

I-1.2.

Pour tout A > 0, justifier l'existence de l'intégrale D(A) = ∫_0^A(sin(t))/t dt.

I-1.3.

Grâce à une intégration par parties, prouver que D(A) a une limite (réelle) quand A tend vers + ∞, égale à K. C'est-à-dire que : K = ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/t dt = lim_(A → + ∞)D(A).

I - 2 .

I - 2.1.

Justifier que l'application L : x ↦ ∫_0^(+ ∞)(1 − cos(t))/(t^2)e^(− tx) dt est définie et continue sur ℝ_+.

I-2.2.

Montrer que, pour tout réel a > 0, l'application L est de classe C^2 sur l'intervalle [a, + ∞[.
Etablir ensuite que l'application L est de classe C^2 sur l'intervalle ]0, + ∞[.

I-2.3.

Justifier que les fonctions t ↦ (1 − cos(t))/(t^2) et t ↦ (1 − cos(t))/t sont bornées sur ]0, + ∞[.
Etablir alors que les fonctions x ↦ |xL^′(x)| et x ↦ |xL(x)| sont majorées sur ℝ_+^∗.
En déduire que : lim_(x → + ∞)L^′(x) = lim_(x → + ∞)L(x) = 0.

I-2.4.

Pour tout réel x > 0, exprimer L^(′′)(x) sans utiliser d'intégrale.
On pourra remarquer que cos(t) = Re(e^(it)).

I - 2.5.

En déduire L^′(x) pour x > 0, puis L(x) pour x ⩾ 0. Conclure que K = π/2.

I - 3.

I - 3.1.

Justifier que la fonction u ↦ (ln(u))/(u − 1) est intégrable sur ]0, 1[.

I - 3.2.

Pour tout k ∈ ℕ, justifier l'existence et calculer ∫_0^1 u^k ln(u)du.

I - 3.3.

Grâce à un développement en série de 1/(1 − u) pour u ∈ ]0, 1[ et en précisant le théorème utilisé, justifier que: ∫_0^1(ln(u))/(u − 1) du = ∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((k + 1)^2).
Par ailleurs, on donne sans avoir à le justifier : ∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((k + 1)^2) = (π^2)/6.

Partie II : étude de quelques suites d'intégrales

II - 1.

Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée.

II - 2.

II - 2.1. On considère ici une application continue f : [0, + ∞[ → ℝ.
Pour tout n ∈ ℕ, on pose I_n = ∫_0^1 f(t^n)dt. Déterminer lim_(n → + ∞)I_n.
II - 2.2. On suppose ici de plus que u ↦ (f(u))/u est intégrable sur ]0, 1].
Déterminer lim_(n → + ∞)nI_n. On pourra transformer nI_n grâce à un changement de variable.

II-2.3. Application 1.

Déterminer un équivalent quand n → + ∞ de ∫_0^1 sin(t^n)dt (grâce à une intégrale).
II - 3. On considère maintenant que f : [0, + ∞[ → ℝ est une application continue et intégrable sur ℝ_+.

II - 3.1.

Soit n ∈ ℕ^∗.
Grâce à un changement de variable approprié, justifier l'existence de A_n = ∫_1^(+ ∞)f(t^n)dt.

II - 3.2.

Déterminer lim_(n → + ∞)nA_n (grâce à une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer).

II - 4.

II - 4.1. Pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2 et tout A > 1, on pose C_n(A) = ∫_1^A sin(t^n)dt.
Grâce à un changement de variable et une intégration par parties, exprimer C_n(A) en fonction de ∫_1^(A^n)(1 − cos(u))/(u^2)u^(1/n) du et de A.

II - 4.2.

En déduire que C_n(A) a une limite quand A → + ∞, prouvant l'existence de ∫_1^(+ ∞)sin(t^n)dt pour tout n ∈ ℕ, n ⩾ 2.

II - 4.3. Application 2.

Déterminer lim_(n → + ∞)n∫_0^(+ ∞)sin(t^n)dt grâce à K calculée en I-2.5 .

Partie III : étude de séries de fonctions

III - 1. Un premier exemple.

III - 1.1.

Pour tout x ∈ ] − 1, 1[, calculer F(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)x^n ainsi que F^′(x).

III - 1.2.

Déterminer lim_(x ≤ 1; x → 1)F(x), lim_(x < 1; x → 1)(1 − x)F(x), lim_(x < 1; x → 1)(1 − x)F^′(x) et lim_(x < 1; x → 1)(1 − x)^2 F^′(x).
III - 2. Un deuxième exemple.
Dans cette question, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on pose cette fois : F(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^n)/(1 − x^n).

III - 2.1.

Soit a ∈ ]0, 1[. Prouver la convergence normale de cette série de fonctions sur le segment [ − a, a]. En déduire que F est définie et continue sur ] − 1, 1[.

III-2.2.

Montrer que, pour tout x ∈ ]0, 1[ et tout n ∈ ℕ^∗, on a (1 − x^n)/(1 − x) ⩽ n.
En déduire lim_(x < 1; x → 1)F(x) et lim_(x < 1; x → 1)(1 − x)F(x).
III - 3. Dans cette question, f est une application réelle continue et croissante sur [0, 1[ avec f(0) = 0 et telle que u ↦ (f(u))/u soit intégrable sur ]0, 1[.
Soit x ∈ ]0, 1[.

III - 3.1.

Justifier l'existence de G(x) = ∫_0^(+ ∞)f(x^t)dt et l'égalité G(x) = − 1/(ln(x))∫_0^1(f(u))/u du.

III-3.2.

Pour tout n ∈ ℕ^∗, justifier l'encadrement :
∫_n^(n + 1)f(x^t)dt ⩽ f(x^n) ⩽ ∫_(n − 1)^n f(x^t)dt

III - 3.3.

En déduire l'existence de F(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)f(x^n), ainsi qu'un encadrement de F(x) par deux intégrales dépendant de x.

III - 3.4.

Conclure avec soin que : lim_(x < 1; x → 1)(1 − x)F(x) = ∫_0^1(f(u))/u du.
III - 4. Un dernier exemple.
Pour tout x ∈ ] − 1, 1[, on pose enfin cette fois : F(x) = − ∑_(n = 1)^(+ ∞)ln(1 − x^n).

III - 4.1.

Montrer que F est définie et de classe C^1 sur ] − 1, 1[ et exprimer sa dérivée sous la forme d'une série de fonctions.

III-4.2.

Grâce à III - 3.4., montrer que lim_(x < 1; x → 1)(1 − x)F(x) = ∫_0^1(ln(u))/(u − 1) du étudiée en I - 3 .

III - 4.3.

Par une méthode similaire à celle de III - 3., montrer que :
lim_(x < 1; x → 1)((1 − x)^2∑_(n = 1)^(+ ∞)(nx^n)/(1 − x^n)) = ∫_0^1(ln(u))/(u − 1) du
En déduire lim_(x < 1; x → 1)((1 − x)^2 F^′(x)).

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP PC 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP PC 2013 ?

Le sujet porte sur les intégrales à paramètre, le théorème de convergence dominée et les séries de fonctions, notamment la convergence normale.

Le sujet de maths 2 CCINP PC 2013 est-il difficile ?

Le rapport indique que la deuxième partie, sur la convergence dominée, a posé beaucoup de problèmes aux candidats, malgré de nombreuses questions accessibles ailleurs dans le sujet.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PC 2013 ?

Le jury relève des arguments faux sur l'intégrabilité, des hypothèses de domination mal vérifiées et une méconnaissance de la convergence normale des séries de fonctions.

Faut-il bien maîtriser le cours d'analyse pour ce sujet de maths 2 PC 2013 ?

Oui, les questions de cours ont rapporté le plus de points, mais le jury regrette un manque de rigueur dans la vérification des hypothèses des théorèmes cités.

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