CCINP Mathématiques 2 PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Étude des matrices de Hilbert

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Présentation du sujet

Difficile

Une norme sur les matrices symétriques et étude des matrices de Hilbert

Le sujet étudie d'abord la fonction quadratique associée à une matrice pour définir une norme sur l'espace des matrices symétriques, puis consacre l'essentiel du problème à l'étude des matrices de Hilbert. Il s'agit notamment d'étudier le déterminant, les valeurs propres et le comportement asymptotique de l'intervalle des valeurs propres de ces matrices quand la dimension tend vers l'infini.

1Partie I : une norme sur Sn(R)Étudier la fonction quadratique qA associée à une matrice, puis définir une norme sur l'espace des matrices symétriques.
2Partie II : premières propriétés des matrices de HilbertÉtudier les valeurs propres des matrices de Hilbert à l'aide d'intégrales de polynômes de Legendre.
3Partie III : comportement asymptotiqueÉtudier le comportement de la norme des matrices de Hilbert et de la comparaison série-intégrale liée à la série harmonique.
4Partie IV : applicationAppliquer les résultats précédents dans un cadre plus général de matrices.

Difficile. Le rapport indique que les candidats ayant traité tout le problème sont rares, la partie IV n'étant que très peu abordée dans sa globalité alors qu'elle contenait des points faciles à gagner.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Simplification abusive d'une égalité matricielle · Confusion entre sup et max · Résultat obtenu sans changement de borne d'intégration

L'épreuve permettait aux candidats de faire état de leurs connaissances en algèbre linéaire et euclidienne ainsi qu'en analyse. Dans une bonne partie des copies, les candidats ne font pas preuve d'une bonne maîtrise des objets manipulés (vecteurs, scalaires, matrices, normes), ce qui les mène à des preuves fausses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Simplification abusive d'une égalité matricielleI.3
De nombreux candidats simplifient une égalité du type txAx = 0 par x pour conclure A = 0, ce qui n'a pas de sens en algèbre matricielle.
2
Confusion entre sup et maxI.5.4
Beaucoup de candidats confondent sup qA(x) et sup |qA(x)|, ainsi que la notion de sup et de max.
3
Résultat obtenu sans changement de borne d'intégrationII.2.2
Certains candidats appliquent une question sur une intégrale entre -1 et 1 à une intégrale entre 0 et 1 sans en tenir compte.
4
Carré d'une somme confondu avec somme des carrésII.2.3
On lit un peu trop souvent que le carré d'une somme est inférieur à la somme des carrés.

Ce qui a été bien réussi

La partie IV, lorsqu'elle est abordée, est plutôt bien traitée par les meilleurs candidats.
La question III.1.1 a été bien réussie dans l'ensemble.
L'inégalité sur le déterminant, produit des valeurs propres, est bien traitée en général.

Conseils du jury

Prouver une équivalence en démontrant explicitement les deux implications, même si l'une paraît évidente.
Ne jamais diviser ou simplifier une expression matricielle comme s'il s'agissait de scalaires.
Préciser la positivité des fonctions considérées lors de l'utilisation des théorèmes de comparaison d'intégrales.
Rappeler qu'une majoration seule ne permet pas de justifier un équivalent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :

Pour ce problème, on désigne par :

$n$ un entier naturel non nul;
$M_n(ℝ)$ l'algèbre des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels.

Pour toute matrice

A \in M_n(ℝ)

, on note :

$^t A$ la matrice transposée de $A$ ;
$det(A)$ le déterminant de $A$ ;
sp $(A)$ l'ensemble des valeurs propres de $A$ .

On note

S_n(ℝ) = {A ∈ M_n(ℝ)|^t A = A}

le sous-espace vectoriel de

M_n(ℝ)

formé des matrices symétriques.

Un vecteur de $ℝ^n$ est noté :

x = (x_k)_(1 \leq k \leq n) = (x_1; x_2; ⋮; x_n)

Une matrice $A$ de $M_n(ℝ)$ est notée :

A = ((a_(j, k)))_(1 \leq j, k \leq n)

où

a_(j, k)

est le coefficient de

A

situé en ligne

j

et colonne

k

L'espace vectoriel $ℝ^n$ est muni du produit scalaire canonique défini par:

\forall(x, y) \in ℝ^n \times ℝ^n, ⟨x|y⟩ = ^t x \cdot y = \sum_(k = 1)^n x_k y_k

x \mapsto ‖x‖ = \sqrt(⟨x|x⟩)

est la norme euclidienne associée.

La sphère unité de $ℝ^n$ est :

Ω_n = {x ∈ ℝ^n|‖x‖ = 1}

A toute matrice

A \in M_n(ℝ)

, on associe la fonction

q_A : ℝ^n \to ℝ

définie par :

\forallx \in ℝ^n, q_A(x) = ⟨Ax|x⟩

Objectifs :

Dans la partie

I

, on étudie

q_A

pour

A \in M_n(ℝ)

, puis pour

A \in S_n(ℝ)

et l'on définit une norme sur

S_n(ℝ)

. La suite du problème est consacrée à une étude des matrices de Hilbert définies par :

ù H_n = ((a_(j, k)))_(1 \leq j, k \leq n), où a_(j, k) = 1/(j + k - 1).

On étudie en particulier quelques propriétés du déterminant, des valeurs propres et de l'intervalle

[minsp(H_n), maxsp(H_n)]

lorsque

n

tend vers

+ \infty

Partie I

Une norme sur $S_n(ℝ)$

I. 1 Soit

A \in M_n(ℝ)

.
I.1.1 Enoncer les propriétés de la sphère unité

Ω_n

ainsi que celles de la fonction

q_A

qui permettent d'affirmer que

q_A

est bornée sur

Ω_n

et qu'elle atteint ses bornes.
On note

m_A = min(q_A(Ω_n))

M_A = max(q_A(Ω_n))

.
I.1.2 Démontrer que

ℝ \cap sp(A) \subset [m_A, M_A]

.
I.1.3 Expliciter

sp(A), m_A

M_A

lorsque

A = (2, - 1; 0, 2)

On pourra remarquer que

Ω_2 = {(cos(θ), sin(θ))|θ ∈ ℝ}

.
I. 2 Soit

A \in M_n(ℝ)

. On suppose que

q_A(x) = 0

pour tout

x \in Ω_n

.
I.2.1 Montrer que

q_A(y) = 0

pour tout

y \in ℝ^n

.
I.2.2

Si(y, z) \in ℝ^n \times ℝ^n

, exprimer

q_A(y + z)

(qui est nul d'après I.2.1.) en fonction de

⟨Ay|z⟩

⟨Az|y⟩

.
I.2.3 Montrer que la matrice

A

est anti-symétrique (c'est-à-dire que

^t A = - A

) (entre autre méthode, on pourra par exemple considérer les vecteurs

y

z

dans la base canonique de

ℝ^n

).
I. 3 Soit

A \in S_n(ℝ)

. Montrer que :

(\forallx \in Ω_n, q_A(x) = 0) \Leftrightarrow (A = (0) (matrice nulle))

I. 4 Montrer que l'application

N : S_n(ℝ) \to ℝ^+

définie par :

\forallA \in S_n(ℝ), N(A) = sup_(x \in Ω_n)|q_A(x)|

est une norme.

I. 5 Bornes de $q_A$ sur $Ω_n$

On rappelle le théorème spectral : étant donnée une matrice

A \in S_n(ℝ)

, si on désigne par

u

l'endomorphisme de

ℝ^n

dont la matrice dans la base canonique de

ℝ^n

est

A

, alors

u

étant symétrique réel, il se diagonalise dans une base orthonormée, c'est-à-dire : il existe

n

nombres réels

λ_1 \leq λ_2 \leq \dots \leq λ_k \leq \dots \leq λ_n

et une base orthonormée

(e_k)_(1 \leq k \leq n)

ℝ^n

tels que :

u(e_k) = Ae_k = λ_k e_k pour tout k ∈ {1, 2, ⋯, n}

On considère

A \in S_n(ℝ)

et on conserve les notations de ce théorème dans les questions I.5.
I.5.1 Préciser

q_A(e_k)

pour tout

k \in {1, 2, \dots, n}

.
I.5.2 Soit

x = \sum_(k = 1)^n x_k^' e_k \in Ω_n

. Justifier les égalités

‖x‖^2 = \sum_(k = 1)^n(x_k^')^2 = 1

, puis exprimer

q_A(x)

en fonction des valeurs propres

λ_k

A

et des composantes

x_k^'

x

.
I.5.3 Retrouver le résultat obtenu en I.1.1 : la fonction

q_A

possède un minimum

m_A

et un maximum

M_A

sur la sphère unité

Ω_n

.
Expliciter

m_A

M_A

en fonction des valeurs propres de

A

.
I.5.4 Montrer que

N(A) = sup_(x \in Ω_n)|q_A(x)| = max_(λ \in sp(A))|λ|

. Etablir une inégalité entre

|det(A)|

(N(A))^n

I.5.5 Exemple :

A = (1, 1/2; 1/2, 1/3)

, calculer

det(A)

N(A)

.
Dans toute la suite du problème, pour tout entier

n \geq 2

, on désigne par

H_n

la matrice de Hilbert d'ordre

n

définie par :

H_n = ((1/(j + k - 1)))_(1 \leq j, k \leq n) = (1, 1/2, \dots, 1/n; 1/2, 1/3, \dots, 1/(n + 1); ⋮, ⋱, ⋮, ⋮; 1/n, 1/(n + 1), \dots, 1/(2n - 1))

ou encore

H_n = ((a_(j, k)))_(1 \leq j, k \leq n)

avec

a_(j, k) = 1/(j + k - 1)

.
Pour simplifier, on notera

q_n

la fonction

q_(H_n) : ℝ^n \mapsto ℝ

\forallx \in ℝ^n, q_n(x) = q_(H_n)(x) = ⟨H_n x|x⟩

Partie II

Sur les valeurs propres de $H_n$ .

II. 1 Une expression de

q_n(x)

Soit : x = (x_1; ⋮; x_n) \in ℝ^n.

II.1.1 Montrer que :

q_n(x) = ⟨H_n x|x⟩ = \sum_(j = 1)^n(\sum_(k = 1)^n(x_k)/(j + k - 1))x_j = \sum_(1 \leq j, k \leq n)(x_k x_j)/(j + k - 1).

II.1.2 Développer :

(\sum_(k = 1)^n x_k t^(k - 1))(\sum_(j = 1)^n x_j t^(j - 1))

où

t

est une variable réelle.
II.1.3 Montrer que :

q_n(x) = \int_0^1(\sum_(k = 1)^n x_k t^(k - 1))^2 dt

II.1.4 Montrer que :

\forallx \in ℝ^n, q_n(x) \geq 0

et que

q_n(x) = 0

équivaut à

x = 0

.
Que peut-on en déduire concernant les valeurs propres de

H_n

II. 2 Une majoration de $q_n(x)$

II.2.1 Soit

P(t) = \sum_(k = 0)^m a_k t^k

un polynôme à coefficients complexes. Montrer que :

\int_(- 1)^1 P(t)dt = - i\int_0^π P(e^(iθ))e^(iθ)dθ

(on pourra expliciter

\int_(- 1)^1 t^k dt

- i\int_0^π e^(ikθ)e^(iθ)dθ

).
II.2.2 En gardant les notations introduites en II. 1 et en notant :

Q(t) = \sum_(k = 1)^n x_k t^(k - 1)

montrer que, pour tout

x \in ℝ^n

, on a :

0 \leq q_n(x) = \int_0^1 Q^2(t)dt \leq \int_0^π|\sum_(k = 1)^n x_k e^(i(k - 1)θ)|^2 dθ

l'inégalité étant stricte pour

x \neq 0

(on pourra utiliser les résultats obtenus en II. 1 et II.2.1).
II.2.3 Montrer que :

\forallx \in ℝ^n, 0 \leq q_n(x) \leq π‖x‖^2

l'inégalité étant stricte pour

x \neq 0

II. 3 Application à $sp(H_n)$

Pour tout entier

n \geq 2

, on note :

μ_n = min(sp(H_n)) et ρ_n = max(sp(H_n))

II.3.1 Expliciter

μ_2

ρ_2

. Montrer que pour tout

n \geq 2

, on a :

0 < μ_n < ρ_n < π

II.3.2 Montrer que

q_n(Ω_n) = [μ_n, ρ_n]

On pourra considérer des vecteurs propres orthogonaux

e_1

e_n

tels que

H_n e_1 = μ_n e_1

H_n e_n = ρ_n e_n, ‖e_1‖ = ‖e_n‖ = 1

et le vecteur

x = \sqrt(1 - t) \cdot e_1 + \sqrtt \cdot e_n

où

t \in [0, 1]

.
II.3.3 Calculer

⟨H_n ε_n|ε_n⟩

où

ε_n

désigne le vecteur de base canonique :

ε_n = (0; ⋮; 0; 1)

En déduire la limite de

μ_n

lorsque

n \to + \infty

Partie III

Limite de $(N(H_n))_(n \geq 2)$ grâce à une intégrale double

Dans cette partie, on utilise la relation :

\forallt > 0, arctan(t) + arctan(1/t) = π/2

et on suppose

n \geq 2

III. 1 Deux intégrales doubles

Pour tout entier

n \geq 2

, on note :

D_n = [1, n] \times [1, n], Γ_n = [1, \sqrtn] \times [1, \sqrtn]; I_n = \iint_(D_n)(dxdy)/(\sqrt(xy)(x + y - 1)) et J_n = \iint_(Γ_n)(dudv)/(u^2 + v^2)

III.1.1 En utilisant le changement de variable

(x, y) = (u^2, v^2)

, montrer que :

I_n \geq 4J_n

III.1.2 On note :

K_n = \int_1^(\sqrtn)(arctan(x))/xdx et L_n = \int_1^(\sqrtn)1/xarctan(x/(\sqrtn))dx

Montrer que

J_n = K_n - L_n

III. 2 Un équivalent de $J_n$

III.2.1 En majorant

arctan(t)

, montrer que :

0 < L_n \leq 1

III.2.2 Justifier la convergence de l'intégrale

\int_1^(+ \infty)1/xarctan(1/x)dx

Montrer que

K_n\to-_(n \to + \infty)^\simπ/4ln(n)

.
III.2.3 En déduire que

J_n \sim _(n \to + \infty)π/4ln(n)

.
III. 3 Limite de

N(H_n)

. On utilise les notations et les résultats de la partie II.

On note

a

l'élément de

ℝ^n

a = (1; 1/(\sqrt2); ⋮; 1/(\sqrtn))

III.3.1 Montrer que

‖a‖^2 \leq 1 + ln(n)

.
III.3.2 Montrer que

4J_n \leq q_n(a)

.
III.3.3 En déduire la limite de

N(H_n)

lorsque

n \to + \infty

Partie IV

Sur le déterminant de $H_n$

H_n

désigne toujours la matrice de Hilbert d'ordre

n

, pour

n \geq 2

IV. 1 Une fraction rationnelle

On considère la fraction rationnelle

R_n(x) = (\prod_(k = 1)^n(x - k))/(\prod_(k = 0)^n(x + k))

.
On admettra qu'il existe des réels

λ_(0, n), λ_(1, n), \dots, λ_(n, n)

tels que :

∀x ∈ ℝ∖{0, − 1, ⋯, − n}, R_n(x) = ∑_(k = 0)^n(λ_(k, n))/((x + k))

cette décomposition (en éléments simples) de

R_n

étant unique.
Exprimer le coefficient

λ_(n, n)

1/(x + n)

à l'aide de (2n)! et de

n

IV. 2 Matrice $A_n$

Pour

n \geq 2

, on considère la matrice

A_n

définie par

A_n = ((a_(j, k)))_(1 \leq j, k \leq n)

avec :

a_(jk) = {1/(j + k − 1) pour 1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ n; R_(n − 1)(j) pour k = n, 1 ≤ j ≤ n

où

R_(n - 1)(x) = (\prod_(k = 1)^(n - 1)(x - k))/(\prod_(k = 0)^(n - 1)(x + k))

.
IV.2.1 Montrer que, pour tout

i

compris entre 1 et

n

, on a :

R_(n - 1)(i) = \sum_(j = 1)^n λ_(j - 1, n - 1)h_(i, j)

puis en déduire que

det(A_n) = ((2(n - 1))/(n - 1))det(H_n)

.
IV.2.2 Montrer que

det(A_n) = (det(H_(n - 1)))/((2n - 1)((2(n - 1))/(n - 1)))

En déduire l'expression de det

(H_n)

en fonction de det

(H_(n - 1))

.
IV.2.3 Montrer, pour tout

n \geq 2

, que

det(H_n) \neq 0

, puis que

1/(det(H_n)) \in ℕ^*

IV. 3 Calcul de det $(H_n)$

En notant, pour tout

n \in ℕ^*, Φ_n = \prod_(k = 1)^n k!

montrer que :

\foralln \geq 2, det(H_n) = (Φ_(n - 1)^4)/(Φ_(2n - 1))

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP PSI 2013 ?

Le sujet porte sur les formes quadratiques, les matrices symétriques, les normes matricielles et l'étude asymptotique des matrices de Hilbert.

Le sujet de maths 2 CCINP PSI 2013 est-il difficile ?

Le rapport indique que très peu de candidats ont traité tout le problème, la partie IV étant rarement abordée malgré des points faciles à gagner.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PSI 2013 ?

Le jury relève de nombreuses manipulations matricielles abusives (simplification par un vecteur), des confusions entre sup et max, et des erreurs de bornes d'intégration.

Faut-il bien connaître les matrices de Hilbert pour ce sujet de maths 2 PSI 2013 ?

Le sujet les introduit et en étudie les propriétés progressivement, une bonne maîtrise de l'algèbre matricielle et des intégrales suffit pour l'aborder.

Pas de description pour le moment

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :

Objectifs :

Partie I

Une norme sur S_n(ℝ)

I. 5 Bornes de q_A sur Ω_n

I.5.5 Exemple :

Partie II

Sur les valeurs propres de H_n.

II. 2 Une majoration de q_n(x)

II. 3 Application à sp(H_n)

Partie III

Limite de (N(H_n))_(n ≥ 2) grâce à une intégrale double

III. 1 Deux intégrales doubles

III. 2 Un équivalent de J_n

Partie IV

Sur le déterminant de H_n

IV. 1 Une fraction rationnelle

IV. 2 Matrice A_n

IV. 3 Calcul de det (H_n)

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP PSI 2013 ?

Le sujet de maths 2 CCINP PSI 2013 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PSI 2013 ?

Faut-il bien connaître les matrices de Hilbert pour ce sujet de maths 2 PSI 2013 ?

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Une norme sur $S_n(ℝ)$

I. 5 Bornes de $q_A$ sur $Ω_n$

Sur les valeurs propres de $H_n$ .

II. 2 Une majoration de $q_n(x)$

II. 3 Application à $sp(H_n)$

Limite de $(N(H_n))_(n \geq 2)$ grâce à une intégrale double

III. 2 Un équivalent de $J_n$

Sur le déterminant de $H_n$

IV. 2 Matrice $A_n$

IV. 3 Calcul de det $(H_n)$