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CCINP Mathématiques 2 PSI 2013

Faisable en Sup

Étude des matrices de Hilbert

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre généraleAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéduction
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées.

Notations :

Pour ce problème, on désigne par :
  • un entier naturel non nul;
  • l'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels.
Pour toute matrice , on note :
  • la matrice transposée de ;
  • le déterminant de ;
  • sp l'ensemble des valeurs propres de .
On note le sous-espace vectoriel de formé des matrices symétriques.
  • Un vecteur de est noté :
  • Une matrice de est notée :
où est le coefficient de situé en ligne et colonne .
  • L'espace vectoriel est muni du produit scalaire canonique défini par:
et est la norme euclidienne associée.
  • La sphère unité de est :
A toute matrice , on associe la fonction définie par :

Objectifs :

Dans la partie , on étudie pour , puis pour et l'on définit une norme sur . La suite du problème est consacrée à une étude des matrices de Hilbert définies par :
ù
On étudie en particulier quelques propriétés du déterminant, des valeurs propres et de l'intervalle lorsque tend vers .

Partie I

Une norme sur

I. 1 Soit .
I.1.1 Enoncer les propriétés de la sphère unité ainsi que celles de la fonction qui permettent d'affirmer que est bornée sur et qu'elle atteint ses bornes.
On note et .
I.1.2 Démontrer que .
I.1.3 Expliciter et lorsque .
On pourra remarquer que .
I. 2 Soit . On suppose que pour tout .
I.2.1 Montrer que pour tout .
I.2.2 , exprimer (qui est nul d'après I.2.1.) en fonction de et .
I.2.3 Montrer que la matrice est anti-symétrique (c'est-à-dire que ) (entre autre méthode, on pourra par exemple considérer les vecteurs et dans la base canonique de ).
I. 3 Soit . Montrer que :
I. 4 Montrer que l'application définie par :
est une norme.

I. 5 Bornes de sur

On rappelle le théorème spectral : étant donnée une matrice , si on désigne par l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique de est , alors étant symétrique réel, il se diagonalise dans une base orthonormée, c'est-à-dire : il existe nombres réels et une base orthonormée de tels que :
On considère et on conserve les notations de ce théorème dans les questions I.5.
I.5.1 Préciser pour tout .
I.5.2 Soit . Justifier les égalités , puis exprimer en fonction des valeurs propres de et des composantes de .
I.5.3 Retrouver le résultat obtenu en I.1.1 : la fonction possède un minimum et un maximum sur la sphère unité .
Expliciter et en fonction des valeurs propres de .
I.5.4 Montrer que . Etablir une inégalité entre et .

I.5.5 Exemple :

Si , calculer et .
Dans toute la suite du problème, pour tout entier , on désigne par la matrice de Hilbert d'ordre définie par :
ou encore avec .
Pour simplifier, on notera la fonction :

Partie II

Sur les valeurs propres de .

II. 1 Une expression de
II.1.1 Montrer que :
II.1.2 Développer :
où est une variable réelle.
II.1.3 Montrer que :
II.1.4 Montrer que :
et que équivaut à .
Que peut-on en déduire concernant les valeurs propres de ?

II. 2 Une majoration de

II.2.1 Soit un polynôme à coefficients complexes. Montrer que :
(on pourra expliciter et ).
II.2.2 En gardant les notations introduites en II. 1 et en notant :
montrer que, pour tout , on a :
l'inégalité étant stricte pour (on pourra utiliser les résultats obtenus en II. 1 et II.2.1).
II.2.3 Montrer que :
l'inégalité étant stricte pour .

II. 3 Application à

Pour tout entier , on note :
II.3.1 Expliciter et . Montrer que pour tout , on a :
II.3.2 Montrer que .
On pourra considérer des vecteurs propres orthogonaux et tels que , et le vecteur où .
II.3.3 Calculer où désigne le vecteur de base canonique :
En déduire la limite de lorsque .

Partie III

Limite de grâce à une intégrale double

Dans cette partie, on utilise la relation :
et on suppose .

III. 1 Deux intégrales doubles

Pour tout entier , on note :
III.1.1 En utilisant le changement de variable , montrer que :
III.1.2 On note :
Montrer que .

III. 2 Un équivalent de

III.2.1 En majorant , montrer que :
III.2.2 Justifier la convergence de l'intégrale .
Montrer que .
III.2.3 En déduire que .
III. 3 Limite de . On utilise les notations et les résultats de la partie II.
On note l'élément de :
III.3.1 Montrer que .
III.3.2 Montrer que .
III.3.3 En déduire la limite de lorsque .

Partie IV

Sur le déterminant de

désigne toujours la matrice de Hilbert d'ordre , pour .

IV. 1 Une fraction rationnelle

On considère la fraction rationnelle .
On admettra qu'il existe des réels tels que :
cette décomposition (en éléments simples) de étant unique.
Exprimer le coefficient de à l'aide de (2n)! et de !

IV. 2 Matrice

Pour , on considère la matrice définie par avec :
où .
IV.2.1 Montrer que, pour tout compris entre 1 et , on a :
puis en déduire que .
IV.2.2 Montrer que .
En déduire l'expression de det en fonction de det .
IV.2.3 Montrer, pour tout , que , puis que .

IV. 3 Calcul de det

En notant, pour tout montrer que :

Fin de l'énoncé

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