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Centrale Mathématiques 1 PSI 2012

Autour de la transformation de Laplace

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctions
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2012
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Mathématiques
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  • Dans le problème désigne toujours une application continue de dans , croissante et non majorée.
  • Dans le problème, désigne toujours une application continue de dans .
  • On note l'ensemble des réels pour lesquels l'application est intégrable sur .
  • On note l'ensemble des réels pour lesquels l'intégrale converge.
On se propose ci-après d'étudier la transformation définie en I.A, d'en établir quelques propriétés, d'examiner certains exemples et d'utiliser la transformation pour l'étude d'un opérateur.

I Préliminaires, définition de la transformation

I. - Quelle inclusion existe-t-il entre les ensembles et ?
Désormais, pour , on notera
I. - Montrer que si n'est pas vide, alors est un intervalle non majoré de .
- Montrer que si n'est pas vide, alors est continue sur .

II Exemples dans le cas de positive

II.A - Comparer et dans le cas où est positive.
II.B - Dans les trois cas suivants, déterminer E.
II.B.1) , avec supposée de classe .
II.B.2) .
II.B.3) .
II. - Dans cette question, on étudie le cas et pour tout .
II.C.1) Déterminer . Que vaut ?
II.C.2) Prouver que est dérivable.
II.C.3) Montrer l'existence d'une constante telle que pour tout , on ait .
II.C.4) On note pour .
Montrer que pour tout , on a .
II.C.5) En déduire la valeur de l'intégrale .

III Étude d'un premier exemple

Dans cette partie, pour tout et pour tout .
III. Montrer que se prolonge par continuité en 0.
On note encore le prolongement obtenu.
III.B - Déterminer .
III. - À l'aide d'un développement en série, montrer que pour tout , on a
III. - Est-ce que admet une limite finie en ?

IV Généralités dans le cas typique

Dans cette partie, pour tout .
Montrer que si n'est pas vide et si est sa borne inférieure (on convient que si ), alors est de classe sur ] [ et exprimer ses dérivées successives à l'aide d'une intégrale.
IV.B - Dans le cas particulier où pour tout , avec et , expliciter , et calculer pour .

IV.C - Comportement en l'infini

On suppose ici que n'est pas vide et que admet au voisinage de 0 le développement limité d'ordre suivant :
IV.C.1) Montrer que pour tout , on a, lorsque tend vers , le développement asymptotique suivant :
IV.C.2) En déduire que lorsque tend vers l'infini, on a le développement asymptotique :

IV.D - Comportement en 0

On suppose ici que admet une limite finie en .
IV.D.1) Montrer que contient .
IV.D.2) Montrer que tend vers en .

V Étude d'un deuxième exemple

Dans cette partie, pour tout et pour tout , étant prolongée par continuité en 0 .
Montrer que ne contient pas 0.
Montrer que .
Montrer que contient 0.
V. D - Calculer pour .
En déduire pour .
On note pour et .
Montrer que converge uniformément sur .
Que vaut

VI Injectivité dans le cas typique

Dans cette partie, pour tout .
VI.A - Soit une application continue de dans . On suppose que pour tout , on a
VI.A.1) Que dire de pour ?
VI.A.2) En déduire que est l'application nulle.
VI.B - Soient fixée telle que soit non vide, et .
On pose pour tout .
VI.B.1) Montrer que .
VI.B.2) On suppose que pour tout , on a .
Montrer que, pour tout , l'intégrale converge et qu'elle est nulle.
VI.B.3) Qu'en déduit-on pour la fonction ?
VI.C - Montrer que l'application qui à associe est injective.

VII Étude en la borne inférieure de

VII.A - Cas positif

On suppose que est positive et que n'est ni vide ni égal à . On note sa borne inférieure.
VII.A.1) Montrer que si est bornée sur , alors .
VII.A.2) Si , que dire de quand tend vers ?
VII.B - Dans cette question, et .
VII.B.1) Déterminer .
VII.B.2) Déterminer .
VII.B.3) Montrer que admet une limite en , borne inférieure de et la déterminer.

VIII Une utilisation de la transformation

Dans cette partie, désigne l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à coefficients complexes et on utilise la transformation appliquée à des éléments de pour l'étude d'un opérateur .
VIII.A - Soient et deux éléments de .
Montrer que l'intégrale , où est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de , converge.
VIII.B - On note pour tout couple ,
Vérifier que . é.
VIII.C - On note l'endomorphisme de dérivation et l'endomorphisme de défini par
Vérifier que est un endomorphisme de .
VIII.D - Montrer que pour tous et de , on a
VIII.E - Montrer que admet des valeurs propres dans , qu'elles sont réelles et que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
VIII.F - Soient une valeur propre de et un vecteur propre associé.
VIII.F.1) Montrer que est solution d'une équation différentielle linéaire simple que l'on précisera.
VIII.F.2) Quel lien y a-t-il entre et le degré de ?

VIII.G - Description des éléments propres de

On considère sur l'équation différentielle
avec et d'inconnue .
VIII.G.1) En appliquant la transformation avec à ( ), montrer que si est solution de ( ) sur , alors son image par est solution d'une équation différentielle ( ) d'ordre 1 sur .
VIII.G.2) Résoudre l'équation ( ) sur et en déduire les valeurs et vecteurs propres de l'endomorphisme .
VIII.G.3) Quel est le lien entre ce qui précède et les fonctions polynomiales définies pour par ?

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