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Centrale Mathématiques 1 PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Autour de la transformation de Laplace

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Présentation du sujet

Difficile
Étude de la transformation de Laplace et application à un opérateur
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Le sujet étudie la transformation de Laplace Lf, très utilisée en automatique, à travers ses propriétés générales, plusieurs exemples explicites et une étude en la borne inférieure de son domaine de définition. La dernière partie applique cette transformation à l'étude d'un opérateur, avec la résolution d'une équation différentielle et la description de ses éléments propres.

  1. 1I. Préliminaires, définition de la transformation LComparer les domaines de convergence de l'intégrale et de l'intégrabilité, et montrer la continuité de Lf.
  2. 2II. Exemples dans le cas de f positiveDéterminer le domaine E dans plusieurs exemples et retrouver la valeur de l'intégrale de Gauss.
  3. 3III. Étude d'un premier exempleÉtudier un exemple explicite de fonction f et exprimer Lf par un développement en série.
  4. 4IV. Généralités dans le cas typiqueÉtudier la régularité de Lf, son comportement en l'infini puis en 0.
  5. 5V. Étude d'un deuxième exempleÉtudier la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal.
  6. 6VI. Injectivité dans le cas typiqueÉtudier l'injectivité de la transformation L.
  7. 7VII. Étude en la borne inférieure de EÉtudier le comportement de Lf au voisinage de la borne inférieure de son domaine de définition.
  8. 8VIII. Une utilisation de la transformation LAppliquer la transformation L à la résolution d'une équation différentielle et décrire les éléments propres d'un opérateur.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était assez long et que les parties IV, VII et les dernières questions de la partie VIII ont été peu abordées par les candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion sur l'intégrabilité · Confusion sommabilité et signe de f · Intégration par parties sur intervalle non borné
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Le sujet traitait de la transformation de Laplace, notion au cœur du programme d'analyse (intégration, séries, équations différentielles) avec quelques notions d'algèbre sur les espaces euclidiens. La plupart des candidats sont entrés dans le sujet et ont abordé de nombreuses questions, mais seuls ceux maîtrisant suffisamment les concepts de base ont réussi à bien les traiter.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion sur l'intégrabilité

    Beaucoup de candidats pensent qu'une fonction continue est automatiquement intégrable sur R+, ou qu'une fonction tendant vers 0 est intégrable.

    « la notion d'intégrabilité est souvent mal connue »
  2. 2
    Confusion sommabilité et signe de f

    Il est souvent affirmé à tort que t vers exp(f(t)) est sommable si et seulement si f(t) est négatif, ce qui conduit à des domaines de convergence absurdes.

  3. 3
    Intégration par parties sur intervalle non borné

    On ne peut pas faire d'intégration par parties sur un intervalle non borné, ou sans préciser les bornes.

    « on ne peut pas faire d'intégration par parties sur un intervalle non borné ou sans préciser les bornes »
  4. 4
    Théorème de continuité sous le signe intégrale mal appliqué

    L'hypothèse de domination est souvent mal vérifiée, le majorant dépendant encore du paramètre, et certains affirment à tort que l'intégrale d'une fonction continue est toujours continue.

  5. 5
    Résultats de dimension finie transposés sans justification

    Les résultats connus en dimension finie, comme le théorème spectral, ne peuvent pas être appliqués directement sans justification en dimension infinie.

    « les résultats connus en dimension finie ne peuvent pas être appliqués directement sans justification en dimension infinie »

Ce qui a été bien réussi

  • La plupart des candidats ont réussi à entrer dans le sujet et à aborder de nombreuses questions.

Conseils du jury

  • Bien maîtriser la notion d'intégrabilité et ses liens exacts avec la continuité et la limite en +infini.
  • Savoir calculer des primitives simples, par exemple celle de f'(t) exp(xf(t)).
  • Vérifier soigneusement l'hypothèse de domination dans le théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
  • Ne pas transposer sans justification des résultats de dimension finie à la dimension infinie.
  • Être plus rigoureux dans les raisonnements et plus précis dans la rédaction pour éviter les erreurs de raisonnement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
  • Dans le problème λ désigne toujours une application continue de ℝ^+dans ℝ^+, croissante et non majorée.
  • Dans le problème, f désigne toujours une application continue de ℝ^+dans ℝ.
  • On note E l'ensemble des réels x pour lesquels l'application t ↦ f(t)e^(− λ(t)x) est intégrable sur ℝ^+.
  • On note E^′ l'ensemble des réels x pour lesquels l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− λ(t)x)dt converge.
On se propose ci-après d'étudier la transformation f ↦ Lf définie en I.A, d'en établir quelques propriétés, d'examiner certains exemples et d'utiliser la transformation L pour l'étude d'un opérateur.

I Préliminaires, définition de la transformation L

I. A - Quelle inclusion existe-t-il entre les ensembles E et E^′ ?
Désormais, pour x ∈ E^′, on notera
Lf(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− λ(t)x)dt
I. B - Montrer que si E n'est pas vide, alors E est un intervalle non majoré de ℝ.
I.C - Montrer que si E n'est pas vide, alors Lf est continue sur E.

II Exemples dans le cas de f positive

II.A - Comparer E et E^′ dans le cas où f est positive.
II.B - Dans les trois cas suivants, déterminer E.
II.B.1) f(t) = λ^′(t), avec λ supposée de classe C^1.
II.B.2) f(t) = e^(tλ(t)).
II.B.3) f(t) = (e^(− tλ(t)))/(1 + t^2).
II. C - Dans cette question, on étudie le cas λ(t) = t^2 et f(t) = 1/(1 + t^2) pour tout t ∈ ℝ^+.
II.C.1) Déterminer E. Que vaut Lf(0) ?
II.C.2) Prouver que Lf est dérivable.
II.C.3) Montrer l'existence d'une constante A > 0 telle que pour tout x > 0, on ait Lf(x) − (Lf)^′(x) = A/(√x).
II.C.4) On note g(x) = e^(− x)Lf(x) pour x ⩾ 0.
Montrer que pour tout x ⩾ 0, on a g(x) = π/2 − A∫_0^x(e^(− t))/(√t)dt.
II.C.5) En déduire la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2)dt.

III Étude d'un premier exemple

Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t ∈ ℝ^+et f(t) = t/(e^t − 1) − 1 + t/2 pour tout t ∈ ℝ^(+ ∗).
III. A − Montrer que f se prolonge par continuité en 0.
On note encore f le prolongement obtenu.
III.B - Déterminer E.
III. C - À l'aide d'un développement en série, montrer que pour tout x > 0, on a
Lf(x) = 1/(2x^2) − 1/x + ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/((n + x)^2)
III. D - Est-ce que Lf(x) − 1/(2x^2) + 1/x admet une limite finie en 0^+?

IV Généralités dans le cas typique

Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t ∈ ℝ^+.
IV.A − Montrer que si E n'est pas vide et si α est sa borne inférieure (on convient que α = − ∞ si E = ℝ ), alors Lf est de classe C^∞ sur ] α, + ∞ [ et exprimer ses dérivées successives à l'aide d'une intégrale.
IV.B - Dans le cas particulier où f(t) = e^(− at)t^n pour tout t ∈ ℝ^+, avec n ∈ ℕ et a ∈ ℝ, expliciter E, E^′ et calculer Lf(x) pour x ∈ E^′.

IV.C - Comportement en l'infini

On suppose ici que E n'est pas vide et que f admet au voisinage de 0 le développement limité d'ordre n ∈ ℕ suivant :
f(t) = ∑_(k = 0)^n(a_k)/(k!)t^k + O(t^(n + 1))
IV.C.1) Montrer que pour tout β > 0, on a, lorsque x tend vers + ∞, le développement asymptotique suivant :
∫_0^β(f(t) − ∑_(k = 0)^n(a_k)/(k!)t^k)e^(− tx)dt = O(x^(− n − 2))
IV.C.2) En déduire que lorsque x tend vers l'infini, on a le développement asymptotique :
Lf(x) = ∑_(k = 0)^n(a_k)/(x^(k + 1)) + O(x^(− n − 2))

IV.D - Comportement en 0

On suppose ici que f admet une limite finie l en + ∞.
IV.D.1) Montrer que E contient ℝ^(+ ∗).
IV.D.2) Montrer que xLf(x) tend vers l en 0^+.

V Étude d'un deuxième exemple

Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t ∈ ℝ^+et f(t) = (sint)/t pour tout t ∈ ℝ^(+ ∗), f étant prolongée par continuité en 0 .
V.A − Montrer que E ne contient pas 0.
V.B − Montrer que E = ]0, + ∞[.
V.C − Montrer que E^′ contient 0.
V. D - Calculer (Lf)^′(x) pour x ∈ E.
V.E − En déduire (Lf)(x) pour x ∈ E.
V.F − On note pour n ∈ ℕ et x ⩾ 0, f_n(x) = ∫_(nπ)^((n + 1)π)(sint)/te^(− xt)dt.
Montrer que ∑_(n ⩾ 0)f_n converge uniformément sur [0, + ∞[.
V.G − Que vaut Lf(0)?

VI Injectivité dans le cas typique

Dans cette partie, λ(t) = t pour tout t ∈ ℝ^+.
VI.A - Soit g une application continue de [0, 1] dans ℝ. On suppose que pour tout n ∈ ℕ, on a
∫_0^1 t^n g(t)dt = 0
VI.A.1) Que dire de ∫_0^1 P(t)g(t)dt pour P ∈ ℝ[X] ?
VI.A.2) En déduire que g est l'application nulle.
VI.B - Soient f fixée telle que E soit non vide, x ∈ E et a > 0.
On pose h(t) = ∫_0^t e^(− xu)f(u)du pour tout t ⩾ 0.
VI.B.1) Montrer que Lf(x + a) = a∫_0^(+ ∞)e^(− at)h(t)dt.
VI.B.2) On suppose que pour tout n ∈ ℕ, on a Lf(x + na) = 0.
Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, l'intégrale ∫_0^1 u^n h(− (lnu)/a)du converge et qu'elle est nulle.
VI.B.3) Qu'en déduit-on pour la fonction h ?
VI.C - Montrer que l'application qui à f associe Lf est injective.

VII Étude en la borne inférieure de E

VII.A - Cas positif

On suppose que f est positive et que E n'est ni vide ni égal à ℝ. On note α sa borne inférieure.
VII.A.1) Montrer que si Lf est bornée sur E, alors α ∈ E.
VII.A.2) Si α ∉ E, que dire de Lf(x) quand x tend vers α^+?
VII.B - Dans cette question, f(t) = cost et λ(t) = ln(1 + t).
VII.B.1) Déterminer E.
VII.B.2) Déterminer E^′.
VII.B.3) Montrer que Lf admet une limite en α, borne inférieure de E et la déterminer.

VIII Une utilisation de la transformation L

Dans cette partie, P désigne l'espace vectoriel des fonctions polynomiales à coefficients complexes et on utilise la transformation L appliquée à des éléments de P pour l'étude d'un opérateur U.
VIII.A - Soient P et Q deux éléments de P.
Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t)P¯(t)Q(t)dt, où P¯ est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de P, converge.
VIII.B - On note pour tout couple (P, Q) ∈ P^2,
⟨P, Q⟩ = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)P¯(t)Q(t)dt
Vérifier que ⟨.,. ⟩définitunproduitscalairesurP.
VIII.C - On note D l'endomorphisme de dérivation et U l'endomorphisme de P défini par
U(P)(t) = e^t D(te^(− t)P^′(t))
Vérifier que U est un endomorphisme de P.
VIII.D - Montrer que pour tous P et Q de P, on a
⟨U(P), Q⟩ = ⟨P, U(Q)⟩
VIII.E - Montrer que U admet des valeurs propres dans ℂ, qu'elles sont réelles et que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
VIII.F - Soient λ une valeur propre de U et P un vecteur propre associé.
VIII.F.1) Montrer que P est solution d'une équation différentielle linéaire simple que l'on précisera.
VIII.F.2) Quel lien y a-t-il entre λ et le degré de P ?

VIII.G - Description des éléments propres de U

On considère sur [0, + ∞[ l'équation différentielle
(E_n) : tP^(′′) + (1 − t)P^′ + nP = 0
avec n ∈ ℕ et d'inconnue P ∈ P.
VIII.G.1) En appliquant la transformation L avec λ(t) = t à ( E_n ), montrer que si P est solution de ( E_n ) sur [0, + ∞[, alors son image Q par L est solution d'une équation différentielle ( E_n^′ ) d'ordre 1 sur ]1, + ∞[.
VIII.G.2) Résoudre l'équation ( E_n^′ ) sur ]1, + ∞[ et en déduire les valeurs et vecteurs propres de l'endomorphisme U.
VIII.G.3) Quel est le lien entre ce qui précède et les fonctions polynomiales définies pour n ∈ ℕ par P_n(t) = e^t D^n(e^(− t)t^n) ?

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Centrale PSI 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Centrale PSI 2012 ?

Le sujet porte sur la transformation de Laplace, construite autour de l'intégration sur un intervalle quelconque, des séries numériques et des équations différentielles, avec quelques notions d'espaces euclidiens.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève surtout une mauvaise maîtrise de la notion d'intégrabilité, des théorèmes de continuité sous le signe intégrale mal appliqués et des résultats de dimension finie transposés sans justification.

Le sujet Mathématiques 1 Centrale PSI 2012 est-il long et difficile ?

Le rapport indique que le sujet était assez long et que plusieurs parties, notamment la IV, la VII et la fin de la VIII, ont été peu abordées par les candidats.

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