Centrale Mathématiques 1 TSI 2005

Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéterminée sur le corps des nombres réels. Un polynôme pourra être indifféremment noté ou . On désigne par l'espace vectoriel des fonctions continues de sur , par le sous-espace vectoriel de constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à ( entier naturel), et par la partie entière d'un entier .

I.A - ch désignant la fonction cosinus hyperbolique et sh la fonction sinus hyperbolique, on rappelle que: .
I.A.1) Montrer que, .
I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel , l'existence d'un polynôme tel que: .
Expliciter et .

I.B.1) Démontrer que pour tout :

En déduire que la suite est unique.
I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel :

I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de . Déterminer la parité de .
I.B.4) Démontrer que, si et , alors .
I.C - Dans cette question est un entier naturel non nul fixé.

Démontrer que les racines de sont toutes réelles, distinctes, et qu'elles appartiennent à l'intervalle]-1,1]. Elles seront notées de telle sorte que la suite des soit strictement décroissante. On déterminera la valeur de .

II.A.1) Pour élément de , justifier la convergence de l'intégrale :

II.A.2) Montrer que l'application de dans définie par

définit un produit scalaire sur . On notera . scalaire.
II.B - Pour un entier naturel , on pose :

Établir une relation de récurrence entre et , pour . En déduire la valeur de .

II.C.1) Calculer, pour et entiers naturels :

Que peut-on en déduire?
II.C.2) Démontrer que

lorsque et sont deux entiers naturels tels que .
II.D - Soit la fonction de définie par . Calculer la distance de au sous-espace , c'est-à-dire le nombre .

Dans cette partie, est un entier naturel non nul fixé. L'espace est muni du produit scalaire défini au II.B.

III.A.1) Soit un polynôme de degré inférieur ou égal à , dont le polynôme dérivé est noté .
Calculer la dérivée de la fonction et en déduire qu'il existe un unique polynôme , que l'on exprimera en fonction de et , tel que

Montrer de plus que l'application définie dans la relation (1) par est un endomorphisme de .
III.A.2) Dans cette question seulement, on suppose . Déterminer la matrice de dans la base canonique ( ) de .
III.A.3) L'endomorphisme est-il diagonalisable?

III.B.1) Démontrer que est un endomorphisme symétrique de . On pourra utiliser l'expression (1) de obtenue à la question III.A.1).
III.B.2) En utilisant la question II.C.2), démontrer que pour tout entier , , il existe un réel tel que . En utilisant le terme de plus haut degré de , déterminer .
III.B.3) Retrouver et préciser le résultat obtenu à la question III.A.3).
III.C - Dans cette question, .

On pose, pour tout polynôme et tout réel .
III.C.1) Montrer que est une forme quadratique sur .
III.C.2) Discuter selon la valeur de la nature de la quadrique définie par l'équation .

IV.A - On désigne par les racines du polynôme et par trois nombres réels. Pour tout élément de , on définit le nombre par:

IV.A.1) Déterminer pour que pour toute fonction polynôme élément de .
IV.A.2) Démontrer qu'alors pour toute fonction polynôme de : on pourra utiliser une division euclidienne par le polynôme .
IV.B - Justifier l'existence de l'intégrale

et déduire de IV.A) sa valeur.
IV.C - Pour fixé non nul, on désigne par les racines de (définies dans la partie I).
IV.C.1) Soit un réel tel que .

Exprimer la somme à l'aide de et de .
IV.C.2) En déduire pour un entier naturel donné, , la valeur de

IV.C.3) Démontrer qu'il existe un réel , que l'on déterminera, tel que, pour toute fonction polynôme de , on ait