Centrale Mathématiques 1 TSI 2005Sujet et corrigé

Les polynômes intervenant dans ce problème sont des polynômes à une indéterminée X sur le corps ℝ des nombres réels. Un polynôme pourra être indifféremment noté P ou P(X). On désigne par E l'espace vectoriel des fonctions continues de [ − 1, 1] sur ℝ, par F_n le sous-espace vectoriel de E constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n ( n entier naturel), et par [n] la partie entière d'un entier n.

I.A - ch désignant la fonction cosinus hyperbolique et sh la fonction sinus hyperbolique, on rappelle que: ∀α ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, e^(nα) = (chα + shα)^n.
I.A.1) Montrer que, ∀α ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, chnα = ∑_(k = 0)^([n/2])(n/(2k))(chα)^(n − 2k)(ch^2 α − 1)^k.
I.A.2) En déduire, pour tout entier naturel n, l'existence d'un polynôme P_n tel que: ∀α ∈ ℝ, ch(nα) = P_n(chα).
Expliciter P_0, P_1, P_2, P_3 et P_4.

I.B.1) Démontrer que pour tout n ≥ 2 :

En déduire que la suite (P_n)_(n ∈ ℕ) est unique.
I.B.2) Démontrer que, pour tout entier naturel n :

I.B.3) Calculer le terme de plus haut degré de P_n. Déterminer la parité de P_n.
I.B.4) Démontrer que, si |x| > 1 et n ≥ 1, alors |P_n(x)| > 1.
I.C - Dans cette question n est un entier naturel non nul fixé.

Démontrer que les racines de P_n sont toutes réelles, distinctes, et qu'elles appartiennent à l'intervalle]-1,1]. Elles seront notées x_i, 0 ≤ i ≤ n − 1 de telle sorte que la suite des x_i soit strictement décroissante. On déterminera la valeur de x_i.

II.A.1) Pour f élément de E, justifier la convergence de l'intégrale :

II.A.2) Montrer que l'application Φ de E × E dans ℝ définie par

définit un produit scalaire sur E. On notera ‖. ‖lanormeassociéeàceproduit scalaire.
II.B - Pour un entier naturel n, on pose :

Établir une relation de récurrence entre I_n et I_(n − 2), pour n ≥ 2. En déduire la valeur de I_n.

II.C.1) Calculer, pour m et n entiers naturels :

Que peut-on en déduire?
II.C.2) Démontrer que

lorsque n et m sont deux entiers naturels tels que n < m.
II.D - Soit h la fonction de E définie par h(x) = √(1 − x^2). Calculer la distance de h au sous-espace F_4, c'est-à-dire le nombre d(h, F_4) = inf_(P ∈ F_4)‖h − P‖.

Dans cette partie, n est un entier naturel non nul fixé. L'espace F_n est muni du produit scalaire défini au II.B.

III.A.1) Soit P ∈ F_n un polynôme de degré inférieur ou égal à n, dont le polynôme dérivé est noté P^′.
Calculer la dérivée de la fonction x → √(1 − x^2)P^′(x) et en déduire qu'il existe un unique polynôme Q ∈ F_n, que l'on exprimera en fonction de P^′ et P^(′′), tel que

Montrer de plus que l'application φ définie dans la relation (1) par φ(P) = Q est un endomorphisme de F_n.
III.A.2) Dans cette question seulement, on suppose n ≥ 2. Déterminer la matrice M de φ dans la base canonique ( 1, X, X^2, …X^n ) de F_n.
III.A.3) L'endomorphisme φ est-il diagonalisable?

III.B.1) Démontrer que φ est un endomorphisme symétrique de F_n. On pourra utiliser l'expression (1) de Q obtenue à la question III.A.1).
III.B.2) En utilisant la question II.C.2), démontrer que pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ n, il existe un réel λ_k tel que φ(P_k) = λ_k P_k. En utilisant le terme de plus haut degré de P_k, déterminer λ_k.
III.B.3) Retrouver et préciser le résultat obtenu à la question III.A.3).
III.C - Dans cette question, n = 2.

On pose, pour tout polynôme P ∈ F_2 et tout réel λ, q_λ(P) = λ‖P‖^2 + (φ(P)|P).
III.C.1) Montrer que q_λ est une forme quadratique sur F_2.
III.C.2) Discuter selon la valeur de λ la nature de la quadrique définie par l'équation q_λ(P) = 1.

IV.A - On désigne par x_0, x_1, x_2 les racines du polynôme P_3 et par A_0, A_1, A_2 trois nombres réels. Pour tout élément f de E, on définit le nombre R(f) par:

IV.A.1) Déterminer A_0, A_1, A_2 pour que R(P) = 0 pour toute fonction polynôme P élément de F_2.
IV.A.2) Démontrer qu'alors R(P) = 0 pour toute fonction polynôme P de F_5 : on pourra utiliser une division euclidienne par le polynôme P_3.
IV.B - Justifier l'existence de l'intégrale

et déduire de IV.A) sa valeur.
IV.C - Pour n fixé non nul, on désigne par (x_j)_(0 ≤ j ≤ n − 1) les racines de P_n (définies dans la partie I).
IV.C.1) Soit x un réel tel que sinx ≠ 0.

Exprimer la somme ∑_(j = 0)^(n − 1)cos((2j + 1)x) à l'aide de sin(2nx) et de sinx.
IV.C.2) En déduire pour un entier naturel k donné, k ≤ 2n − 1, la valeur de

IV.C.3) Démontrer qu'il existe un réel α, que l'on déterminera, tel que, pour toute fonction polynôme P de F_(2n − 1), on ait