Centrale Mathématiques 2 MP 2007

Dans tout ce problème est un espace euclidien de dimension . Les vecteurs de sont représentés par des lettres surmontées de flèches et le produit scalaire de deux vecteurs et de est noté ( ). L'orthogonal d'un sous-espace de est noté . On note l'adjoint de pour la structure euclidienne définie par le produit scalaire ( ) et le composé de deux endomorphismes et de .
Le sous-espace de constitué des endomorphismes symétriques est noté . On appelle endomorphisme antisymétrique un endomorphisme tel que et on note le sous-espace de constitué par les endomorphismes antisymétriques. L'ensemble des endomorphismes symétriques positifs de est noté .
On désigne par l'ensemble des automorphismes orthogonaux de et l'ensemble de ceux dont le déterminant est positif.
L'objectif de ce problème est de prouver que certains sous-espaces vectoriels de contiennent des automorphismes orthogonaux. Les deux parties du problème sont indépendantes nonobstant la question I.B.2.

I.A.1) Soit et une base orthonormée de .

Prouver que

I.A.2) Soient et deux endomorphismes de .

On pose ,
montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur . L'orthogonal, pour ce produit scalaire, d'un sous-espace sera noté .
I.A.3) Montrer que les sous-espaces et sont des supplémentaires orthogonaux de pour ,
I.B -
I.B.1) Soit de rang .
a) Montrer que et que .
b) Montrer que possède au moins une valeur propre non nulle.
c) Soit l'ensemble des valeurs propres non nulles de . En notant le sous-espace propre de associé à la valeur propre , montrer que :

d) Prouver l'existence d'une base orthonormée de et de scalaires avec pour tels que pour tout . Pour toute base orthonormée (e) vérifiant ces propriétés, que valent les si ?
e) La base ( ) étant choisie comme dans la question précédente, prouver l'existence d'une base orthonormée telle que pour tout .
I.B.2) Soit , déduire de la question précédente l'existence de tel que , et .
I.C - Soit un hyperplan de et un élément non nul de .
I.C.1) La base ( ) de étant toujours choisie comme dans la question I.B.1.d, prouver l'existence de tel que, pour tout , .
I.C.2) Montrer que contient au moins un automorphisme orthogonal.

Dans toute cette partie l'espace euclidien est de dimension 3 et orienté. On se propose de prouver que tout sous-espace de de dimension 7 contient au moins une rotation.
II.A - Si est un vecteur unitaire et si , on note le projecteur orthogonal d'image , l'endomorphisme et la rotation d'angle autour de .

Soit un vecteur unitaire et un réel.
II.A.1) Exprimer simplement le produit scalaire à l'aide du produit scalaire de deux vecteurs de .
II.A.2) Exprimer simplement à l'aide de et de . En déduire la relation :

II.A.3) Que devient cette relation (1) lorsque , lorsque ?
II.B - Dans cette section est un endomorphisme symétrique positif de rang et de trace égale à 1 et est un endomorphisme de non nul mais de trace nulle. On pose et on veut montrer que .
II.B.1) Quelle est la dimension de ?
II.B.2) Soit une base orthonormée de . Pour , on note le vecteur .

II.B.3) Dans cette question seulement, on rajoute l'hypothèse symétrique.
a) Prouver l'existence d'une base (e) telle que pour tout .
b) Démontrer l'existence d'un vecteur unitaire vérifiant :

c) Établir l'existence de tel que .
II.B.4) On décompose maintenant sous la forme où est symétrique et antisymétrique. On choisit unitaire tel que :

a) Dans la suite on posera, pour tout réel :

On note une base orthonormée de vecteurs propres de et l'on pose:

Démontrer l'existence d'un vecteur unitaire tel que soit orthogonale à pour , dans une base de diagonalisation de soient de mêmes signes que celles de .
b) Justifier l'existence d'une fonction de dans et d'une fonction de dans vérifiant les propriétés suivantes :

c) Vérifier que est unitaire et que , est orthogonale à pour ,
d) Montrer que la fonction de dans est continue. Étudier les signes de et de et prouver qu'existe tel que .

II.C.1) En utilisant le résultat de la question I.B.2, prouver que tout sous espace vectoriel de dimension 7 de contient au moins un automorphisme orthogonal.
II.C.2) Un sous-espace vectoriel de dimension 6 de contient-il toujours un automorphisme de ?