WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 2 MP 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2007FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Centrale MP MathématiquesCentrale MP 2007MP MathématiquesMathématiques 2007

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Existence d'automorphismes orthogonaux dans certains sous-espaces vectoriels de L(E)
Afficher ou masquer la section

Le sujet démontre l'existence d'endomorphismes orthogonaux dans certains sous-espaces vectoriels de L(E), où E est un espace vectoriel euclidien. La première partie, proche d'un exercice de colle, s'appuie sur la décomposition polaire d'un endomorphisme pour prouver que tout hyperplan de L(E) contient un automorphisme orthogonal. La seconde partie traite le cas particulier où E est de dimension 3, pour montrer que tout sous-espace de dimension 7 de L(E) contient une rotation.

  1. 1Partie I : Cas d'un hyperplan de L(E)Établir la décomposition polaire d'un endomorphisme d'un espace euclidien et en déduire que tout hyperplan de L(E) contient un automorphisme orthogonal.
  2. 2Partie II : Cas où dim E = 3Dans le cas particulier de la dimension 3, prouver que tout sous-espace vectoriel de dimension 7 de L(E) contient au moins une rotation.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le problème, plutôt proche du cours, a donné une prime aux candidats ayant révisé les démonstrations, mais souligne que même les questions les plus élémentaires du début ont révélé des erreurs chroniques, au point que rares sont les copies qui en soient exemptes, même parmi les meilleures.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Erreur dans la formule du rang · Diagonalisabilité de a*a non invoquée · Gram-Schmidt utilisé comme méthode miracle
Afficher ou masquer la section

Le sujet, plutôt proche du cours et construit avec un équilibre entre questions ouvertes et questions directives, a favorisé une large indépendance entre les questions. Le jury constate cependant des erreurs chroniques dès les questions les plus élémentaires, ainsi qu'un manque de rigueur et trop de verbiage dans de nombreuses copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreur dans la formule du rangI.B.1.a

    À la question I.B.1.a, la formule du rang est souvent écrite de façon aberrante, la dimension de End(E) remplaçant la dimension de E.

    « la formule du rang est souvent aberrante, dim End(E) remplaçant dim E »
  2. 2
    Diagonalisabilité de a*a non invoquéeI.B.1

    Dans les questions suivant le I.B.1.a, la nécessité d'invoquer la diagonalisabilité de a*a est rarement perçue par les candidats.

  3. 3
    Gram-Schmidt utilisé comme méthode miracleI.B.1

    Le procédé de Gram-Schmidt est appliqué sans vérifier qu'il conserve bien la propriété d'être une base de vecteurs propres.

    « le procédé de GRAM-SCHMITT fait office de méthode miracle »
  4. 4
    Confusion entre supplémentaire et supplémentaire orthogonal

    De nombreuses copies confondent supplémentaire et supplémentaire orthogonal, ou supposent à tort l'unicité du supplémentaire.

    « Il est courant de confondre supplémentaire et supplémentaire orthogonal »
  5. 5
    Base orthonormale mal formulée en II.A.1II.A.1

    À la question II.A.1, de nombreuses copies parlent à tort de « la » base orthonormale complétant un vecteur fixé, au lieu d'une base parmi d'autres possibles.

  6. 6
    Rédaction envahie de verbiage

    Le jury relève un excès de formules toutes faites et peu précises, comme « la matrice A est égale à... » ou des affirmations de résultats de cours alors qu'une démonstration était demandée.

    « Les copies sont entachées de trop de verbiage »

Conseils du jury

  • Lire attentivement ce rapport ainsi que ceux des années précédentes pour repérer les erreurs récurrentes à éviter.
  • Ne pas énoncer comme un résultat de cours ce que l'énoncé demande explicitement de démontrer.
  • Éviter les rédactions désinvoltes, les symboles d'implication employés à tort, et les anglicismes.
  • Soigner la présentation et l'orthographe, qui font partie des exigences attendues d'un futur ingénieur ou chercheur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
Dans tout ce problème E est un espace euclidien de dimension n ≥ 1. Les vecteurs de E sont représentés par des lettres surmontées de flèches et le produit scalaire de deux vecteurs x⃗ et y⃗ de E est noté ( x⃗|y⃗ ). L'orthogonal d'un sous-espace F de E est noté F^∘. On note a^∗ l'adjoint de a ∈ L(E) pour la structure euclidienne définie par le produit scalaire ( | ) et ab le composé de deux endomorphismes a et b de E.
Le sous-espace de L(E) constitué des endomorphismes symétriques est noté S(E). On appelle endomorphisme antisymétrique un endomorphisme a ∈ L(E) tel que a^∗ = − a et on note A(E) le sous-espace de L(E) constitué par les endomorphismes antisymétriques. L'ensemble des endomorphismes symétriques positifs de E est noté S^+(E).
On désigne par O(E) l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E et O^+(E) l'ensemble de ceux dont le déterminant est positif.
L'objectif de ce problème est de prouver que certains sous-espaces vectoriels de L(E) contiennent des automorphismes orthogonaux. Les deux parties du problème sont indépendantes nonobstant la question I.B.2.

Partie I - Cas d'un hyperplan de L(E)

I.A -

I.A.1) Soit a ∈ L(E) et (e) = (e_1^(→−), e_2^(→−), …, e_n^(→−)) une base orthonormée de E.
Prouver que
Tra = ∑_(i = 1)^n(e_i→|a(e_i→))
I.A.2) Soient a et b deux endomorphismes de E.
On pose ⟨⟨a, b⟩⟩ = Tr(a^∗ b),
montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire sur L(E). L'orthogonal, pour ce produit scalaire, d'un sous-espace E ⊂ L(E) sera noté E^⊥.
I.A.3) Montrer que les sous-espaces S(E) et A(E) sont des supplémentaires orthogonaux de L(E) pour ⟨⟨⟩, ⟩.
I.B -
I.B.1) Soit a ∈ L(E) de rang r ≥ 1.
a) Montrer que Kera^∗ a = Kera et que rga^∗ a = rga.
b) Montrer que a^∗ a possède au moins une valeur propre non nulle.
c) Soit {λ_1, λ_2, …, λ_s} l'ensemble des valeurs propres non nulles de a^∗ a. En notant E(λ) le sous-espace propre de a^∗ a associé à la valeur propre λ, montrer que :
Ima^∗ = Ima^∗ a = ⨁_(i = 1)^s E(λ_i)
d) Prouver l'existence d'une base orthonormée (e) = (e_1^(→−), e_2^(→−), …, e_n^(→−)) de E et de scalaires μ_1, μ_2, …, μ_n avec μ_i ≠ 0 pour i ≤ r tels que a^∗ a(e_i→) = μ_i^2 e_i→ pour tout i ∈ {1, 2, …, n}. Pour toute base orthonormée (e) vérifiant ces propriétés, que valent les μ_i si i > r ?
e) La base ( e ) étant choisie comme dans la question précédente, prouver l'existence d'une base orthonormée (f) = (f_1^(→−), f_2^(→−), …, f_n^(→−)) telle que a(e_i→) = μ_i f_i→ pour tout i.
I.B.2) Soit a ∈ L(E), a ≠ 0, déduire de la question précédente l'existence de u ∈ O(E) tel que ua ∈ S^+(E), et Tr(ua) > 0.
I.C - Soit H un hyperplan de L(E) et a un élément non nul de H^⊥.
I.C.1) La base ( e_1^(→−), e_2^(→−), …, e_n^(→−) ) de E étant toujours choisie comme dans la question I.B.1.d, prouver l'existence de h ∈ O(E) tel que, pour tout i ∈ {1, 2, …, n}, ha(e_i→) ∈ Vect(e_i→)^∘.
I.C.2) Montrer que H contient au moins un automorphisme orthogonal.

Partie II - Cas où dimE = 3

Dans toute cette partie l'espace euclidien E est de dimension 3 et orienté. On se propose de prouver que tout sous-espace de L(E) de dimension 7 contient au moins une rotation.
II.A - Si k⃗ ∈ E est un vecteur unitaire et si θ ∈ R, on note p_(k⃗) le projecteur orthogonal d'image Vect(k⃗), ω_(k⃗) l'endomorphisme x⃗ ↦ k⃗ ∧ x⃗ et r_(θ, k⃗) la rotation d'angle θ autour de k⃗.
Soit a ∈ L(E), k⃗ un vecteur unitaire et θ un réel.
II.A.1) Exprimer simplement le produit scalaire ⟨⟨a, p_(k⃗)⟩⟩ à l'aide du produit scalaire de deux vecteurs de E.
II.A.2) Exprimer simplement r_(θ, k⃗) à l'aide de p_(k⃗) et de ω_(k⃗). En déduire la relation :
⟨⟨a, r_(θ, k⃗)⟩⟩ = cosθTr(a) + (1 − cosθ)(k⃗|a(k⃗)) + sinθ⟨⟨a, ω_(k⃗)⟩⟩
II.A.3) Que devient cette relation (1) lorsque a ∈ S(E), lorsque a ∈ A(E) ?
II.B - Dans cette section s ∈ S^+(E) est un endomorphisme symétrique positif de rang ≤ 2 et de trace égale à 1 et ν est un endomorphisme de E non nul mais de trace nulle. On pose V = Vect(s, ν)^⊥ et on veut montrer que V ∩ O^+(E) ≠ ∅.
II.B.1) Quelle est la dimension de V ?
II.B.2) Soit (e) = (e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)) une base orthonormée de E. Pour ε = (ε_1, ε_2, ε_3) ∈ { − 1, 1}^3, on note x_ε^(→−) le vecteur (ε_1 e_1^(→−) + ε_2 e_2^(→−) + ε_3 e_3^(→−))/(√3).
Prouver l'identité : ∑_(ε ∈ { − 1, 1}^3)(x_ε^(→−)|s(x_ε^(→−))) = 8/3.
II.B.3) Dans cette question seulement, on rajoute l'hypothèse ν symétrique.
a) Prouver l'existence d'une base (e) telle que (x_ε^(→−)|ν(x_ε^(→−))) = 0 pour tout ε ∈ { − 1, 1}^3.
b) Démontrer l'existence d'un vecteur k⃗ unitaire vérifiant :
0 ≤ (k⃗|s(k⃗)) ≤ 1/3 et (k⃗|ν(k⃗)) = 0
c) Établir l'existence de θ ∈ [π/2, π[ tel que r_(θ, k⃗) ∈ V.
II.B.4) On décompose maintenant ν sous la forme ν_1 + a où ν_1 est symétrique et a antisymétrique. On choisit k⃗_1 unitaire tel que :
0 ≤ (k⃗_1|s(k⃗_1)) ≤ 1/3 et (k⃗_1|ν_1(k⃗_1)) = 0
a) Dans la suite on posera, pour tout réel x :
sgn(x) = 1 si x ≥ 0, − 1 sinon.
On note (e) = (e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)) une base orthonormée de vecteurs propres de s et l'on pose:
k⃗_i = a_i e_1^(→−) + b_i e_2^(→−) + c_i e_3^(→−) pour i = 1, 2.
Démontrer l'existence d'un vecteur unitaire k⃗_2 tel que r_(π, k⃗_2) soit orthogonale à s pour ⟨⟨⟩, ⟩etquelescomposantesdek⃗_2 dans une base de diagonalisation de s soient de mêmes signes que celles de k⃗_1.
b) Justifier l'existence d'une fonction t ↦ k⃗(t) de [0, 1] dans E et d'une fonction t ↦ θ(t) de [0, 1] dans R vérifiant les propriétés suivantes :
k⃗(t) = a(t)e_1^(→−) + b(t)e_2^(→−) + c(t)e_3^(→−) avec :; a(t) = sgn(a_1)√(2ta_2^2 + (1 − 2t)a_1^2) si 0 ≤ t ≤ 1/2, a(1 − t) si 1/2 < t ≤ 1; b(t) = sgn(b_1)√(2tb_2^2 + (1 − 2t)b_1^2) si 0 ≤ t ≤ 1/2, b(1 − t) si 1/2 < t ≤ 1; c(t) = sgn(c_1)√(2tc_2^2 + (1 − 2t)c_1^2) si 0 ≤ t ≤ 1/2, c(1 − t) si 1/2 < t ≤ 1; θ(t) = Arccos((k⃗(t)|s(k⃗(t))))/((k⃗(t)|s(k⃗(t))) − 1) si 0 ≤ t ≤ 1/2, 2π − θ(1 − t) si 1/2 < t ≤ 1
c) Vérifier que k⃗(t) est unitaire et que ρ(t) = r_(θ(t), k⃗(t)), est orthogonale à s pour ⟨⟨⟩, ⟩.
d) Montrer que la fonction t ↦ ⟨⟨ρ(t), ν⟩⟩ de [0, 1] dans ℝ est continue. Étudier les signes de ⟨⟨ρ(0), ν⟩⟩ et de ⟨⟨ρ(1), ν⟩⟩ et prouver qu'existe t tel que ρ(t) ∈ V.

II.C - Cas général

II.C.1) En utilisant le résultat de la question I.B.2, prouver que tout sous espace vectoriel de dimension 7 de L(E) contient au moins un automorphisme orthogonal.
II.C.2) Un sous-espace vectoriel de dimension 6 de L(E) contient-il toujours un automorphisme de E ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 de Centrale MP 2007 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 de Centrale MP 2007 ?

Elle porte sur les espaces euclidiens, l'adjoint d'un endomorphisme, la décomposition polaire, la réduction des endomorphismes symétriques et les automorphismes orthogonaux, notamment les rotations en dimension 3.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale MP 2007 ?

Des erreurs chroniques dès les questions les plus élémentaires, une formule du rang souvent aberrante, une utilisation du procédé de Gram-Schmidt sans justification, et des confusions entre supplémentaire et supplémentaire orthogonal.

Ce sujet de mathématiques 2 Centrale MP 2007 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme plutôt proche du cours, mais souligne que même les questions les plus élémentaires ont révélé des erreurs chroniques, y compris chez les meilleurs candidats.

Faut-il bien connaître la décomposition polaire pour ce sujet Centrale maths 2 MP 2007 ?

Oui, la première partie s'appuie entièrement sur la décomposition polaire d'un endomorphisme d'un espace euclidien, et le rapport note qu'elle a donné une prime aux candidats l'ayant révisée.

Pas de description pour le moment