Centrale Mathématiques 2 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Les calculatrices sont autorisées
Notations :

I.A - On fixe une application φ de E^2 dans IK. On suppose que φ est une forme bilinéaire symétrique sur E, c'est-à-dire que, pour tout (x, y, z) ∈ E^3 et pour tout α ∈ 𝕂, φ(x + αy, z) = φ(x, z) + αφ(y, z) et φ(x, z) = φ(z, x).
I.A.1) Pour tout élément x de E, on note h(x) l'application de E dans E telle que ∀y ∈ E, h(x)(y) = φ(x, y).
a) Montrer que, pour tout x de E, h(x) est élément du dual de E, noté E^∗.
b) Montrer que h est une application linéaire de E dans E^∗.
I.A.2) Si A est une partie de E, on note A^(⊥ φ) = {x ∈ E/∀a ∈ Aφ(x, a) = 0}.

Montrer que A^(⊥ φ) est un sous-espace vectoriel de E.
Par la suite, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté, on notera A^⊥ au lieu de A^(⊥ φ).
I.A.3) On dit que φ est non dégénérée si et seulement si E^(⊥ φ) = {0}.

Montrer que φ est non dégénérée si et seulement si h est un isomorphisme.
I.A.4) Soit e = (e_1, …, e_n) une base de E.

On note e^∗ = (e_1^∗, …, e_n^∗) la base duale de e.
a) Montrer que la matrice de h dans les bases e et e^∗ est:

Cette dernière matrice sera également appelée la matrice de φ dans la base e et notée mat(φ, e)
b) Soit (x, y) ∈ E^2. On note X et Y les matrices colonnes dont les coefficients sont les composantes de x et y dans la base e.
Montrer que φ(x, y) = ^t XΩY où Ω = mat(φ, e) et où ^t X désigne la matrice ligne obtenue en transposant X.

I.B - Siφ est une forme bilinéaire symétrique sur E, on note q_φ l'application de E dans IK définie par: ∀x ∈ E, q_φ(x) = φ(x, x). On dit que q_φ est la forme quadratique associée à φ. On note Q(E) l'ensemble des q_φ où φ est une forme bilinéaire symétrique sur E.
I.B.1) Soit q ∈ Q(E).

Montrer qu'il existe une unique forme bilinéaire symétrique sur E, notée φ, telle que q = q_φ. On dira que φ est la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique q. On dira que q est non dégénérée si et seulement si φ est non dégénérée. Si e est une base de E, on notera mat(q, e) = mat(φ, e). On l'appellera la matrice de q dans la base e.
I.B.2) Soit q une forme quadratique sur E. Soit E^′ un second IK -espace vectoriel de dimension n, et soit q^′ une forme quadratique sur E^′.
On appelle isométrie de ( E, q ) dans ( E^′, q^′ ) tout isomorphisme f de E dans E^′ vérifiant : pour tout x ∈ E, q^′(f(x)) = q(x). On dira que ( E, q ) et ( E^′, q^′ ) sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie de ( E, q ) dans ( E^′, q^′ ).
Montrer que ( E, q ) et ( E^′, q^′ ) sont isométriques si et seulement si il existe une base e de E et une base e^′ de E^′ telles que mat(q, e) = mat(q^′, e^′).
I.B.3) Soit p ∈ ℕ^∗. Notons c = (c_1, …, c_(2p)) la base canonique de 𝕂^(2p).

Pour tout x = ∑_(i = 1)^(2p)x_i c_i ∈ 𝕂^(2p), on pose q_p(x) = 2∑_(i = 1)^p x_i x_(i + p).
a) Montrer que q_p est une forme quadratique sur IK^(2p) et calculer mat (q_p, c).
b) On appelle espace de Artin (ou espace artinien) de dimension 2p tout couple ( F, q ), où F est un IK -espace vectoriel de dimension 2p, et où q est une forme quadratique sur F telle que ( F, q ) et ( K^(2p), q_p ) sont isométriques.
Montrer que dans ce cas, q est non dégénérée.
Lorsque p = 1, on dit que ( F, q ) est un plan artinien.
c) On suppose que IK = ℂ et pour tout

Montrer que ( ℂ^(2p), q ) est un espace de Artin.
d) On suppose que IK = ℝ et pour tout

Montrer que ( ℝ^(2p), q^′ ) est un espace de Artin.
e) Si(F, q) est un espace de Artin de dimension 2p, montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel G de F de dimension p tel que la restriction de q à G est identiquement nulle.

Pour toute la suite de ce problème, on suppose que φ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur E, et on note q sa forme quadratique.

II.A.1) Soit e = (e_1, …, e_n) une base de E. On note encore e^∗ = (e_1^∗, …, e_n^∗) la base duale de e. Soit p ∈ {1, …, n}. On note F l'espace engendré par e_1, …, e_p.
a) Montrer que F^⊥ est l'image réciproque par hdeVect(e_(p + 1)^∗, …, e_n^∗), où h est définie au I.A.1.
b) Montrer que dim(F) + dim(F^⊥) = n.
c) Montrer que (F^⊥)^⊥ = F.
II.A.2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
a) Montrer que (F + G)^⊥ = F^⊥ ∩ G^⊥.
b) Montrer que (F ∩ G)^⊥ = F^⊥ + G^⊥.
II.A.3) Soit F un sous-espace vectoriel de E. On note φ_F la restriction de φ à F^2. On dira que F est singulier si et seulement si φ_F est dégénérée.
Montrer que F est non singulier si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

Soit e = (e_1, …, e_n) une base de E. On dit que e est q-orthogonale si et seulement si, pour tout (i, j) ∈ {1, …, n}^2, avec i ≠ j, φ(e_i, e_j) = 0.
II.B.1) On suppose que E = ℝ^2 et pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, q(x, y) = x^2 − y^2 et q^′(x, y) = 2xy.
Déterminer une base q-orthogonale et une base q^′-orthogonale.
II.B.2) Existe-t-il une base de ℝ^2 orthogonale pour q et pour q^′ définies à la question II.B.1 ?
II.B.3) Supposons que e est à la fois q-orthogonale et q^′-orthogonale.

Montrer que, pour tout i ∈ {1, …, n}, e_i est un vecteur propre de h^(− 1) ∘ h^′.
II.B.4) On suppose que h^(− 1) ∘ h^′ admet n valeurs propres distinctes.

Montrer qu'il existe une base de E orthogonale à la fois pour q et pour q^′.

II.C.1) Soit x ∈ E tel que q(x) = 0 et tel que x ≠ 0.

On se propose de démontrer qu'il existe un plan Π ⊂ E contenant x et tel que ( Π, q_(/Π) ) soit un plan artinien (où q_(/Π) désigne la restriction de l'application q au plan Π ).
a) Démontrer qu'il existe z ∈ E tel que φ(x, z) = 1
b) On pose y = z − (q(z))/2x. Calculer q(y).
c) Conclure.
II.C.2) Soit F un sous-espace vectoriel singulier de E. On suppose que ( e_1, …, e_s ) est une base de F ∩ F^⊥. On note G un supplémentaire de F ∩ F^⊥ dans F.
a) Montrer que G est non singulier.
b) Démontrer par récurrence sur la dimension de F ∩ F^⊥ (en commençant par dim(F ∩ F^⊥) = 1, puis dim(F ∩ F^⊥) > 1 ) qu'il existe s plans P_1, …, P_s de E tels que les trois propriétés suivantes soient vérifiées :

On dira que F¯ est un complété non singulier de F.
II.C.4) Montrer que si q/_F = 0, alors dim(F) ≤ n/2.
II.C.5) On suppose que n = 2p. Montrer que (E, q) est un espace de Artin si et seulement si il existe un sous-espace vectoriel F de E de dimension p tel que q/_F = 0 。

On note O(E, q) l'ensemble des isométries de ( E, q ) dans lui-même, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes f de E vérifiant :
pour tout x ∈ E, q(f(x)) = q(x).

III.A.1) Soit f un endomorphisme de E.
a) Montrer que f ∈ O(E, q) si et seulement si, pour tout (x, y) ∈ E^2 : φ(f(x), f(y)) = φ(x, y).
Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E et si f ∈ O(E, q), alors f(F^⊥) = (f(F))^⊥.
b) Soit e une base de E. Calculer la matrice de la forme bilinéaire :
(x, y) ↦ φ(f(x), f(y)) en fonction de mat(f, e) et de mat(φ, e).
c) Posons M = mat(f, e) et Ω = mat(φ, e).

Montrer que f ∈ O(E, q) si et seulement si Ω = ^t MΩM.
d) Montrer que si f ∈ O(E, q), alors det(f) ∈ {1, − 1}. On notera:

III.A.2) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que E = F ⊕ G. On note s la symétrie par rapport à F parallèlement à G.
a) Montrer que s ∈ O(E, q) si et seulement si F et G sont orthogonaux (pour φ ).
b) En déduire que les symétries de O(E, q) sont les symétries par rapport à F parallèlement à F^⊥, où F est un sous-espace non singulier de E.
c) Lorsque H est un hyperplan non singulier, on appellera réflexion selon H la symétrie par rapport à H parallèlement à H^⊥. Montrer que toute réflexion de E est un élément de O^−(E, q).
d) Soit (x, y) ∈ E^2 tel que q(x) = q(y) et q(x − y) ≠ 0.

On note s la réflexion selon H = {x − y}^⊥. Montrer que s(x) = y.

III.B.1) Supposons que E est un espace artinien de dimension 2p et que F est un sous-espace de E de dimension p tel que q/F = 0.
Si f ∈ O(E, q) avec f(F) = F, montrer que f ∈ O^+(E, q).
III.B.2) Soit F un sous-espace de E tel que F¯ = E (où F¯ est un complété non singulier de F ). Montrer que si f ∈ O(E, q) avec f/_F = Id_F (où Id_F est l'application identité de F dans F ), alors f ∈ O^+(E, q).
III.B.3) Soit f ∈ O(E, q). On suppose que pour tout x ∈ E tel que q(x) ≠ 0, on a f(x) − x ≠ 0 et q(f(x) − x) = 0.
On se propose de démontrer que f ∈ O^+(E, q) et que E est un espace de Artin.
a) Montrer que dim(E) ≥ 3.
b) On note V = Ker(f − Id_E). Montrer que q/_V = 0.
c) Soit x ∈ E tel que q(x) = 0. Notons H = {x}^⊥. Montrer que q/_H n'est pas identiquement nulle.
En déduire qu'il existe y ∈ E tel que q(x + y) = q(x − y) = q(y) ≠ 0.
d) On note U = Im(f − Id_E). Montrer que q/_U = 0.
e) Montrer que U^⊥ = V = U.
f) En déduire que E est un espace de Artin et que f ∈ O^+(E, q).

IV.A - On souhaite démontrer le théorème de Cartan-Dieudonné, dont voici l'énoncé : «si f ∈ O(E, q), f est la composée d'au plus n réflexions, où n = dim(E), en convenant que Id_E est la composée de 0 réflexion.»
IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque n = 1. On veut ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que n > 1 et que le théorème de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant E par tout espace vectoriel de dimension n − 1.
IV.A.2) Conclure lorsqu'il existe x ∈ E tel que f(x) = x avec q(x) ≠ 0.
IV.A.3) Conclure lorsqu'il existe x ∈ E tel que q(x) ≠ 0 et q(f(x) − x) ≠ 0.
IV.A.4) Conclure dans les autres cas.
IV.B - On se propose de démontrer le théorème de Witt, dont voici l'énoncé : «soient F et F^′ deux sous-espaces vectoriels de E tels qu'il existe une isométrie fde(F, q/_F) dans ( F^′, q/_(F^′) ) (la définition d'une isométrie a été donnée au I.B.2). Alors il existe g ∈ O(E, q) telle que g/_F = f.»
IV.B.1) Montrer qu'on peut se ramener au cas où F et F^′ sont non singuliers.
IV.B.2) On suppose que F et F^′ sont non singuliers, avec dim(F) = dim(F^′) = 1. Soit x ∈ F avec x ≠ 0. Posons y = f(x).
a) Montrer que q(x + y) ou q(x − y) est non nul.
b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).
IV.B.3) On suppose maintenant que F et F^′ sont non singuliers, avec dim(F) = dim(F^′) > 1.
a) Montrer qu'il existe F_1 et F_2 non singuliers, tels que F_1 ⊥ F_2 et F = F_1 ⊕ F_2, avecdim(F_1) = dim(F) − 1.
b) Supposons qu'il existe g ∈ O(E, q) telle que g/_(F_1) = f/_(F_1). Notons F_1^′ = f(F_1). Montrer que f(F_2) ⊂ F_1^(′ ⊥) et que g(F_2) ⊂ F_1^(′ ⊥).
c) Montrer qu'il existe

d) Montrer qu'il existe k ∈ O(E, q) telle que k/_F = f.
IV.B.4) Démontrer le théorème de Witt.