Centrale Mathématiques 2 MP 2010

Les calculatrices sont autorisées
Notations :

I.A - On fixe une application de dans IK. On suppose que est une forme bilinéaire symétrique sur , c'est-à-dire que, pour tout et pour tout et .
I.A.1) Pour tout élément de , on note l'application de dans telle que .
a) Montrer que, pour tout de est élément du dual de , noté .
b) Montrer que est une application linéaire de dans .
I.A.2) Si est une partie de , on note .

Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Par la suite, lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté, on notera au lieu de .
I.A.3) On dit que est non dégénérée si et seulement si .

Montrer que est non dégénérée si et seulement si est un isomorphisme.
I.A.4) Soit une base de .

On note la base duale de .
a) Montrer que la matrice de dans les bases et est:

Cette dernière matrice sera également appelée la matrice de dans la base et notée
b) Soit . On note et les matrices colonnes dont les coefficients sont les composantes de et dans la base .
Montrer que où et où désigne la matrice ligne obtenue en transposant .

I.B - est une forme bilinéaire symétrique sur , on note l'application de dans IK définie par: . On dit que est la forme quadratique associée à . On note l'ensemble des où est une forme bilinéaire symétrique sur .
I.B.1) Soit .

Montrer qu'il existe une unique forme bilinéaire symétrique sur , notée , telle que . On dira que est la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique . On dira que est non dégénérée si et seulement si est non dégénérée. Si est une base de , on notera . On l'appellera la matrice de dans la base .
I.B.2) Soit une forme quadratique sur . Soit un second IK -espace vectoriel de dimension , et soit une forme quadratique sur .
On appelle isométrie de ( ) dans ( ) tout isomorphisme de dans vérifiant : pour tout . On dira que ( ) et ( ) sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie de ( ) dans ( ).
Montrer que ( ) et ( ) sont isométriques si et seulement si il existe une base de et une base de telles que .
I.B.3) Soit . Notons la base canonique de .

Pour tout , on pose .
a) Montrer que est une forme quadratique sur et calculer mat .
b) On appelle espace de Artin (ou espace artinien) de dimension tout couple ( ), où est un IK -espace vectoriel de dimension , et où est une forme quadratique sur telle que ( ) et ( ) sont isométriques.
Montrer que dans ce cas, est non dégénérée.
Lorsque , on dit que ( ) est un plan artinien.
c) On suppose que et pour tout

Montrer que ( ) est un espace de Artin.
d) On suppose que et pour tout

Montrer que ( ) est un espace de Artin.
e) est un espace de Artin de dimension , montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de de dimension tel que la restriction de à est identiquement nulle.

Pour toute la suite de ce problème, on suppose que est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur , et on note sa forme quadratique.

II.A.1) Soit une base de . On note encore la base duale de . Soit . On note l'espace engendré par .
a) Montrer que est l'image réciproque par , où est définie au I.A.1.
b) Montrer que .
c) Montrer que .
II.A.2) Soient et deux sous-espaces vectoriels de .
a) Montrer que .
b) Montrer que .
II.A.3) Soit un sous-espace vectoriel de . On note la restriction de à . On dira que est singulier si et seulement si est dégénérée.
Montrer que est non singulier si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :

Soit une base de . On dit que est -orthogonale si et seulement si, pour tout , avec .
II.B.1) On suppose que et pour tout et .
Déterminer une base -orthogonale et une base -orthogonale.
II.B.2) Existe-t-il une base de orthogonale pour et pour définies à la question II.B.1 ?
II.B.3) Supposons que est à la fois -orthogonale et -orthogonale.

Montrer que, pour tout est un vecteur propre de .
II.B.4) On suppose que admet valeurs propres distinctes.

Montrer qu'il existe une base de orthogonale à la fois pour et pour .

II.C.1) Soit tel que et tel que .

On se propose de démontrer qu'il existe un plan contenant et tel que ( ) soit un plan artinien (où désigne la restriction de l'application au plan ).
a) Démontrer qu'il existe tel que
b) On pose . Calculer .
c) Conclure.
II.C.2) Soit un sous-espace vectoriel singulier de . On suppose que ( ) est une base de . On note un supplémentaire de dans .
a) Montrer que est non singulier.
b) Démontrer par récurrence sur la dimension de (en commençant par , puis ) qu'il existe plans de tels que les trois propriétés suivantes soient vérifiées :

On dira que est un complété non singulier de .
II.C.4) Montrer que si , alors .
II.C.5) On suppose que . Montrer que est un espace de Artin si et seulement si il existe un sous-espace vectoriel de de dimension tel que 。

On note l'ensemble des isométries de ( ) dans lui-même, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de vérifiant :
pour tout .

III.A.1) Soit un endomorphisme de .
a) Montrer que si et seulement si, pour tout : .
Montrer que si est un sous-espace vectoriel de et si , alors .
b) Soit une base de . Calculer la matrice de la forme bilinéaire :
en fonction de et de .
c) Posons et .

Montrer que si et seulement si .
d) Montrer que si , alors . On notera:

III.A.2) Soient et deux sous-espaces vectoriels de tels que . On note la symétrie par rapport à parallèlement à .
a) Montrer que si et seulement si et sont orthogonaux (pour ).
b) En déduire que les symétries de sont les symétries par rapport à parallèlement à , où est un sous-espace non singulier de .
c) Lorsque est un hyperplan non singulier, on appellera réflexion selon la symétrie par rapport à parallèlement à . Montrer que toute réflexion de est un élément de .
d) Soit tel que et .

On note la réflexion selon . Montrer que .

III.B.1) Supposons que est un espace artinien de dimension et que est un sous-espace de de dimension tel que .
Si avec , montrer que .
III.B.2) Soit un sous-espace de tel que (où est un complété non singulier de ). Montrer que si avec (où est l'application identité de dans ), alors .
III.B.3) Soit . On suppose que pour tout tel que , on a et .
On se propose de démontrer que et que est un espace de Artin.
a) Montrer que .
b) On note . Montrer que .
c) Soit tel que . Notons . Montrer que n'est pas identiquement nulle.
En déduire qu'il existe tel que .
d) On note . Montrer que .
e) Montrer que .
f) En déduire que est un espace de Artin et que .

IV.A - On souhaite démontrer le théorème de Cartan-Dieudonné, dont voici l'énoncé : «si , est la composée d'au plus réflexions, où , en convenant que est la composée de 0 réflexion.»
IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque . On veut ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que et que le théorème de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant par tout espace vectoriel de dimension .
IV.A.2) Conclure lorsqu'il existe tel que avec .
IV.A.3) Conclure lorsqu'il existe tel que et .
IV.A.4) Conclure dans les autres cas.
IV.B - On se propose de démontrer le théorème de Witt, dont voici l'énoncé : «soient et deux sous-espaces vectoriels de tels qu'il existe une isométrie dans ( ) (la définition d'une isométrie a été donnée au I.B.2). Alors il existe telle que
IV.B.1) Montrer qu'on peut se ramener au cas où et sont non singuliers.
IV.B.2) On suppose que et sont non singuliers, avec . Soit avec . Posons .
a) Montrer que ou est non nul.
b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).
IV.B.3) On suppose maintenant que et sont non singuliers, avec .
a) Montrer qu'il existe et non singuliers, tels que et , .
b) Supposons qu'il existe telle que . Notons . Montrer que et que .
c) Montrer qu'il existe

d) Montrer qu'il existe telle que .
IV.B.4) Démontrer le théorème de Witt.