Centrale Mathématiques 2 PC 2016

Dans tout le texte, est l'ensemble des entiers naturels, l'ensemble des réels, désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 et est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus .
Pour dans , on note l'ensemble .
Pour , on note le polynôme . On rappelle que est un -espace vectoriel de dimension dont la famille est une base. Pour , on note le degré de et, lorsque est non nul, désigne le coefficient dominant de , c'est-à-dire le coefficient du monôme .
Pour et , le coefficient binomial vaut .
Pour un ensemble et , on définit par récurrence sur l'application de la façon suivante:

Si est bijective, on note la réciproque de et pour , on note .
Pour , on note l'ensemble des matrices carrées réelles de taille .

L'opérateur de translation est l'endomorphisme de donné par

I.A.1) Pour un polynôme non nul , exprimer et à l'aide de et .
I.A.2) Soit . Pour , donner l'expression de en fonction de .
I.A.3) Donner la matrice de dans la base . On exprimera les coefficients en fonction de et .
I.A.4) Préciser l'ensemble des valeurs propres de . L'application est-elle diagonalisable ?
I.A.5) L'application est-elle bijective ? Si oui, préciser . L'expression de trouvée à la question I.A. 2 pour est-elle valable pour ?
I.A.6) Que vaut ? Exprimer les coefficients en fonction de et .
I.A.7) On se donne une suite réelle et on définit pour tout entier

Déterminer une matrice telle que

I.A.8) En déduire la formule d'inversion : pour tout entier ,

I.A.9) On considère un réel et la suite . Quelle est la suite définie par la formule (I.1) ? Vérifier alors la formule (I.2).

L'opérateur de différence est l'endomorphisme de tel que :

I.B.1) Pour un polynôme non constant , exprimer et à l'aide de et .
I.B.2) En déduire le noyau et l'image de l'endomorphisme .
I.B.3) Plus généralement, pour , montrer les égalités suivantes :

I.B.4) Pour et , exprimer en fonction des pour .
I.B.5) Soit . Montrer que

I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire telle que . On suppose, par l'absurde, qu'une telle application existe.
a) Montrer que et commutent.
b) En déduire que est stable par l'application .
c) Montrer qu'il n'existe pas de matrice telle que

d) Conclure.
I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous-espaces vectoriels de stables par l'application .
a) Pour un polynôme non nul de degré , montrer que la famille ( ) est libre. Quel est l'espace vectoriel engendré par cette famille?
b) En déduire que si est un sous-espace vectoriel de stable par et non réduit à , il existe un entier tel que .

Pour tout couple ( ) d'entiers naturels non nuls, on note le nombre de surjections de dans . De façon cohérente, pour tout , on pose .

II.A.1) Que vaut pour ?
II.A.2) Déterminer .
II.A.3) Déterminer .

II.B.1) Combien y a-t-il d'applications de dans ?
II.B.2) Pour , établir la formule

où par convention.
II.B.3) En déduire une expression de pour .
II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette expression pour .
II. - Simplifier autant que possible les expressions suivantes :

On considère la famille de polynômes

III.A.1) Montrer que la famille est une base de .
III.A.2) Calculer et, pour , exprimer à l'aide de .
III.A.3) La matrice définie à la question I.A. 3 et la matrice de taille donnée par

sont-elles semblables?
III.A.4) Montrer que, pour ,

III.A.5) Montrer que, pour tout ,

III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme dans la base ( ) de .
III.B.2) En déduire un polynôme tel que

III.B.3) Déterminer les suites réelles telles que

III.C.1) Soit . Calculer . On distinguera trois cas : et . Pour ce dernier cas, on posera .
III.C.2) En déduire que , c'est-à-dire que est à valeurs entières sur les entiers.
III.C.3) Soit à valeurs entières sur les entiers. Montrer que est aussi à valeurs entières sur les entiers.
III.C.4) Montrer que est à valeurs entières sur les entiers si et seulement si ses coordonnées dans la base sont entières.
III.C.5) Soit de degré . Montrer que si est à valeurs entières sur les entiers alors est un polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque.

Pour une application de classe , on définit l'application

IV.A.1) Montrer que est de classe sur . Comparer et .
IV.A.2) Pour et , exprimer à l'aide des coefficients binomiaux et des (où l'indice appartient à ).
IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout , il existe un tel que

IV.A.4) En déduire que pour tout , pour tout , il existe un tel que

On pourra procéder par récurrence sur et utiliser les trois questions précédentes.
IV.B - On considère dans toute la suite de cette partie un réel . On suppose que pour tout nombre premier, est un entier naturel. On se propose de montrer que est alors un entier naturel.
IV.B.1) Montrer que pour tout entier strictement positif, appartient à .
IV.B.2) Montrer que est positif ou nul.
IV.B.3) On considère l'application définie sur par . Montrer que est un entier naturel si et seulement si l'une des dérivées successives de s'annule en au moins un réel strictement positif.
et à l'entier (où désigne la partie entière). On choisit désormais .
IV.C.1) Montrer que l'expression

est un entier relatif.
IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite de l'expression quand tend vers ?
IV.C.3) Conclure.