WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 2 PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

4,0(1 vote)
Faisable en Sup
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2016FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Centrale PC MathématiquesCentrale PC 2016PC MathématiquesMathématiques 2016

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Accessible
Opérateurs de translation et de différence sur les polynômes, surjections et polynômes à valeurs entières
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie le changement de variable X ↦ X+1 et l'opérateur de différence P(X+1) − P(X) sur l'espace des polynômes réels. Il en tire des applications au dénombrement des surjections, à une base de polynômes adaptée et à la classification des polynômes qui envoient ℤ dans ℤ. La dernière partie montre que t ↦ t^α n'envoie les entiers dans les entiers que si α est un entier naturel.

  1. 1Partie I : l'opérateur de translation et l'opérateur de différenceMatrice de la translation avec les coefficients binomiaux, valeurs propres, inverse, noyau et image des puissances de l'opérateur de différence, sous-espaces stables.
  2. 2Partie II : applications en combinatoireDénombrement des surjections d'un ensemble fini dans un autre et formule générale.
  3. 3Partie III : étude d'une famille de polynômesBase des polynômes H_k, changement de base, suite récurrente et polynômes à valeurs entières sur les entiers.
  4. 4Partie IV : généralisation de l'opérateur de différence et applicationOpérateur de différence sur les fonctions de classe C∞, application des accroissements finis et étude de x ↦ x^α.

Accessible. Le rapport souligne que de nombreuses questions sont très simples et relèvent de l'application directe du cours, la principale lacune portant sur le dénombrement.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Erreurs d'indexation · Confusion entre variable, fonction et opérateur · Dénombrement des surjections non maîtrisé
Afficher ou masquer la section

Le sujet mobilise surtout l'algèbre linéaire élémentaire, que les candidats maîtrisent bien, y compris dans sa traduction matricielle. La seule vraie lacune concerne le dénombrement de la partie II. Beaucoup de candidats se sont limités à la partie I alors qu'ils auraient gagné à aborder la partie III, et la partie IV a été trop peu traitée pour être commentée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Erreurs d'indexationI.A.3, I.A.6, I.A.7

    Les indices des coefficients binomiaux ont été mal gérés et il fallait préciser que la matrice est nulle sous la diagonale. Les mêmes erreurs reviennent aux questions suivantes, avec une confusion entre les matrices Q et M.

    « Beaucoup d’erreurs d’indexation à au moins un des deux indices. »
  2. 2
    Confusion entre variable, fonction et opérateurI.A.2, I.B.5

    Des écritures comme δ appliqué à P(0) mélangent les niveaux et ont parfois trompé le candidat lui-même.

    « La confusion très fréquente entre les différents niveaux variable/fonction/opérateur a vraiment entrainé des erreurs. »
  3. 3
    Dénombrement des surjections non maîtriséII.A.2, II.A.3

    Une question jugée immédiate par le jury n'a pas été réussie par tous, et la suivante n'a été résolue que par quelques dizaines de candidats.

    « Il y a une faiblesse dans la compréhension des ensembles finis, une partie pourtant importante de l’algèbre. »
  4. 4
    Calculs inutilement longsI.B.3, I.B.4, III.A.2

    Plusieurs questions ont donné lieu à des démonstrations ou des calculs très longs, alors qu'un usage adapté du théorème du rang ou de la matrice suffisait.

    « On a vu des démonstrations souvent inutilement longues. »
  5. 5
    Sous-espace stable mal traitéI.B.7b

    Peu de candidats ont pensé à considérer un polynôme de plus grand degré dans le sous-espace, et certains ont confondu ce degré avec la dimension.

    « Cette question a posé de gros problèmes aux candidats. »
  6. 6
    Coefficient dominant mal calculéI.B.1

    Le calcul du coefficient dominant a produit beaucoup d'erreurs et des formules très compliquées.

Ce qui a été bien réussi

  • Le critère de diagonalisabilité par la dimension des espaces propres est souvent appliqué avec succès (I.A.4).
  • Le théorème du rang est utilisé à bon escient par de très nombreux candidats (I.B.2).
  • La discussion de cas en I.B.6c est menée avec un certain succès, même par des candidats faibles.
  • La notion de famille de polynômes échelonnée en degrés est bien connue (I.B.7a).

Conseils du jury

  • Soigner l'écriture des formules et le domaine des indices.
  • Ne pas se cantonner à la première partie quand les questions sont simples : aborder aussi les parties suivantes.
  • Rédiger avec concision pour pouvoir traiter davantage de questions.
  • Revoir le dénombrement et les ensembles finis, ainsi que la formule des coefficients binomiaux.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
Dans tout le texte, ℕ est l'ensemble des entiers naturels, ℝ l'ensemble des réels, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1 et ℝ_n[X] est l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus n.
Pour a < b dans ℤ, on note [ [a, b] ] l'ensemble [a, b] ∩ ℤ.
Pour k ∈ ℕ^∗, on note P_k le polynôme X^(k − 1). On rappelle que ℝ_n[X] est un ℝ-espace vectoriel de dimension n + 1 dont la famille (P_k)_(k ∈ [ [1, n + 1] ]) est une base. Pour P ∈ ℝ_n[X], on note deg(P) le degré de P et, lorsque P est non nul, cd(P) désigne le coefficient dominant de P, c'est-à-dire le coefficient du monôme X^(deg(P)).
Pour k ∈ ℕ et j ∈ [ [0, k] ], le coefficient binomial (k/j) vaut (k!)/(j!(k − j)!).
Pour un ensemble E et f : E → E, on définit par récurrence sur k ∈ ℕ l'application f^k : E → E de la façon suivante:
f^0 = Id_E et f^(k + 1) = f ∘ f^k
Si f est bijective, on note f^(− 1) la réciproque de f et pour k ∈ ℕ, on note f^(− k) = (f^(− 1))^k.
Pour p ∈ ℕ^∗, on note M_p(ℝ) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille p.

I L'opérateur de translation et l'opérateur de différence

I.A - L'opérateur de translation

L'opérateur de translation est l'endomorphisme τ de ℝ_n[X] donné par
τ : {ℝ_n[X] → ℝ_n[X]; P(X) ↦ P(X + 1)
I.A.1) Pour un polynôme non nul P ∈ ℝ_n[X], exprimer deg(τ(P)) et cd(τ(P)) à l'aide de deg(P) et cd(P).
I.A.2) Soit P ∈ ℝ_n[X]. Pour k ∈ ℕ, donner l'expression de τ^k(P) en fonction de P.
I.A.3) Donner la matrice M = (M_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n + 1) de τ dans la base (P_k)_(k ∈ [ [1, n + 1] ]). On exprimera les coefficients M_(i, j) en fonction de i et j.
I.A.4) Préciser l'ensemble des valeurs propres de τ. L'application τ est-elle diagonalisable ?
I.A.5) L'application τ est-elle bijective ? Si oui, préciser τ^(− 1). L'expression de τ^j trouvée à la question I.A. 2 pour j ∈ ℕ est-elle valable pour j ∈ ℤ ?
I.A.6) Que vaut M^(− 1) ? Exprimer les coefficients (M^(− 1))_(i, j) en fonction de i et j.
I.A.7) On se donne une suite réelle (u_k)_(k ∈ ℕ) et on définit pour tout entier k ∈ ℕ
v_k = ∑_(j = 0)^k(k/j)u_j
Déterminer une matrice Q ∈ M_(n + 1)(ℝ) telle que
(v_0; v_1; ⋮; v_n) = Q(u_0; u_1; ⋮; u_n)
I.A.8) En déduire la formule d'inversion : pour tout entier k ∈ ℕ,
u_k = ∑_(j = 0)^k(− 1)^(k − j)(k/j)v_j
I.A.9) On considère un réel λ et la suite (u_k = λ^k)_(k ∈ ℕ). Quelle est la suite (v_k)_(k ∈ ℕ) définie par la formule (I.1) ? Vérifier alors la formule (I.2).

I.B - L'opérateur de différence

L'opérateur de différence est l'endomorphisme δ de ℝ_n[X] tel que δ = τ − Id_(ℝ_n[X]) :
δ : {ℝ_n[X] → ℝ_n[X]; P(X) ↦ P(X + 1) − P(X)
I.B.1) Pour un polynôme non constant P ∈ ℝ_n[X], exprimer deg(δ(P)) et cd(δ(P)) à l'aide de deg(P) et cd(P).
I.B.2) En déduire le noyau ker(δ) et l'image Im(δ) de l'endomorphisme δ.
I.B.3) Plus généralement, pour j ∈ [ [1, n] ], montrer les égalités suivantes :
ker(δ^j) = ℝ_(j − 1)[X] et Im(δ^j) = ℝ_(n − j)[X]
I.B.4) Pour k ∈ ℕ et P ∈ ℝ_n[X], exprimer δ^k(P) en fonction des τ^j(P) pour j ∈ [ [0, k] ].
I.B.5) Soit P ∈ ℝ_(n − 1)[X]. Montrer que
∑_(j = 0)^n(− 1)^(n − j)(n/j)P(j) = 0
I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire u : ℝ_n[X] → ℝ_n[X] telle que u ∘ u = δ. On suppose, par l'absurde, qu'une telle application u existe.
a) Montrer que u et δ^2 commutent.
b) En déduire que ℝ_1[X] est stable par l'application u.
c) Montrer qu'il n'existe pas de matrice A ∈ M_2(ℝ) telle que
A^2 = (0, 1; 0, 0)
d) Conclure.
I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous-espaces vectoriels de ℝ_n[X] stables par l'application δ.
a) Pour un polynôme non nul P de degré d ⩽ n, montrer que la famille ( P, δ(P), …, δ^d(P) ) est libre. Quel est l'espace vectoriel engendré par cette famille?
b) En déduire que si V est un sous-espace vectoriel de ℝ_n[X] stable par δ et non réduit à {0}, il existe un entier d ∈ [ [0, n] ] tel que V = ℝ_d[X].

II Applications en combinatoire

Pour tout couple ( p, k ) d'entiers naturels non nuls, on note S(p, k) le nombre de surjections de [ [1, p] ] dans [ [1, k] ]. De façon cohérente, pour tout p ∈ ℕ^∗, on pose S(p, 0) = 0.

II.A - Quelques cas particuliers

II.A.1) Que vaut S(p, n) pour p < n ?
II.A.2) Déterminer S(n, n).
II.A.3) Déterminer S(n + 1, n).

II.B - Recherche d'une expression générale

II.B.1) Combien y a-t-il d'applications de [ [1, p] ] dans [ [1, n] ] ?
II.B.2) Pour p ⩾ n, établir la formule
n^p = ∑_(k = 0)^n(n/k)S(p, k)
où S(p, 0) = 0 par convention.
II.B.3) En déduire une expression de S(p, n) pour p ⩾ n.
II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette expression pour p < n.
II. C - Simplifier autant que possible les expressions suivantes :
∑_(k = 0)^n(− 1)^(n − k)(n/k)k^n et ∑_(k = 0)^n(− 1)^(n − k)(n/k)k^(n + 1)

III Étude d'une famille de polynômes

On considère la famille de polynômes
{H_0 = 1; H_k = 1/(k!)∏_(j = 0)^(k − 1)(X − j) pour k ∈ [ [1, n] ]

III.A - Généralités

III.A.1) Montrer que la famille (H_k)_(k ∈ [ [0, n] ]) est une base de ℝ_n[X].
III.A.2) Calculer δ(H_0) et, pour k ∈ [ [1, n] ], exprimer δ(H_k) à l'aide de H_(k − 1).
III.A.3) La matrice M définie à la question I.A. 3 et la matrice M^′ de taille n + 1 donnée par
M^′ = (1, 1, 0, …, 0; 0, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 1; 0, …, …, 0, 1)
sont-elles semblables?
III.A.4) Montrer que, pour k, l ∈ [ [0, n] ],
δ^k(H_l)(0) = {1, si k = l; 0, si k ≠ l
III.A.5) Montrer que, pour tout P ∈ ℝ_n[X],
P = ∑_(k = 0)^n(δ^k(P))(0)H_k

III.B - Étude d'un exemple

III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme X^3 + 2X^2 + 5X + 7 dans la base ( H_0, H_1, H_2, H_3 ) de ℝ_3[X].
III.B.2) En déduire un polynôme P ∈ ℝ_5[X] tel que
δ^2(P) = X^3 + 2X^2 + 5X + 7
III.B.3) Déterminer les suites réelles (u_k)_(k ∈ ℕ) telles que
u_(k + 2) − 2u_(k + 1) + u_k = k^3 + 2k^2 + 5k + 7 (k ∈ ℕ)

III.C - Polynômes à valeurs entières

III.C.1) Soit k ∈ ℤ. Calculer H_n(k). On distinguera trois cas : k ∈ [ [0, n − 1] ], k ⩾ n et k < 0. Pour ce dernier cas, on posera k = − p.
III.C.2) En déduire que H_n(ℤ) ⊂ ℤ, c'est-à-dire que H_n est à valeurs entières sur les entiers.
III.C.3) Soit P ∈ ℝ_n[X] à valeurs entières sur les entiers. Montrer que δ(P) est aussi à valeurs entières sur les entiers.
III.C.4) Montrer que P ∈ ℝ_n[X] est à valeurs entières sur les entiers si et seulement si ses coordonnées dans la base (H_k)_(k ∈ [ [0, n] ]) sont entières.
III.C.5) Soit P ∈ ℝ[X] de degré d ∈ ℕ. Montrer que si P est à valeurs entières sur les entiers alors d!P est un polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque.

IV Généralisation de l'opérateur de différence et application

Pour une application f : ℝ_+^∗ → ℝ de classe C^∞, on définit l'application
δ(f) : {ℝ_+^∗ → ℝ; x ↦ f(x + 1) − f(x)

IV.A -

IV.A.1) Montrer que δ(f) est de classe C^∞ sur ℝ_+^∗. Comparer (δ(f))^′ et δ(f^′).
IV.A.2) Pour n ∈ ℕ et x > 0, exprimer (δ^n(f))(x) à l'aide des coefficients binomiaux (n/j) et des f(x + j) (où l'indice j appartient à [ [0, n] ] ).
IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout x > 0, il existe un y_1 ∈ ]0, 1[ tel que
(δ(f))(x) = f^′(x + y_1)
IV.A.4) En déduire que pour tout x > 0, pour tout n ∈ ℕ^∗, il existe un y_n ∈ ]0, n[ tel que
∑_(j = 0)^n(− 1)^(n − j)(n/j)f(x + j) = f^((n))(x + y_n)
On pourra procéder par récurrence sur n ∈ ℕ^∗ et utiliser les trois questions précédentes.
IV.B - On considère dans toute la suite de cette partie un réel α. On suppose que pour tout nombre p premier, p^α est un entier naturel. On se propose de montrer que α est alors un entier naturel.
IV.B.1) Montrer que pour tout entier k strictement positif, k^α appartient à ℕ^∗.
IV.B.2) Montrer que α est positif ou nul.
IV.B.3) On considère l'application f_α définie sur ℝ_+^∗ par f_α(x) = x^α. Montrer que α est un entier naturel si et seulement si l'une des dérivées successives de f_α s'annule en au moins un réel strictement positif.
IV.C − On applique la relation (IV.1) à la fonction f_α et à l'entier n = ⌊α⌋ + 1 (où ⌊ ⋅ ⌋ désigne la partie entière). On choisit désormais x ∈ ℕ^∗.
IV.C.1) Montrer que l'expression
∑_(j = 0)^n(− 1)^(n − j)(n/j)f_α(x + j)
est un entier relatif.
IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite de l'expression f_α^((n))(x + y_n) quand x ∈ ℕ^∗ tend vers + ∞ ?
IV.C.3) Conclure.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2016 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2016 ?

Il porte surtout sur l'algèbre linéaire dans les espaces de polynômes (noyau, image, théorème du rang, valeurs propres, matrices), avec du dénombrement et, en fin de sujet, de l'analyse avec les accroissements finis.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Centrale PC 2016 ?

Les erreurs d'indexation, la confusion entre variable, fonction et opérateur, des calculs inutilement longs et un dénombrement des surjections très rarement réussi.

Le sujet de maths 2 Centrale PC 2016 est-il difficile ?

Le rapport indique que de nombreuses questions sont très simples et s'appuient directement sur le cours. Le jury regrette que beaucoup de candidats se soient arrêtés à la partie I.

Quelle partie travailler en priorité dans le sujet maths 2 Centrale PC 2016 ?

Le jury conseille de ne pas s'arrêter à la partie I et cite en particulier la partie III sur les polynômes à valeurs entières. La partie II permet de retravailler le dénombrement, point faible relevé par le rapport.

Pas de description pour le moment