Centrale Mathématiques 2 PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Notations. Dans tout le problème, on ne considère que des matrices carrées réelles. On désigne par E l'espace vectoriel réel des matrices carrées (réelles) d'ordre 2, c'est-à-dire à 2 lignes et 2 colonnes. Si M = (a, b; c, d) ∈ E, on rappelle la définition de sa trace Tr(M) = a + d et de son polynôme caractéristique

où 𝕀_2 désigne la matrice identité et det le déterminant d'ordre 2 .
En outre, on identifie les espaces vectoriels réels ℝ^2 et 𝔐_(2, 1)(ℝ) et on munit ℝ^2 de son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée.
On pose donc, pour X = ((x_1)/(x_2)) ∈ ℝ^2, ‖X‖ = √(x_1^2 + x_2^2).
On rappelle enfin qu'une matrice carrée réelle A d'ordre 2 est orthogonale si, et seulement si, ^t AA = 𝕀_2. L'ensemble des matrices orthogonales réelles d'ordre 2 est noté O_2.

On désigne par S_2 l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre 2.

I.A -
I.A.1) Démontrer que si deux matrices de E sont semblables, elles ont même trace et même polynôme caractéristique. La réciproque est-elle vraie? Justifier la réponse.
I.A.2) Démontrer que Φ : (M_1, M_2) ⟼ Tr(^t M_1 M_2) définit un produit scalaire sur E. Pour la suite du problème, E pourra être muni de la norme associée à ce produit scalaire.
I.A.3) Démontrer que, pour toute matrice M ∈ E, on a |det(M)| ⩽ 1/2Tr(^t MM). Quand y a-t-il égalité?
I.A.4) Pour M ∈ E et x ∈ ℝ, exprimer χ_M(x) en fonction de x, Tr(M) et det(M). En conclure que 1 est une valeur propre de M si, et seulement si, Tr(M) = 1 + det(M).

On donne dans cette question M = (a, b; c, d) élément de E, avec (a, b, c, d) ∈ ℝ^4.
I.B.1) Si θ ∈ ℝ, on pose P(θ) = (cosθ, − sinθ; sinθ, cosθ) et φ(θ) = Tr(MP(θ)).

Démontrer que φ est une application bornée de ℝ dans ℝ et qu'il existe θ_1 ∈ ℝ en lequel φ atteint son maximum. En choisissant alors un tel θ_1 et en considérant φ^′(θ_1), démontrer que MP(θ_1) est une matrice symétrique.
I.B.2) En déduire que M ∈ E peut se mettre sous la forme P(t_1)DP(t_2), où (t_1, t_2) ∈ ℝ^2 et où D est une matrice diagonale de E.

Remarque : on a établi que toute matrice M ∈ E peut se mettre sous la forme M = UDV, où D est diagonale et U, V orthogonales.
I.B.3) Exemple : décomposer la matrice M_0 = (1, 0; 1, 0) sous la forme P(t_1)DP(t_2), où (t_1, t_2) ∈ ℝ^2.
I.C - Soit A ∈ E, U et V des matrices orthogonales d'ordre 2 et B = UAV. Démontrer que ^t AA et ^t BB sont semblables.
On ne demande pas de démontrer le résultat suivant, qui est admis : toute matrice M ∈ E peut se mettre sous la forme P(t_1)DP(t_2), où (t_1, t_2) ∈ ℝ^2 et où D = (α, 0; 0, β) ∈ E vérifie en outre α ⩽ β et β ⩾ 0.

On désigne par ℛ l'ensemble des matrices M ∈ E telles que ‖MX‖ ⩽ ‖X‖ pour tout vecteur-colonne X ∈ ℝ^2.
II.A - Reformuler la définition de ℛ en utilisant la notion de norme subordonnée.
II.B -
II.B.1) Si M = (a, b; c, d) ∈ ℛ, démontrer que ( a, b, c, d ) appartient [ − 1, 1]^4.

Démontrer que ℛ est un compact de E.
Si (M_1, M_2) ∈ E^2, on définit le segment [M_1 M_2] comme l'ensemble des matrices de la forme (1 − t)M_1 + tM_2, où t décrit [0, 1].
II.B.2) Démontrer que ℛ est aussi un convexe de E, c'est-à-dire que, si M_1 et M_2 sont deux matrices de ℛ, le segment [ M_1 M_2 ] est inclus dans ℛ.
II.C -
II.C.1) Démontrer que M ∈ ℛ ⟺ ∀X ∈ ℝ^2, ^t X^t MMX ⩽ ^t XX.
II.C.2)
a) Si M ∈ E, justifier le fait que le polynôme caractéristique de ^t MM est de la forme (x − λ_1)(x − λ_2), avec λ_1 et λ_2 réels.
Démontrer ensuite que ces réels sont positifs ou nuls.
On pourra considérer des expressions de la forme ^t X^t MMX.
b) Démontrer que M ∈ ℛ si, et seulement si, les valeurs propres de ^t MM appartiennent à [0, 1].
II.D - Déduire en particulier de II.C.2.a que

II.E - On définit 𝒮 comme :

II.E.1) En reprenant les calculs de II.C.2.a, démontrer que M appartient à 𝒮 si, et seulement si, le polynôme caractéristique de ^t MM est de la forme (x − λ)(x − 1), où λ ∈ [0, 1].
II.E.2) Si M ∈ E, on l'écrit sous la forme M = P(t_1)DP(t_2), où (t_1, t_2) ∈ ℝ^2 et où D = (α, 0; 0, β) avec α ⩽ β et β ⩾ 0.
a) Déterminer les valeurs propres de ^t MM en fonction de α et β.
b) Démontrer que M ∈ 𝒮 si, et seulement si, il existe U et V, matrices orthogonales d'ordre 2 et γ ∈ [ − 1, 1] tels que M = U(γ, 0; 0, 1)V.
II.E.3) En déduire que, si M est une matrice non orthogonale de 𝒮, il existe des matrices orthogonales W et W^′ d'ordre 2 telles que M appartienne au segment [ WW^′ ].
On pourra montrer d'abord que si M est de la forme (γ, 0; 0, 1), avec γ ∈ ] − 1, 1[, on peut choisir W et W^′ orthogonales et diagonales telles que M appartienne au segment [ WW^′ ].
II.F - On désigne par E_1 l'ensemble des matrices de la forme (a, − b; b, a), avec (a, b) ∈ ℝ^2 et par E_2 l'ensemble des matrices de la forme (c, d; d, − c), avec (c, d) ∈ ℝ^2.
II.F.1) Démontrer que E_1 et E_2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E orthogonaux au sens du produit scalaire Φ défini en I.A.2
II.F.2) Démontrer que E_1 contient toutes les matrices orthogonales d'ordre 2 et de déterminant +1 et que E_2 contient toutes les matrices orthogonales d'ordre 2 et de déterminant -1 .
II.F.3) Lorsque M est une matrice non orthogonale de 𝒮, déduire de ce qui précède le nombre de segments [ WW^′ ] - où W et W^′ sont orthogonales - contenant M.

III.A.1) Si M = (a, b; c, d), démontrer que que M ∈ 𝒮 implique

On désigne par ℋ l'ensemble des matrices M ∈ E vérifiant cette dernière relation.
a) Réciproquement, à quelle condition, vérifiée par son déterminant, une matrice M ∈ ℋ appartient-elle à 𝒮 ?
b) Démontrer qu'une matrice M ∈ ℋ appartient à 𝒮 si et seulement si Tr(^t MM) ⩽ 2.

III.B.1) Si (A, B) ∈ E_1 × E_2, calculer det(A + B) en fonction de det(A) et de det(B).

Si (M_1, M_2) ∈ E^2, avec M_1 ≠ M_2 on définit la droite affine ( M_1 M_2 ) comme l'ensemble des matrices de la forme (1 − t)M_1 + tM_2, où t décrit ℝ. Dans la suite, on l'appellera droite ( M_1 M_2 ).
III.B.2) Démontrer que, si W et W^′ sont des matrices orthogonales éléments de E, telles que det(W) = + 1 et det(W^′) = − 1, la droite ( WW^′ ) est incluse dans ℋ. Réciproquement, ℋ est-elle réunion de droites de cette forme?

IV.A - Si M ∈ E, on rappelle que le polynôme caractéristique de ^t MM est de la forme (x − λ_1)(x − λ_2), avec (λ_1, λ_2) ∈ ℝ^2, λ_1 ⩾ 0 et λ_2 ⩾ 0. Pour fixer les idées, on suppose 0 ⩽ λ_1 ⩽ λ_2.
On suppose M ≠ 0. Déterminer en fonction de λ_1 et λ_2 le nombre de réels t positifs tels que tM ∈ ℋ. On en trouvera «en général » deux, et on interprétera les cas particuliers.

On étudie à partir de cette question l'intersection de ℋ avec certains sous-espaces vectoriels de E. On commence par des exemples de plans vectoriels.
IV.B - Soit P_1 l'ensemble des matrices de la forme ℳ_1(x, y) = (x/(√2), y; 0, x/(√2)).
IV.B.1) Déterminer les matrices orthogonales qui sont dans P_1.
IV.B.2) Dans cette question, on identifie ℳ_1(x, y) avec le point (x, y) de ℝ^2 muni de son produit scalaire canonique et de son repère orthonormal canonique. On procédera à des identifications analogues dans les questions suivantes.
a) Démontrer que ℋ ∩ P_1 est la réunion de deux coniques 𝒞_1 et 𝒞_2. Déterminer 𝒞_1 ∩ 𝒞_2.
b) Représenter par un dessin ℋ ∩ P_1 et 𝒮 ∩ P_1 dans le plan P_1.
IV.C - Soit P_2 l'ensemble des matrices de la forme ℳ_2(x, y) = (x/(√2), x/(√2); 0, y). Soit (u, v) ∈ ℝ^2; on ne demande pas de vérifier que la relation du III.A. 1 implique

Étudier et représenter par un dessin ℋ ∩ P_2 et 𝒮 ∩ P_2 dans le plan P_2 (on pourra discuter et résoudre l'équation par rapport à la variable y ).
IV.D - Exemple d'intersection de ℋ avec un sous-espace de dimension 3

On désigne par S_2 l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre 2.
IV.D.1) Démontrer qu'une matrice M ∈ S_2 appartient à ℋ si, et seulement si, elle admet une valeur propre égale à +1 ou à -1 .

On admet qu'une base orthonormale de S_2 est ℬ = (M_1, M_2, M_3), avec

IV.D.2) En écrivant une matrice de S_2 sous la forme xM_1 + yM_2 + zM_3, décrire l'ensemble C_a des matrices de S_2 admettant le réel donné a comme valeur propre. En déduire une description de ℋ ∩ S_2.
IV.D.3) Soit θ ∈ ℝ et N = P(θ)M(x, y, z)P(θ)^(− 1); démontrer que c'est une matrice de la forme M(u, v, w) et exprimer (u, v, w) en fonction de (x, y, z). Interpréter certains des résultats de la question IV.D.2.
IV.D.4) Représenter par un dessin ℋ ∩ S_2 et 𝒮 ∩ S_2.