Centrale Mathématiques 2 PSI 2006

Notations. Dans tout le problème, on ne considère que des matrices carrées réelles. On désigne par l'espace vectoriel réel des matrices carrées (réelles) d'ordre 2, c'est-à-dire à 2 lignes et 2 colonnes. Si , on rappelle la définition de sa trace et de son polynôme caractéristique

où désigne la matrice identité et det le déterminant d'ordre 2 .
En outre, on identifie les espaces vectoriels réels et et on munit de son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associée.
On pose donc, pour .
On rappelle enfin qu'une matrice carrée réelle d'ordre 2 est orthogonale si, et seulement si, . L'ensemble des matrices orthogonales réelles d'ordre 2 est noté .

On désigne par l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre 2.

I.A -
I.A.1) Démontrer que si deux matrices de sont semblables, elles ont même trace et même polynôme caractéristique. La réciproque est-elle vraie? Justifier la réponse.
I.A.2) Démontrer que définit un produit scalaire sur E. Pour la suite du problème, E pourra être muni de la norme associée à ce produit scalaire.
I.A.3) Démontrer que, pour toute matrice , on a . Quand y a-t-il égalité?
I.A.4) Pour et , exprimer en fonction de et . En conclure que 1 est une valeur propre de si, et seulement si, .

On donne dans cette question élément de , avec .
I.B.1) Si , on pose et .

Démontrer que est une application bornée de dans et qu'il existe en lequel atteint son maximum. En choisissant alors un tel et en considérant , démontrer que est une matrice symétrique.
I.B.2) En déduire que peut se mettre sous la forme , où et où est une matrice diagonale de .

Remarque : on a établi que toute matrice peut se mettre sous la forme , où est diagonale et orthogonales.
I.B.3) Exemple : décomposer la matrice sous la forme , où .
I.C - Soit et des matrices orthogonales d'ordre 2 et . Démontrer que et sont semblables.
On ne demande pas de démontrer le résultat suivant, qui est admis : toute matrice peut se mettre sous la forme , où et où vérifie en outre et .

On désigne par l'ensemble des matrices telles que pour tout vecteur-colonne .
II.A - Reformuler la définition de en utilisant la notion de norme subordonnée.
II.B -
II.B.1) Si , démontrer que ( ) appartient .

Démontrer que est un compact de .
Si , on définit le segment comme l'ensemble des matrices de la forme , où décrit .
II.B.2) Démontrer que est aussi un convexe de , c'est-à-dire que, si et sont deux matrices de , le segment [ ] est inclus dans .
II.C -
II.C.1) Démontrer que .
II.C.2)
a) Si , justifier le fait que le polynôme caractéristique de est de la forme , avec et réels.
Démontrer ensuite que ces réels sont positifs ou nuls.
On pourra considérer des expressions de la forme .
b) Démontrer que si, et seulement si, les valeurs propres de appartiennent à .
II.D - Déduire en particulier de II.C.2.a que

II.E - On définit comme :

II.E.1) En reprenant les calculs de II.C.2.a, démontrer que appartient à si, et seulement si, le polynôme caractéristique de est de la forme , où .
II.E.2) Si , on l'écrit sous la forme , où et où avec et .
a) Déterminer les valeurs propres de en fonction de et .
b) Démontrer que si, et seulement si, il existe et , matrices orthogonales d'ordre 2 et tels que .
II.E.3) En déduire que, si est une matrice non orthogonale de , il existe des matrices orthogonales et d'ordre 2 telles que appartienne au segment [ ].
On pourra montrer d'abord que si est de la forme , avec , on peut choisir et orthogonales et diagonales telles que appartienne au segment [ ].
II.F - On désigne par l'ensemble des matrices de la forme , avec et par l'ensemble des matrices de la forme , avec .
II.F.1) Démontrer que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de orthogonaux au sens du produit scalaire défini en I.A.2
II.F.2) Démontrer que contient toutes les matrices orthogonales d'ordre 2 et de déterminant +1 et que contient toutes les matrices orthogonales d'ordre 2 et de déterminant -1 .
II.F.3) Lorsque est une matrice non orthogonale de , déduire de ce qui précède le nombre de segments [ ] - où et sont orthogonales - contenant .

III.A.1) Si , démontrer que que implique

On désigne par l'ensemble des matrices vérifiant cette dernière relation.
a) Réciproquement, à quelle condition, vérifiée par son déterminant, une matrice appartient-elle à ?
b) Démontrer qu'une matrice appartient à si et seulement si .

III.B.1) Si , calculer en fonction de et de .

Si , avec on définit la droite affine ( ) comme l'ensemble des matrices de la forme , où décrit . Dans la suite, on l'appellera droite ( ).
III.B.2) Démontrer que, si et sont des matrices orthogonales éléments de , telles que et , la droite ( ) est incluse dans . Réciproquement, est-elle réunion de droites de cette forme?

IV.A - Si , on rappelle que le polynôme caractéristique de est de la forme , avec et . Pour fixer les idées, on suppose .
On suppose . Déterminer en fonction de et le nombre de réels positifs tels que . On en trouvera «en général » deux, et on interprétera les cas particuliers.

On étudie à partir de cette question l'intersection de avec certains sous-espaces vectoriels de . On commence par des exemples de plans vectoriels.
IV.B - Soit l'ensemble des matrices de la forme .
IV.B.1) Déterminer les matrices orthogonales qui sont dans .
IV.B.2) Dans cette question, on identifie avec le point de muni de son produit scalaire canonique et de son repère orthonormal canonique. On procédera à des identifications analogues dans les questions suivantes.
a) Démontrer que est la réunion de deux coniques et . Déterminer .
b) Représenter par un dessin et dans le plan .
IV.C - Soit l'ensemble des matrices de la forme . Soit ; on ne demande pas de vérifier que la relation du III.A. 1 implique

Étudier et représenter par un dessin et dans le plan (on pourra discuter et résoudre l'équation par rapport à la variable ).
IV.D - Exemple d'intersection de avec un sous-espace de dimension 3

On désigne par l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre 2.
IV.D.1) Démontrer qu'une matrice appartient à si, et seulement si, elle admet une valeur propre égale à +1 ou à -1 .

On admet qu'une base orthonormale de est , avec

IV.D.2) En écrivant une matrice de sous la forme , décrire l'ensemble des matrices de admettant le réel donné a comme valeur propre. En déduire une description de .
IV.D.3) Soit et ; démontrer que c'est une matrice de la forme et exprimer en fonction de . Interpréter certains des résultats de la question IV.D.2.
IV.D.4) Représenter par un dessin et .