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Centrale Mathématiques 2 PSI 2010

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre linéaireRéduction
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Calculatrices autorisées

Définitions et notations

Dans tout le texte, est un entier strictement positif et est un espace euclidien de dimension ; on note le produit scalaire de deux éléments et de ; La norme utilisée est la norme euclidienne associée.
  • désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de . Si et sont dans désigne la composée des applications et désigne l'endomorphisme adjoint de .
  • Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de , de ou de .
  • est l'ensemble des automorphismes de . C'est un groupe pour la composition des applications. L'application identité est notée .
  • On appelle endomorphisme antisymétrique de tout endomorphisme de tel que . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de est un sous-espace vectoriel de . On pourra utiliser cette propriété sans démonstration.
  • On appelle similitude de tout endomorphisme de du type avec et , où est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de . On rappelle que est un groupe pour la composition des applications. On désigne par l'ensemble des similitudes de .

Objectif du problème

Le but du problème est de calculer l'entier défini de la manière suivante :
étant un espace euclidien de dimension est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de inclus dans c'est-à-dire d'un sous-espace vectoriel de formé de similitudes.
Note : on peut démontrer - et nous l'admettrons - que la notation est licite, car cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de .

Partie I - Premières propriétés

I.A - Étude de

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de pour la composition des applications.
I.A.2) Soit un endomorphisme de . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) est élément de ;
ii) est colinéaire à ;
iii) la matrice de dans une base orthonormale de est colinéaire à une matrice orthogonale.
On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

Soit un endomorphisme antisymétrique de .
I.B.1) Montrer que: .
I.B.2) Montrer que, si est un sous-espace vectoriel de stable par , alors est stable par . Montrer que les endomorphismes induits par sur et sur sont antisymétriques.
I.B.3) Soit un endomorphisme antisymétrique de , tel que .
Montrer que: .
I.B.4) Que vaut si est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de ?

I.C - Encadrement de

I.C.1) Montrer que .
I.C.2) Soit un sous-espace vectoriel de inclus dans .
On fixe . En considérant , application linéaire de dans , montrer que .
Ainsi .
I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose . Expliciter un espace vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que .
I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose impair. Si appartiennent à , montrer qu'il existe tel que soit non inversible.
On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de .
En déduire que .
I.C.5) Soit un sous-espace vectoriel de inclus dans , de dimension . Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de inclus dans , de même dimension , et contenant .
C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des sous-espaces vectoriels de , inclus dans et contenant .

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques

Soit un sous-espace vectoriel de contenant , inclus dans et de dimension .
Soit une base de .
I.D.1) Montrer que pour tout est colinéaire à .
I.D.2) Montrer qu'il existe une base de telle que pour tout soit antisymétrique (on cherchera comme combinaison de et ).
I.D.3) On fixe une base de comme définie à la question précédente c'est-à-dire avec pour tout antisymétrique.
a) Montrer que pour tout est colinéaire à .
b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur en posant, pour tout de .
On considère, dans la suite de cette question, une base ( ) de orthogonale pour ce produit scalaire.
c) Montrer que les sont antisymétriques et vérifient: . Que faire pour que les soient aussi des automorphismes orthogonaux?
I.D.4) Réciproquement, soit ( ) une famille de telle que les soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous , . Montrer que est un sous-espace vectoriel de , de dimension , inclus dans .
Ainsi, si , sont équivalentes les deux propriétés :
  • il existe un sous-espace vectoriel de de dimension inclus dans
  • il existe une famille d'automorphismes orthogonaux antisymétriques de vérifiant :
    .

Partie II - Étude dans des dimensions paires

II.A - Dans cette section, où est un entier impair.
II.A.1) Soit un entier impair tel que . On suppose qu'il existe et une famille d'éléments de telle que les soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant: . Soit de norme 1 .
a) Montrer que ( ) est une famille orthonormale, et que est stable par et .
b) En déduire que
II.A.2) Dans cette question, , avec entier impair. Montrer que .

II.B - Dans cette section, la dimension de est 4 .

II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de de dimension 4 inclus dans .
èéàééééé
Soit un vecteur fixé de norme 1 .
a) Justifier que la famille est une base de puis montrer qu'il existe des nombres réels tel que:
Montrer que et que .
b) Montrer que . Quitte à changer en son opposé, on suppose dans la suite que .
c) Si sont des nombres réels, donner la matrice dans de l'endomorphisme .
II.B.2) Vérifier que pour tout est une matrice de similitude. Qu'en conclure?

II.C - Dans cette section, la dimension de est 12

On suppose qu'il existe dans , une famille d'automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant: .
II.C.1) En utilisant , montrer que ne peut être égal à .
II.C.2) Montrer que est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à .
II.C.3) Quel est le spectre de ?
Montrer qu'il existe de norme 1 tel que .
On fixe un tel pour la suite.
II.C.4) Montrer que est une famille orthonormale.
II.C.5) On pose . C'est donc un sous-espace vectoriel de de dimension 8.
a) Montrer que est stable par .
b) On note l'endomorphisme induit par .
Justifier qu'il existe tel que .
Quitte à remplacer par , on considère pour la suite que .
c) Soit fixé dans , de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n'est pas à refaire), on peut montrer que ( ) et une base orthonormale de . En remarquant que , utiliser cette base pour montrer que: .
Ainsi est un sous-espace vectoriel de de dimension 4.
d) Montrer que la somme de et est directe et que est stable par . Aboutir alors à une contradiction.
II.C.6) En déduire la valeur de .

II.D - Dans cette section, la dimension de est 8

Montrer que, quel que soit ,
est une matrice de similitude.
Que peut-on en déduire?

II.E - Conjecture du résultat général

Conjecturer la valeur de dans le cas général.

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