Centrale Mathématiques 2 PSI 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de similitudes d'un espace euclidien

Le sujet de mathématiques 2 de la filière PSI au concours Centrale-Supélec 2010 étudie l'entier d_n, dimension maximale d'un sous-espace vectoriel d'endomorphismes formé uniquement de similitudes d'un espace euclidien de dimension n. La première partie établit un encadrement général et une caractérisation par des familles d'automorphismes orthogonaux antisymétriques anticommutants, la seconde calcule d_n pour des dimensions particulières (4, 8, 12) avant de conjecturer le résultat général.

1Partie I : Premières propriétésÉtude de l'ensemble des similitudes, propriétés des endomorphismes antisymétriques, puis encadrement de d_n et caractérisation par des familles anti-commutatives d'automorphismes orthogonaux antisymétriques.
2Partie II : Étude dans des dimensions pairesCalcul de d_n pour n = 2p avec p impair, puis pour les dimensions 4, 12 et 8, avant de conjecturer la formule générale.

Difficile. Le rapport indique un écart-type très important, supérieur à la moitié de la moyenne, ce qui rend l'épreuve fortement discriminante ; les très bonnes copies sont qualifiées de très rares, même si les débuts des deux parties, purement issus du cours, étaient accessibles.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre cardinal et dimension · Notion de sous-groupe ignorée · Définitions élémentaires non maîtrisées

Le jury décrit un sujet aux débuts accessibles, directement issus des définitions et théorèmes classiques du cours, mais dont les milieux et les fins de parties, plus exigeants en réflexion et en ingéniosité, ont permis de bien sélectionner les meilleurs candidats. Il relève par ailleurs des lacunes sur des notions très élémentaires (groupe, espace vectoriel) chez une majorité de candidats, ainsi qu'un manque général de rigueur dans les raisonnements.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre cardinal et dimension
Dès le début de la première partie, de nombreux candidats confondent le cardinal et la dimension d'un ensemble.
« Il y a confusion entre le cardinal et la dimension. »
2
Notion de sous-groupe ignoréeI.A.1
De nombreux candidats ignorent totalement ce qu'est un sous-groupe, notion pourtant nécessaire dès la question I.A.1.
« de nombreux candidats ignorent totalement ce qu’est un sous-groupe. »
3
Définitions élémentaires non maîtrisées
La plupart des candidats ne connaissent pas les définitions élémentaires de groupe et d'espace vectoriel, alors que les résultats du début de la partie I en découlent directement.
« La plupart des candidats ne connait pas les définitions élémentaires : groupe, espace vectoriel. »
4
Raisonnement par équivalence mal maîtriséI.A.2
À la question I.A.2, la plupart des candidats ne savent pas construire proprement un raisonnement par équivalence entre plusieurs assertions, mélangeant équivalences et implications mal étayées.
« La plupart des élèves semble incapable de gérer un raisonnement par équivalence »
5
Affirmations non démontrées
Des formules toutes faites comme « il est clair que » ou « il est évident que », utilisées pour éviter une démonstration attendue, ne rapportent aucun point.
« pour justifier une proposition qui mérite d’être démontrée, se soldent par un zéro. »

Ce qui a été bien réussi

Les débuts des deux parties, portant sur des définitions et théorèmes classiques du cours, étaient accessibles à la majorité des candidats.
Les très bons candidats font preuve à la fois d'une maîtrise du cours dans son ensemble et d'une compréhension des enjeux du problème.
Le problème a permis aux meilleurs candidats de se distinguer et d'exprimer leur potentiel, même si ces très bonnes copies restent rares.

Conseils du jury

Se méfier des raisonnements qui tentent de prouver directement une équivalence : décomposer plutôt en implications successives, sauf si l'équivalence est vraiment évidente.
Fournir un texte lisible et soigné dans son orthographe, même si aucune exigence calligraphique n'est demandée.
Numéroter clairement les feuilles et les questions pour faciliter la correction.
Ne jamais se contenter d'affirmer qu'un résultat est « clair » ou « évident » : toute proposition doit être démontrée avec des arguments clairement étayés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Calculatrices autorisées

Définitions et notations

Dans tout le texte,

n

est un entier strictement positif et

E

est un espace euclidien de dimension

n

; on note

⟨x, y⟩

le produit scalaire de deux éléments

x

y

E

; La norme utilisée est la norme euclidienne associée.

$ℒ(E)$ désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de $E$ . Si $f$ et $g$ sont dans $ℒ(E), fg$ désigne la composée $f \circ g$ des applications et $f^*$ désigne l'endomorphisme adjoint de $f$ .
Le symbole 0 désigne indifféremment l'élément nul de $ℝ$ , de $E$ ou de $ℒ(E)$ .
$GL(E)$ est l'ensemble des automorphismes de $E$ . C'est un groupe pour la composition des applications. L'application identité est notée $Id_E$ .
On appelle endomorphisme antisymétrique de $E$ tout endomorphisme de $E$ tel que $f^* = - f$ . L'ensemble des endomorphismes antisymétriques de $E$ est un sous-espace vectoriel de $ℒ(E)$ . On pourra utiliser cette propriété sans démonstration.
On appelle similitude de $E$ tout endomorphisme $f$ de $E$ du type $λg$ avec $λ \in ℝ$ et $g \in O(E)$ , où $O(E)$ est l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $E$ . On rappelle que $O(E)$ est un groupe pour la composition des applications. On désigne par $Sim(E)$ l'ensemble des similitudes de $E$ .

Objectif du problème

Le but du problème est de calculer l'entier

d_n

défini de la manière suivante :

E

étant un espace euclidien de dimension

n, d_n

est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

inclus dans

Sim(E)

c'est-à-dire d'un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

formé de similitudes.
Note : on peut démontrer - et nous l'admettrons - que la notation

d_n

est licite, car cet entier ne dépend effectivement que de la dimension de

E

Partie I - Premières propriétés

I.A - Étude de $Sim(E)$

I.A.1) Montrer que l'ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de

GL(E)

pour la composition des applications.
I.A.2) Soit

h \in ℒ(E)

un endomorphisme de

E

. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i)

h

est élément de

Sim(E)

;
ii)

h^* h

est colinéaire à

Id_E

;
iii) la matrice de

h

dans une base orthonormale de

E

est colinéaire à une matrice orthogonale.
On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c'est donc la matrice d'une similitude dans une base orthormale.

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

Soit

f

un endomorphisme antisymétrique de

E

.
I.B.1) Montrer que:

\forallx \in E, < x, f(x)>=0

.
I.B.2) Montrer que, si

S

est un sous-espace vectoriel de

E

stable par

f

, alors

S^⊥

est stable par

f

. Montrer que les endomorphismes induits par

f

sur

S

et sur

S^⊥

sont antisymétriques.
I.B.3) Soit

g

un endomorphisme antisymétrique de

E

, tel que

fg = - gf

Montrer que:

\forallx \in E, < f(x), g(x)>=0

.
I.B.4) Que vaut

f^2 = f \circ f

f

est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de

E

I.C - Encadrement de $d_n$

I.C.1) Montrer que

d_n ⩾ 1

.
I.C.2) Soit

V

un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

inclus dans

Sim(E)

On fixe

x \in E∖{0}

. En considérant

Φ : f \mapsto f(x)

, application linéaire de

V

dans

E

, montrer que

dim(V) ⩽ n

Ainsi

1 ⩽ d_n ⩽ n

.
I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose

n = 2

. Expliciter un espace vectoriel de dimension 2, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que

d_2 = 2

.
I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose

n

impair. Si

f, g

appartiennent à

GL(E)

, montrer qu'il existe

λ \in ℝ

tel que

f + λg

soit non inversible.

On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de

fg^(- 1)

.
En déduire que

d_n = 1

.
I.C.5) Soit

V

un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

inclus dans

Sim(E)

, de dimension

d ⩾ 1

. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel

W

ℒ(E)

inclus dans

Sim(E)

, de même dimension

d

, et contenant

Id_E

C'est pourquoi, dans toute la suite, on s'intéressera uniquement à des sous-espaces vectoriels de

ℒ(E)

, inclus dans

Sim(E)

et contenant

Id_E

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques

Soit

V

un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

contenant

Id_E

, inclus dans

Sim(E)

et de dimension

d ⩾ 2

.
Soit

(Id_E, f_1, \dots, f_(d - 1))

une base de

V

.
I.D.1) Montrer que pour tout

i ∈ {1, 2, …, d − 1}, f_i^∗ + f_i

est colinéaire à

Id_E

.
I.D.2) Montrer qu'il existe une base

(Id_E, g_1, \dots, g_(d - 1))

V

telle que pour tout

i ∈ {1, 2, …, d − 1}, g_i

soit antisymétrique (on cherchera

g_i

comme combinaison de

f_i

id_E

).
I.D.3) On fixe une base

(Id_E, g_1, \dots, g_(d - 1))

V

comme définie à la question précédente c'est-à-dire avec pour tout

i, g_i

antisymétrique.
a) Montrer que pour tout

i \neq j, g_i g_j + g_j g_i

est colinéaire à

Id_E

.
b) Montrer que l'on définit un produit scalaire sur

ℒ(E)

en posant, pour tout

f, g

ℒ(E)(f|g) = tr(f^* g)

On considère, dans la suite de cette question, une base (

h_1, \dots, h_(d - 1)

) de

Vect(g_1, \dots, g_(d - 1))

orthogonale pour ce produit scalaire.
c) Montrer que les

h_i

sont antisymétriques et vérifient:

\foralli \neq j, h_i h_j + h_j h_i = 0

. Que faire pour que les

h_i

soient aussi des automorphismes orthogonaux?
I.D.4) Réciproquement, soit (

h_1, \dots, h_(d - 1)

) une famille de

ℒ(E)

telle que les

h_i

soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous

i \neq j

h_i h_j + h_j h_i = 0

. Montrer que

Vect(Id_E, h_1, \dots, h_(d - 1))

est un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

, de dimension

d

, inclus dans

Sim(E)

Ainsi, si

dim(E) ⩾ 2

, sont équivalentes les deux propriétés :

il existe un sous-espace vectoriel de $ℒ(E)$ de dimension $d ⩾ 2$ inclus dans $Sim(E)$
il existe une famille $(f_1, \dots, f_(d - 1))$ d'automorphismes orthogonaux antisymétriques de $E$ vérifiant :
$\foralli \neq j, f_i f_j + f_j f_i = 0$ .

Partie II - Étude dans des dimensions paires

II.A - Dans cette section,

dim(E) = 2p

où

p

est un entier impair.
II.A.1) Soit

p

un entier impair tel que

dim(E) = n = 2p

. On suppose qu'il existe

d ⩾ 3

et une famille

(f_1, f_2, \dots, f_(d - 1))

d'éléments de

ℒ(E)

telle que les

f_i

soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant:

\foralli \neq j, f_i f_j + f_j f_i = 0

. Soit

x \in E

de norme 1 .
a) Montrer que (

x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x)

) est une famille orthonormale, et que

S = Vect(x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x))

est stable par

f_1

f_2

.
b) En déduire que

d_(n - 4) ⩾ 3

II.A.2) Dans cette question,

n = 2p

, avec

p

entier impair. Montrer que

d_n = 2

II.B - Dans cette section, la dimension de $E$ est 4 .

II.B.1) On suppose qu'il existe un sous-espace vectoriel de

ℒ(E)

de dimension 4 inclus dans

Sim(E)

è é à é é é é é On considère alors, conformément à I.D. 4 une famille (f_1, f_2, f_3) d'élé-; ments de ℒ(E) tellé que les f_i soient des automorphismes orthogonaux,; antisymétriques vérifiant: \foralli \neq j, f_i f_j + f_j f_i = 0

Soit un vecteur fixé

x \in E

de norme 1 .
a) Justifier que la famille

B = (x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x))

est une base de

E

puis montrer qu'il existe des nombres réels

α, β, γ, δ

tel que:

f_3(x) = αx + βf_1(x) + γf_2(x) + δf_1 f_2(x)

Montrer que

α = β = γ = 0

et que

δ \in { - 1, 1}

.
b) Montrer que

f_3 = δf_1 f_2

. Quitte à changer

f_3

en son opposé, on suppose dans la suite que

f_3 = f_1 f_2

.
c) Si

x_0, x_1, x_2, x_3

sont des nombres réels, donner la matrice

M(x_0, x_1, x_2, x_3)

dans

B

de l'endomorphisme

x_0 Id_E + x_1 f_1 + x_2 f_2 + x_3 f_3

.
II.B.2) Vérifier que pour tout

(x_0, x_1, x_2, x_3) \in ℝ^4, M(x_0, x_1, x_2, x_3)

est une matrice de similitude. Qu'en conclure?

II.C - Dans cette section, la dimension de $E$ est 12

On suppose qu'il existe dans

ℒ(E)

, une famille

(f_1, f_2, f_3, f_4)

d'automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant:

\foralli \neq j, f_i f_j + f_j f_i = 0

.
II.C.1) En utilisant

f_4

, montrer que

f_3

ne peut être égal à

\pm f_1 f_2

.
II.C.2) Montrer que

f_1 f_2 f_3

est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à

Id_E

.
II.C.3) Quel est le spectre de

f_1 f_2 f_3

Montrer qu'il existe

x \in E

de norme 1 tel que

< f_1 f_2 f_3(x), x>=0

.
On fixe un tel

x

pour la suite.
II.C.4) Montrer que

F = (x, f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_1 f_2(x), f_1 f_3(x), f_2 f_3(x), f_1 f_2 f_3(x))

est une famille orthonormale.
II.C.5) On pose

V = Vect(F)

. C'est donc un sous-espace vectoriel de

E

de dimension 8.
a) Montrer que

V^⊥

est stable par

f_1, f_2, f_3

.
b) On note

f_i^'

l'endomorphisme induit par

f_i surV^⊥, i = 1, 2, 3

Justifier qu'il existe

δ^′ ∈ { − 1, 1}

tel que

f_3^' = δ^' f_1^' f_2^'

.
Quitte à remplacer

f_3

par

- f_3

, on considère pour la suite que

f_3^' = f_1^' f_2^'

.
c) Soit

e

fixé dans

V^⊥

, de norme 1. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n'est pas à refaire), on peut montrer que (

e, f_1(e), f_2(e), f_1 f_2(e)

) et une base orthonormale de

V^⊥

. En remarquant que

f_3(e) = f_1 f_2(e)

, utiliser cette base pour montrer que:

\forally \in V^⊥, f_4(y) \in V

Ainsi

W = f_4(V^⊥)

est un sous-espace vectoriel de

V

de dimension 4.
d) Montrer que la somme de

W

V^⊥

est directe et que

W \oplus V^⊥

est stable par

f_1, f_2, f_3, f_4

. Aboutir alors à une contradiction.
II.C.6) En déduire la valeur de

d_(12)

II.D - Dans cette section, la dimension de $E$ est 8

Montrer que, quel que soit

(x_0, \dots, x_7) \in ℝ^8

(x_0, - x_1, - x_2, - x_4, - x_3, - x_5, - x_6, - x_7; x_1, x_0, - x_4, x_2, - x_5, x_3, - x_7, x_6; x_2, x_4, x_0, - x_1, - x_6, x_7, x_3, - x_5; x_4, - x_2, x_1, x_0, x_7, x_6, - x_5, - x_3; x_3, x_5, x_6, - x_7, x_0, - x_1, - x_2, x_4; x_5, - x_3, - x_7, - x_6, x_1, x_0, x_4, x_2; x_6, x_7, - x_3, x_5, x_2, - x_4, x_0, - x_1; x_7, - x_6, x_5, x_3, - x_4, - x_2, x_1, x_0)

est une matrice de similitude.
Que peut-on en déduire?

II.E - Conjecture du résultat général

Conjecturer la valeur de

d_n

dans le cas général.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 PSI Centrale 2010 ?

Le sujet porte sur la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de similitudes d'un espace euclidien, en mobilisant l'algèbre linéaire euclidienne, les endomorphismes orthogonaux et antisymétriques, et le produit scalaire sur un espace d'endomorphismes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de mathématiques 2 PSI 2010 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre cardinal et dimension, une méconnaissance des notions élémentaires de groupe et d'espace vectoriel, un raisonnement par équivalence mal maîtrisé, et des affirmations non démontrées présentées comme évidentes.

Ce sujet de mathématiques 2 PSI 2010 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme fortement discriminant, avec un écart-type supérieur à la moitié de la moyenne : les débuts de parties, issus du cours, sont accessibles, mais les milieux et fins de parties sont nettement plus difficiles et les très bonnes copies restent rares.

Le sujet de mathématiques 2 PSI Centrale 2010 nécessite-t-il des connaissances avancées d'algèbre ?

Oui, il repose sur l'algèbre linéaire euclidienne (produit scalaire, automorphismes orthogonaux, endomorphismes antisymétriques) et exige un raisonnement rigoureux par équivalence et par récurrence pour progresser dans les parties les plus difficiles.

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Objectif du problème

Partie I - Premières propriétés

I.A - Étude de Sim(E)

I.B - Propriétés des endomorphismes antisymétriques

I.C - Encadrement de d_n

I.D - Systèmes anti-commutatifs d'endomorphismes antisymétriques

Partie II - Étude dans des dimensions paires

II.B - Dans cette section, la dimension de E est 4 .

II.C - Dans cette section, la dimension de E est 12

II.D - Dans cette section, la dimension de E est 8

II.E - Conjecture du résultat général

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 PSI Centrale 2010 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de mathématiques 2 PSI 2010 ?

Ce sujet de mathématiques 2 PSI 2010 est-il difficile ?

Le sujet de mathématiques 2 PSI Centrale 2010 nécessite-t-il des connaissances avancées d'algèbre ?

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Commentaires• Centrale Mathématiques 2 PSI 2010

I.A - Étude de $Sim(E)$

I.C - Encadrement de $d_n$

II.B - Dans cette section, la dimension de $E$ est 4 .

II.C - Dans cette section, la dimension de $E$ est 12

II.D - Dans cette section, la dimension de $E$ est 8