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Centrale Mathématiques 2 PSI 2014

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Algèbre généraleAlgèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Réduction
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Notations

Pour tous entiers naturels non nuls et , on note:
  • l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels
  • la matrice nulle de
  • l'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels
  • la matrice identité de
  • le groupe des matrices inversibles de
  • le groupe des matrices orthogonales de
  • le groupe spécial orthogonal, c'est-à-dire le sous-groupe de formé des matrices dont le déterminant est égal à 1
  • la matrice de définie par blocs de la façon suivante:
  • l'ensemble des matrices de telles que:
où désigne la transposée de la matrice
  • l'ensemble des matrices de dont le déterminant est égal à 1
  • l'ensemble des matrices de dont le déterminant est égal à -1
  • l'ensemble des matrices de telles que .
Dans ce problème, on s'intéresse à l'ensemble pour entier naturel non nul et en particulier pour . Dans le cas où est égal à 3 , l'ensemble est appelé groupe de Lorentz. Il joue un rôle fondamental en mécanique quantique.

I Étude du groupe orthogonal généralisé

Dans cette partie on fixe entier naturel non nul.
I.A - Structure de
I.A.1) La matrice appartient-elle à l'ensemble ? à l'ensemble ?
I.A.2) Montrer que .
I.A.3) Montrer que l'ensemble est un sous-groupe de et que est un sous-groupe de .
I.A.4) Montrer que, pour toute matrice élément de , sa transposée est aussi élément de .
I.A.5) Montrer que les parties et de sont fermées.

I.B - Endomorphismes préservant une forme quadratique

Soient et deux vecteurs de . On note et les matrices colonnes, éléments de , des vecteurs et dans la base canonique de .
On définit
et
On notera que est une forme bilinéaire symétrique et la forme quadratique associée.
I.B.1) Soient et deux matrices de . Montrer que si, pour tous et de alors .
I.B.2) Exprimer en fonction de et .
I.B.3) Soient et l'endomorphisme de canoniquement associé.
Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i. ;
ii. ;
iii. .
I.B.4) Si et , donner les équations sur les correspondant à
Qu'obtient-on similairement avec ?

II Propriétés algébriques et géométriques du groupe

II. A - Structure de
II.A.1) Soient et deux réels. Si et montrer qu'il existe un unique tel que et .
II.A.2) Soient et quatre réels. On considère la matrice de
Écrire les équations sur traduisant l'appartenance de à .
II.A.3) En déduire l'égalité :
On note, dans la suite de cette partie II, pour tout réel .
II.A.4) Montrer, pour tous réels et , l'égalité :
En déduire que est un sous-groupe commutatif du groupe .
II.B - Le groupe est-il compact ?
II. - Montrer que les matrices éléments de sont diagonalisables et trouver une matrice telle que, pour toute matrice , la matrice soit diagonale.
II.D - Montrer que le groupe est commutatif.
III «Décomposition standard» d'un élément du groupe de Lorentz
III. A - Soit . Montrer l'inégalité .
III. B - Soient et deux éléments de . On pose .
Démontrer les inégalités suivantes :
En déduire que l'ensemble est un sous-groupe du groupe de Lorentz .
On pose
III. - Justifier que est un sous-groupe de isomorphe à .
Soient et .
III. - Montrer que, si le vecteur est nul, alors la matrice appartient au groupe .

III.E - Construction d'une rotation particulière

III.E.1) Dans l'espace euclidien usuel, montrer que, pour tous vecteurs et de de même norme, il existe une rotation telle que .
III.E.2) Écrire, en langage Maple ou Mathematica, une fonction (ou procédure) rotation, de paramètres et , renvoyant :
  • False si et n'ont pas la même norme;
  • une matrice de telle que si et ont même norme.
    III.F - On suppose dans cette question que le vecteur est non nul.
    III.F.1) Déduire de la question III.E. 1 qu'il existe un élément de tel que l'on a :
où est un réel strictement positif que l'on précisera, et sont des réels qu'on ne cherchera pas à déterminer.
On fixe désormais de tels coefficients et .
III.F.2) Soient et . Montrer que et sont deux vecteurs unitaires orthogonaux de muni de sa structure euclidienne usuelle.
III.F.3) Soit . On pose . Montrer que l'on peut choisir tel que
où et sont des réels qu'on ne cherchera pas à déterminer.
III.F.4) Montrer que les réels et sont nuls.
III. - En déduire que toute matrice de peut s'écrire sous la forme d'un produit du type
où et sont deux éléments de et est un réel.
III.H - Écrire, en langage Maple ou Mathematica, une fonction ou une procédure permettant d'obtenir une telle décomposition d'une matrice de .
On pourra utiliser la fonction rotation écrite précédemment.
III.I - La décomposition obtenue est-elle unique?

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