Centrale Mathématiques 2 PSI 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Pour tous entiers naturels non nuls

n

p

, on note:

$M_(n, p)(ℝ)$ l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients réels
$0_(n, p)$ la matrice nulle de $M_(n, p)(ℝ)$
$M_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels
$I_n$ la matrice identité de $M_n(ℝ)$
$GL_n(ℝ)$ le groupe des matrices inversibles de $M_n(ℝ)$
$O(n)$ le groupe des matrices orthogonales de $M_n(ℝ)$
$SO(n)$ le groupe spécial orthogonal, c'est-à-dire le sous-groupe de $O(n)$ formé des matrices dont le déterminant est égal à 1
$Δ_(p + 1)$ la matrice de $M_(p + 1)(ℝ)$ définie par blocs de la façon suivante:

Δ_(p + 1) = (1, 0_(1, p); 0_(p, 1), - I_p)

$O(1, p)$ l'ensemble des matrices $L$ de $M_(p + 1)(ℝ)$ telles que:

^t LΔ_(p + 1)L = Δ_(p + 1)

où

^t L

désigne la transposée de la matrice

L

$O^+(1, p)$ l'ensemble des matrices $L$ de $O(1, p)$ dont le déterminant est égal à 1
$O^-(1, p)$ l'ensemble des matrices $L$ de $O(1, p)$ dont le déterminant est égal à -1
$O~(1, p)$ l'ensemble des matrices $L = (ℓ_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ p + 1)$ de $O(1, p)$ telles que $ℓ_(1, 1) > 0$ .

Dans ce problème, on s'intéresse à l'ensemble

O(1, p)

pour

p

entier naturel non nul et en particulier pour

p \in {1, 3}

. Dans le cas où

p

est égal à 3 , l'ensemble

O(1, p)

est appelé groupe de Lorentz. Il joue un rôle fondamental en mécanique quantique.

I Étude du groupe orthogonal généralisé $O(1, p)$

Dans cette partie on fixe

p

entier naturel non nul.
I.A - Structure de

O(1, p)

I.A.1) La matrice

Δ_(p + 1)

appartient-elle à l'ensemble

O(1, p)

? à l'ensemble

O^+(1, p)

?
I.A.2) Montrer que

O(1, p) = O^+(1, p) \cup O^-(1, p)

.
I.A.3) Montrer que l'ensemble

O(1, p)

est un sous-groupe de

GL_(p + 1)(ℝ)

et que

O^+(1, p)

est un sous-groupe de

O(1, p)

.
I.A.4) Montrer que, pour toute matrice

L

élément de

O(1, p)

, sa transposée

^t L

est aussi élément de

O(1, p)

.
I.A.5) Montrer que les parties

O(1, p), O^+(1, p)

O^-(1, p)

M_(p + 1)(ℝ)

sont fermées.

I.B - Endomorphismes préservant une forme quadratique

Soient

v

v^'

deux vecteurs de

ℝ^(p + 1)

. On note

V

V^'

les matrices colonnes, éléments de

M_(p + 1, 1)(ℝ)

, des vecteurs

v

v^'

dans la base canonique de

ℝ^(p + 1)

.
On définit

φ_(p + 1)(v, v^') = ^t VΔ_(p + 1)V^' = v_1 v_1^' - \sum_(i = 2)^(p + 1)v_i v_i^'

q_(p + 1)(v) = φ_(p + 1)(v, v)

On notera que

φ_(p + 1)

est une forme bilinéaire symétrique et

q_(p + 1)

la forme quadratique associée.
I.B.1) Soient

A

B

deux matrices de

M_n(ℝ)

. Montrer que si, pour tous

X

Y

ℝ^n, ^t XAY = ^t XBY

alors

A = B

.
I.B.2) Exprimer

φ_(p + 1)(v, v^')

en fonction de

q_(p + 1)(v + v^')

q_(p + 1)(v - v^')

.
I.B.3) Soient

L \in M_(p + 1)(ℝ)

f

l'endomorphisme de

ℝ^(p + 1)

canoniquement associé.

Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
i.

L \in O(1, p)

;
ii.

\forall(v, v^') \in (ℝ^(p + 1))^2, φ_(p + 1)(f(v), f(v^')) = φ_(p + 1)(v, v^')

;
iii.

\forallv \in ℝ^(p + 1), q_(p + 1)(f(v)) = q_(p + 1)(v)

.
I.B.4) Si

L = (l_(i, j))_(i, j) \in O(1, p), v = (1, 0, \dots, 0)

v^' = (0, 1, 0, \dots, 0)

, donner les équations sur les

l_(i, j)

correspondant à

φ_(p + 1)(f(v), f(v^')) = φ_(p + 1)(v, v^'), q_(p + 1)(f(v)) = q_(p + 1)(v) et q_(p + 1)(f(v^')) = q_(p + 1)(v^')

Qu'obtient-on similairement avec

^t L

II Propriétés algébriques et géométriques du groupe $O^+(1, 1)$

II. A - Structure de

O^+(1, 1)

II.A.1) Soient

a

b

deux réels. Si

a > 0

a^2 - b^2 = 1

montrer qu'il existe un unique

θ \in ℝ

tel que

a = chθ

b = shθ

.
II.A.2) Soient

a, b, c

d

quatre réels. On considère la matrice de

M_2(ℝ)

L = (a, b; c, d)

Écrire les équations sur

a, b, c, d

traduisant l'appartenance de

L

O(1, 1)

.
II.A.3) En déduire l'égalité :

O^+(1, 1) = {(chγ, shγ; shγ, chγ), γ ∈ ℝ} ∪ {(− chγ, shγ; shγ, − chγ), γ ∈ ℝ}

On note, dans la suite de cette partie II, pour tout réel

γ, L(γ) = (chγ, shγ; shγ, chγ)

.
II.A.4) Montrer, pour tous réels

γ

γ^'

, l'égalité :

L(γ)L(γ^') = L(γ + γ^')

En déduire que

O^+(1, 1) \cap O~(1, 1)

est un sous-groupe commutatif du groupe

O^+(1, 1)

.
II.B - Le groupe

O^+(1, 1) \cap O~(1, 1)

est-il compact ?
II.

C

- Montrer que les matrices éléments de

O^+(1, 1)

sont diagonalisables et trouver une matrice

P \in O(2)

telle que, pour toute matrice

L \in O^+(1, 1)

, la matrice

^t PLP

soit diagonale.
II.D - Montrer que le groupe

O^+(1, 1)

est commutatif.

III «Décomposition standard» d'un élément du groupe de Lorentz

O(1, 3)

III. A - Soit

L = (ℓ_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ 4) \in O(1, 3)

. Montrer l'inégalité

ℓ_(1, 1)^2 ⩾ 1

.
III. B - Soient

L = (ℓ_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ 4)

L^' = (ℓ_(i, j)^')_(1 ⩽ i, j ⩽ 4)

deux éléments de

O~(1, 3)

. On pose

L^('') = LL^' = (ℓ_(i, j)^(''))_(1 ⩽ i, j ⩽ 4)

.
Démontrer les inégalités suivantes :

0 ⩽ \sqrt(\sum_(k = 2)^4 ℓ_(1, k)^2⎷)\sqrt(\sum_(k = 2)^4 ℓ_(k, 1)^('2)⎷) + \sum_(k = 2)^4 ℓ_(1, k)ℓ_(k, 1)^' < ℓ_(1, 1)^('')

En déduire que l'ensemble

O~(1, 3)

est un sous-groupe du groupe de Lorentz

O(1, 3)

.
On pose

G = {(1, 0_(1, 3); 0_(3, 1), R), R ∈ SO(3)}

III.

C

- Justifier que

G

est un sous-groupe de

O^+(1, 3) \cap O~(1, 3)

isomorphe à

SO(3)

Soient

L = (ℓ_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ 4) \in O^+(1, 3) \cap O~(1, 3)

a = (ℓ_(2, 1); ℓ_(3, 1); ℓ_(4, 1))

.
III.

D

- Montrer que, si le vecteur

a

est nul, alors la matrice

L

appartient au groupe

G

III.E - Construction d'une rotation particulière

III.E.1) Dans l'espace

ℝ^3

euclidien usuel, montrer que, pour tous vecteurs

u

v

ℝ^3

de même norme, il existe une rotation

r

telle que

r(u) = v

.
III.E.2) Écrire, en langage Maple ou Mathematica, une fonction (ou procédure) rotation, de paramètres

U

V

, renvoyant :

False si $U$ et $V$ n'ont pas la même norme;
une matrice $R$ de $SO(3)$ telle que $RU = V$ si $U$ et $V$ ont même norme.
III.F - On suppose dans cette question que le vecteur $a$ est non nul.
III.F.1) Déduire de la question III.E. 1 qu'il existe un élément $L_1$ de $G$ tel que l'on a :

L_1 L = (ℓ_(1, 1), ℓ_(1, 2), ℓ_(1, 3), ℓ_(1, 4); α, λ_1, λ_2, λ_3; 0, μ_1, μ_2, μ_3; 0, ν_1, ν_2, ν_3)

où

α

est un réel strictement positif que l'on précisera,

λ_1, λ_2, λ_3, μ_1, μ_2, μ_3, ν_1, ν_2

ν_3

sont des réels qu'on ne cherchera pas à déterminer.
On fixe désormais de tels coefficients

α, λ_1, λ_2, λ_3, μ_1, μ_2, μ_3, ν_1, ν_2

ν_3

.
III.F.2) Soient

v_2 = (μ_1; μ_2; μ_3)

v_3 = (ν_1; ν_2; ν_3)

. Montrer que

v_2

v_3

sont deux vecteurs unitaires orthogonaux de

ℝ^3

muni de sa structure euclidienne usuelle.
III.F.3) Soit

R_2 \in SO(3)

. On pose

L_2 = (1, 0_(1, 3); 0_(3, 1), R_2) \in G

. Montrer que l'on peut choisir

R_2

tel que

L_1 LL_2 = (ℓ_(1, 1), β_1, β_2, β_3; α, δ_1, δ_2, δ_3; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1)

où

β_1, β_2, β_3, δ_1, δ_2

δ_3

sont des réels qu'on ne cherchera pas à déterminer.
III.F.4) Montrer que les réels

β_2, β_3, δ_2

δ_3

sont nuls.
III.

G

- En déduire que toute matrice

L

O^+(1, 3) \cap O~(1, 3)

peut s'écrire sous la forme d'un produit du type

L = (1, 0_(1, 3); 0_(3, 1), R)(chγ, shγ, 0, 0; shγ, chγ, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1)(1, 0_(1, 3); 0_(3, 1), R^')

où

R

R^'

sont deux éléments de

SO(3)

γ

est un réel.
III.H - Écrire, en langage Maple ou Mathematica, une fonction ou une procédure permettant d'obtenir une telle décomposition d'une matrice de

O^+(1, 3) \cap O~(1, 3)

.
On pourra utiliser la fonction rotation écrite précédemment.
III.I - La décomposition obtenue est-elle unique?

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I Étude du groupe orthogonal généralisé O(1, p)

I.B - Endomorphismes préservant une forme quadratique

II Propriétés algébriques et géométriques du groupe O^+(1, 1)

III.E - Construction d'une rotation particulière

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I Étude du groupe orthogonal généralisé $O(1, p)$

II Propriétés algébriques et géométriques du groupe $O^+(1, 1)$