Centrale Mathématiques 2 PSI 2018

Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes : moment d'une variable aléatoire réelle discrète à valeurs positives dans la partie I; moment d'une suite numérique réelle dans la partie II; moment d'une fonction dans la partie III.

Si est une fonction de classe et un entier naturel, on note la dérivée -ième de .
On note l'ensemble des polynômes à coefficients dans .
Si et sont deux entiers naturels, désigne l'ensemble des entiers compris entre et .
Si est une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé ( ) admettant une espérance, celle-ci est notée .

On admet le résultat suivant :
si est une famille de nombres réels telle que
i. pour tout , la série converge,
ii. la série converge,
alors, en notant et, pour tout entier naturel, ,

Soit une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé ( ). On suppose que . Si , on dit que admet un moment d'ordre si la variable aléatoire admet une espérance. On note alors , appelé moment d'ordre de , l'espérance de .
On remarque que .
Q 1. Justifier que .
Q 2. En déduire que, si admet un moment d'ordre , alors admet des moments d'ordre pour tous .

On suppose que, pour tout entier naturel non nul admet un moment d'ordre et que la série entière admet un rayon de convergence .
Pour tout , on note . La fonction s'appelle la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire .

Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction permet de déterminer de manière unique la suite .
Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout , la variable aléatoire admet une espérance et que .
Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel tel que, pour tout , la variable aléatoire admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la fonction génératrice des moments de contient et pour tout .
On suppose que et sont deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes à valeurs strictement positives admettant des moments de tous ordres. On note (respectivement ) le rayon de convergence (supposé strictement positif) associé à la fonction (respectivement ).
Q 6. Montrer que la variable aléatoire admet des moments de tous ordres et que

est un nombre réel fixé.
I.B.1) On suppose que est une variable aléatoire sur ( ) suivant la loi de Poisson de paramètre .

Q 7. Montrer que admet des moments de tous ordres.
Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de . En déduire les valeurs de et .
I.B.2) Soit un entier naturel non nul. Pour est une variable aléatoire sur ( ) suivant une loi de Bernoulli de paramètre . On suppose que sont mutuellement indépendantes et on pose .
Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire .
Q 10. Pour , calculer .
Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8.
I.B.3) Pour est une variable aléatoire sur ( ) suivant la loi uniforme sur . On pose .
Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire .
Q 13. Pour , calculer .

Si est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel , la série converge absolument, on appelle moment d'ordre de la suite le nombre .
Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les moments d'ordre sont nuls.

On définit la fonction par

Q 14. Montrer que est continue sur et de classe sur .
Q 15. Calculer et démontrer que est de classe sur .
Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , il existe deux polynômes et à coefficients réels tels que, pour tout ,

Q 17. En déduire pour .
Q 18. En déduire que est de classe sur et pour , donner la valeur de .

Q 19. Démontrer, pour tout ,

On considère les polynômes de Hilbert

Q 20. Démontrer que, pour tout et tout , on a

Q 21. En déduire

où l'on a posé

Q 22. Démontrer que, pour tout .
Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité

où

On note le disque ouvert unité de .
Q 24. Montrer que, pour tout , la série entière converge.
Pour , on note et, sous réserve de convergence,

Q 25. Justifier que, pour tout et tout et que pour tout et tout , la série entière converge.
Q 26. Justifier que, pour tout , la fonction est bornée sur .
On admet que la fonction est bornée sur .
Q 27. Soit un réel de l'intervalle . Démontrer pour, tous entiers et , que

Q 28. Démontrer que, pour tout , il existe un réel et un entier naturel tels que

Q 29. Démonter que la série entière converge normalement sur [ 0,1 ] et donner la valeur de .
Q 30. Soit . Montrer que la série entière converge normalement sur et donner la valeur de .
Q 31. Démontrer que tous les moments d'ordre de la suite sont nuls.

Soit une fonction continue sur à valeurs dans . On dit que admet un moment d'ordre si la fonction est intégrable sur et on appelle moment d'ordre de le nombre .
Le but de cette partie est de construire une fonction de classe sur , non nulle, dont tous les moments d'ordre sont nuls.

On définit la fonction par

Q 32. Montrer que .
Q 33. Justifier que est de classe sur et démontrer que, pour tout , il existe tel que

Q 34. En déduire que .
On pourra effectuer le changement de variable .
Q 35. Démontrer que est de classe sur .

Q 36. Montrer que pour tout entier naturel , l'intégrale

est absolument convergente et qu'elle vaut zéro.
Q 37. À l'aide du changement de variable , démontrer que

Q 38. Conclure.