Centrale Mathématiques 2 PSI 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Ce problème aborde la notion de moment dans différents contextes : moment d'une variable aléatoire réelle discrète à valeurs positives dans la partie I; moment d'une suite numérique réelle dans la partie II; moment d'une fonction dans la partie III.

Si f est une fonction de classe C^∞ et p un entier naturel, on note f^((p)) la dérivée p-ième de f.
On note ℂ[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans ℂ.
Si a et b sont deux entiers naturels, [ [a, b] ] désigne l'ensemble des entiers compris entre a et b.
Si X est une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ) admettant une espérance, celle-ci est notée 𝔼(X).

On admet le résultat suivant :
si (u_(p, q))_((p, q) ∈ ℕ^2) est une famille de nombres réels telle que
i. pour tout p ∈ ℕ, la série ∑_(q ⩾ 0)|u_(p, q)| converge,
ii. la série ∑_(p ⩾ 0)(∑_(q = 0)^(+ ∞)|u_(p, q)|) converge,
alors, en notant S_p = ∑_(q = 0)^(+ ∞)u_(p, q) et, pour tout n entier naturel, W_n = ∑_((p, q) ∈ ℕ^2; p + q = n)u_(p, q),

Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur un espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ). On suppose que X(Ω) ⊂ ℝ^(+ ∗). Si p ∈ ℕ, on dit que X admet un moment d'ordre p si la variable aléatoire X^p admet une espérance. On note alors m_p(X), appelé moment d'ordre p de X, l'espérance de X^p.
On remarque que m_0(X) = 1.
Q 1. Justifier que ∀k ∈ [ [1, n] ], 0 ⩽ X^k ⩽ 1 + X^n.
Q 2. En déduire que, si X admet un moment d'ordre n(n ∈ ℕ^∗), alors X admet des moments d'ordre k pour tous k ∈ [ [1, n − 1] ].

On suppose que, pour tout entier naturel non nul n, X admet un moment d'ordre n et que la série entière ∑_(n ⩾ 0)m_n(X)(t^n)/(n!) admet un rayon de convergence R_X > 0.
Pour tout t ∈ ] − R_X, R_X[, on note M_X(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)m_n(X)(t^n)/(n!). La fonction M_X s'appelle la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire X.

Q 3. Justifier que la connaissance de la fonction M_X permet de déterminer de manière unique la suite (m_n(X))_(n ∈ ℕ).
Q 4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout t ∈ ] − R_X, R_X[, la variable aléatoire e^(tX) admet une espérance et que M_X(t) = 𝔼(e^(tX)).
Q 5. Montrer réciproquement que, s'il existe un réel R > 0 tel que, pour tout t ∈ ] − R, R[, la variable aléatoire e^(tX) admet une espérance, alors l'ensemble de définition de la fonction génératrice des moments de X contient ] − R, R[ et pour tout t ∈ ] − R, R[, M_X(t) = 𝔼(e^(tX)).
On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes à valeurs strictement positives admettant des moments de tous ordres. On note R_X (respectivement R_Y ) le rayon de convergence (supposé strictement positif) associé à la fonction M_X (respectivement M_Y ).
Q 6. Montrer que la variable aléatoire X + Y admet des moments de tous ordres et que

λ est un nombre réel fixé.
I.B.1) On suppose que Z est une variable aléatoire sur ( Ω, A, ℙ ) suivant la loi de Poisson de paramètre λ.

Q 7. Montrer que Z admet des moments de tous ordres.
Q 8. Calculer la fonction génératrice des moments de Z. En déduire les valeurs de m_1(Z) et m_2(Z).
I.B.2) Soit n un entier naturel non nul. Pour i ∈ [ [1, n] ], X_i est une variable aléatoire sur ( Ω, A, ℙ ) suivant une loi de Bernoulli de paramètre λ/n. On suppose que X_1, X_2, …, X_n sont mutuellement indépendantes et on pose S_n = ∑_(i = 1)^n X_i.
Q 9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire S_n.
Q 10. Pour t ∈ ℝ, calculer lim_(n → + ∞)M_(S_n)(t).
Q 11. Comparer avec les résultats de la question 8.
I.B.3) Pour n ∈ ℕ^∗, U_n est une variable aléatoire sur ( Ω, A, ℙ ) suivant la loi uniforme sur [ [1, n] ]. On pose Y_n = 1/nU_n.
Q 12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire Y_n.
Q 13. Pour t ∈ ℝ, calculer lim_(n → + ∞)M_(Y_n)(t).

Si (a_n)_(n ∈ ℕ) est une suite réelle telle que, pour tout entier naturel p, la série ∑_(n ⩾ 0)n^p a_n converge absolument, on appelle moment d'ordre p de la suite (a_n) le nombre ∑_(n = 0)^(+ ∞)n^p a_n.
Le but de cette partie est de construire une suite non nulle dont tous les moments d'ordre p(p ∈ ℕ) sont nuls.

On définit la fonction φ : ℝ → ℝ par

Q 14. Montrer que φ est continue sur ℝ et de classe C^∞ sur ℝ∖{1}.
Q 15. Calculer lim_(x → 1; x < 1)φ^′(x) et démontrer que φ est de classe C^1 sur ℝ.
Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul p, il existe deux polynômes P_p et Q_p à coefficients réels tels que, pour tout x ∈ ] − ∞, 1[,

Q 17. En déduire lim_(x → 1; x < 1)φ^((p))(x) pour p ∈ ℕ^∗.
Q 18. En déduire que φ est de classe C^∞ sur ℝ et pour p ∈ ℕ^∗, donner la valeur de φ^((p))(1).

Q 19. Démontrer, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,

On considère les polynômes de Hilbert

Q 20. Démontrer que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[ et tout q ∈ ℕ^∗, on a

Q 21. En déduire

où l'on a posé

Q 22. Démontrer que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, ∑_(i = 0)^(+ ∞)(∑_(j = 0)^(+ ∞)|a_(i, j)(x)|) = exp((|x|)/(√(1 − |x|))) − 1.
Q 23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l'égalité

où

On note D le disque ouvert unité de ℂ : D = {z ∈ ℂ; |z| < 1}.
Q 24. Montrer que, pour tout z ∈ D, la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n z^n converge.
Pour z ∈ D, on note Φ_0(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n z^n et, sous réserve de convergence,

Q 25. Justifier que, pour tout p ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ] − 1, 1[, Φ_p(x) = φ^((p))(x) et que pour tout p ∈ ℕ^∗ et tout z ∈ D, la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)(n + p)(n + p − 1)⋯(n + 1)a_(n + p)z^n converge.
Q 26. Justifier que, pour tout p ∈ ℕ, la fonction φ^((p)) est bornée sur ] − 1, 1[.
On admet que la fonction Φ_p est bornée sur D.
Q 27. Soit r un réel de l'intervalle ]0, 1[. Démontrer pour, tous entiers n ⩾ 1 et p ⩾ 1, que

Q 28. Démontrer que, pour tout p ∈ ℕ, il existe un réel K_p et un entier naturel N_p tels que

Q 29. Démonter que la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n converge normalement sur [ 0,1 ] et donner la valeur de ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n.
Q 30. Soit p ∈ ℕ^∗. Montrer que la série entière ∑_(n ⩾ 0)(n + p)(n + p − 1)⋯(n + 1)a_(n + p)x^n converge normalement sur [0, 1] et donner la valeur de ∑_(n = 0)^(+ ∞)(n + p)(n + p − 1)⋯(n + 1)a_(n + p).
Q 31. Démontrer que tous les moments d'ordre p de la suite (a_n) sont nuls.

Soit f une fonction continue sur ℝ à valeurs dans ℝ. On dit que f admet un moment d'ordre p ∈ ℕ si la fonction t ↦ t^p f(t) est intégrable sur ℝ et on appelle moment d'ordre p de f le nombre μ_p(f) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)t^p f(t)dt.
Le but de cette partie est de construire une fonction de classe C^∞ sur ℝ, non nulle, dont tous les moments d'ordre p(p ∈ ℕ) sont nuls.

On définit la fonction θ : ℝ → ℂ par

Q 32. Montrer que lim_(x → 0; x > 0)|θ(x)| = 0.
Q 33. Justifier que θ est de classe C^∞ sur ℝ^(+ ∗) et démontrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, il existe P_n ∈ ℂ[X] tel que

Q 34. En déduire que lim_(x → 0; x > 0)|θ^((n))(x)| = 0.
On pourra effectuer le changement de variable y = − lnx.
Q 35. Démontrer que θ est de classe C^∞ sur ℝ.

Q 36. Montrer que pour tout entier naturel p, l'intégrale

est absolument convergente et qu'elle vaut zéro.
Q 37. À l'aide du changement de variable t = (lnx)/(2π), démontrer que

Q 38. Conclure.