E3A Mathématiques 2 MP 2002

On rappelle qu'une fonction définie sur un intervalle de est affine s'il existe des réels tels que . Soit un intervalle de .

On note le -espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs réelles. Soit un entier naturel non nul et soient réels tels que : .

Ils définissent une subdivision de l'intervalle en intervalles , ( ). On considère le sous ensemble de formé par les fonctions dont les restrictions à chaque intervalle sont affines

(1)

Soit un entier tel que . On note la fonction définie sur par : . (1-a) Montrer que est un élément de .

Soit un entier tel que . Montrer qu'il existe un unique élément de , vérifiant : et (1-b) pour tout .

On pose et , les fonctions et étant celles définies au (1).
(2)

Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
(2-a)
Montrer que est une base de .
(2-b)
(2-c)
Montrer que est une base de . (indication : Soient des réels tels que . On pourra étudier la fonction au voisinage de , pour ).

Un cas particulier. Soient tels que . Soit , une fonction continue nulle (3) en dehors de , affine sur et sur et telle que . Déterminer tel que : .

Retour au cas général. Soit . On se propose d'exprimer formellement sur la base .
(4)

Déterminer la matrice de passage de la base à la base .
(4-а)
Par quel calcul matriciel pourrait-on obtenir, une expression de comme combinaison linéaire de (4-b) ?

Dans cette question on suppose la subdivision régulière, c'est à dire que pour tout , on a : (5) .

Expliciter alors la matrice de la question (4-a) et calculer son déterminant.
(5-a)
Pour tout , exprimer en fonction de et .
(5-b)
On note les colonnes de la matrice . Expliciter .
(5-c)
Finir le calcul de .
(5-d)

On considère l'équation différentielle : " , où représente une fonction de à valeurs dans de classe sur .
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Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation définies sur et -périodiques forment un - espace (1-a) vectoriel que l'on notera .

Établir qu'une solution de l'équation est périodique si et seulement si et
Soit une solution - périodique de l'équation ( ). Démontrer que la série de FOURIER de converge vers en précisant le mode de convergence (on énoncera avec précision le théorème utilisé).

Soit une solution -périodique de l'équation définie par .
Déterminer une relation de récurrence liant et .
(2-b-i)
En déduire que: .
(2-b-ii)
Exprimer en fonction de et de , pour tout .
(2-b-iii)
Démontrer que l'espace vectoriel n'est pas réduit à la fonction nulle et déterminer sa dimension. Toutes les (3) solutions de l'équation sont-elles -périodiques ?

On considère la solution obtenue en posant et on note sa partie réelle et sa partie imaginaire (4) .

Montrer que et sont respectivement paire et impaire.
(4-a)
Montrer que .
(4-b)
Établir que change de signe au moins quatre fois sur en déterminant tels que : (4-c) et .

On considère la fonction réelle définie sur par: .
On munit de sa structure usuelle de plan euclidien orienté. Pour tout , on note la ligne de niveau de , c'est à dire l'esemble des points tels que .

Soit la fonction définie sur par: .
(1)

Étudier les variations de la fonction et discuter suivant les valeurs de le nombre de solutions de (1-a) l'équation .

Montrer que restreinte à ] - [ définit un difféomorphisme de ] - [ sur lui même. (1-b)

Déterminer les extrémums de la fonction (le cas échéant, on précisera la nature de l'extrémum obtenu : (2) maximum ou minimum, global ou local).

Montrer que par tout point passe une ligne de niveau et une seule.
(3-a)
Déterminer dans le cas général un vecteur tangent à en ( ) et préciser les exceptions.
(3-b)
Établir que toutes les courbes admettent un même axe de symétrie que l'on précisera.
(3-c)
Pour tout , on note l'intersection de la courbe avec le demi-plan d'équation et l'intersection de la courbe avec le demi plan d'équation .

On recommande de traiter la question (6) au fur et à mesure de l'avancement des question (4) et (5).

Soit .
(4)

Déterminer une condition nécéssaire et suffisante pour soit non vide.
(4-a)
Montrer que dans ce cas, est une partie bornée de .
(4-b)
Établir que la courbe peut être caractérisée par une équation de la forme où est une fonction (4-c) sur ] [ dont on précisera les variations et les limites.

Dans ce qui suit on remplace la base canonique de par la base et on note alors les nouvelles coordonnées du point .

Pour tout , caractériser par une équation de la forme .
(5-a)
On suppose . Montrer que la branche de la courbe se caractérise par une équation de la forme (5-b) où est une fonction dont on précisera les variations et les branches infinies (on utilera la fonction définie en (1)). Comment obtient-on l'autre branche ?

On suppose . Caractériser la branche par une équation de la forme où est une (5-c) fonction dont on étudiera les variations à l'aide de la fonction définie en (1).

Indiquer sur un graphique l'allure des diverses lignes de niveau de la fonction .
(6)

FIN DU PROBLÈME