E3A Mathématiques 2 MP 2002Sujet et corrigé

On rappelle qu'une fonction f définie sur un intervalle [c, d] de ℝ est affine s'il existe des réels A, B tels que ∀x ∈ [c, d], f(x) = Ax + B. Soit [a, b] un intervalle de ℝ.

On note C(a, b]) le ℝ-espace vectoriel des fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles. Soit n un entier naturel non nul et soient a_0, a_1, …, a_n(n + 1) réels tels que : a = a_0 < a_1 < … < a_(n − 1) < a_n = b.

Ils définissent une subdivision de l'intervalle [a, b] en n intervalles [a_i, a_(i + 1)], ( 0 ≤ i < n ). On considère E le sous ensemble de C(a, b]) formé par les fonctions f : [a, b] → ℝ dont les restrictions à chaque intervalle [a_i, a_(i + 1)] sont affines

(1)

Soit i un entier tel que 0 ≤ i ≤ n. On note φ_i la fonction définie sur [a, b] par : ∀x ∈ [a, b], φ_i(x) = |x − a_i|. (1-a) Montrer que φ_i est un élément de E.

Soit i un entier tel que 0 ≤ i ≤ n. Montrer qu'il existe un unique élément δ_i de E, vérifiant : δ_i(a_i) = 1 et (1-b) pour tout j ≠ i, δ_i(a_j) = 0.

On pose B = (δ_0, δ_1, …, δ_n) et C = (φ_0 φ_1, …, φ_n), les fonctions φ_i et δ_i étant celles définies au (1).
(2)

Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C([a, b]).
(2-a)
Montrer que B est une base de E.
(2-b)
(2-c)
Montrer que C est une base de E. (indication : Soient α_0, …, α_n des réels tels que ∑_(i = 0)^n α_i φ_i = 0. On pourra étudier la fonction ∑_(i = 0)^n α_i φ_i = 0 au voisinage de α_j, pour j ∈ {0, …, n} ).

Un cas particulier. Soient u, v, w ∈ ℝ tels que u < v < w. Soit g : ℝ → ℝ, une fonction continue nulle (3) en dehors de ]u, w[, affine sur [u, v] et sur [v, w] et telle que g(v) = 1. Déterminer (α, β, γ) ∈ ℝ^3 tel que : ∀x ∈ ℝ, g(x) = α|x − u| + β|x − v| + γ|x − w|.

Retour au cas général. Soit f ∈ E. On se propose d'exprimer formellement f sur la base C.
(4)

Déterminer la matrice de passage P de la base B à la base C.
(4-а)
Par quel calcul matriciel pourrait-on obtenir, une expression de f comme combinaison linéaire de φ_0, φ_1, …, φ_n (4-b) ?

Dans cette question on suppose la subdivision régulière, c'est à dire que pour tout i(0 ≤ i < n), on a : (5) a_(i + 1) − a_i = ((b − a))/n.

Expliciter alors la matrice P de la question (4-a) et calculer son déterminant.
(5-a)
Pour tout i(0 ≤ i < n), exprimer δ_i en fonction de φ_(i − 1), φ_i et φ_(i + 1).
(5-b)
On note C_0, C_1, …, C_n les (n + 1) colonnes de la matrice P^(− 1). Expliciter C_1, …, C_(n − 1).
(5-c)
Finir le calcul de P^(− 1).
(5-d)

On considère l'équation différentielle : y " (x) − 3iy^′(x) + (e^(ix) − 2)y(x) = 0 (E), où y représente une fonction de ℝ à valeurs dans ℂ de classe C^2 sur ℝ.
m02rm2ea.tex - page 1

Montrer que l'ensemble des solutions de l'équation (E) définies sur ℝ et 2π-périodiques forment un ℂ - espace (1-a) vectoriel que l'on notera S_(2_p i).

Établir qu'une solution φ de l'équation (E) est 2π − périodique si et seulement si φ(0) = φ(2π) et φ^′(0) = φ^′(2π)
Soit f une solution 2π - périodique de l'équation ( E ). Démontrer que la série de FOURIER de f converge vers (2 − a)f en précisant le mode de convergence (on énoncera avec précision le théorème utilisé).

Soit φ une solution 2π-périodique de l'équation (E) définie par φ(x) = ∑_(k = − ∞)^(+ ∞)c_k e^(ikx).
Déterminer une relation de récurrence liant c_(k − 1) et c_k.
(2-b-i)
En déduire que: ∀k ≤ 1, c_k = 0.
(2-b-ii)
Exprimer c_k en fonction de k et de c_2, pour tout k ≥ 2.
(2-b-iii)
Démontrer que l'espace vectoriel S_(2π) n'est pas réduit à la fonction nulle et déterminer sa dimension. Toutes les (3) solutions de l'équation (E) sont-elles 2π-périodiques ?

On considère la solution φ obtenue en posant c_2 = 1 et on note φ_1 sa partie réelle et φ_2 sa partie imaginaire (4) (φ = φ_1 + iφ_2).

Montrer que φ_1 et φ_2 sont respectivement paire et impaire.
(4-a)
Montrer que φ_1(0) > 0.
(4-b)
Établir que φ_1 change de signe au moins quatre fois sur [0, 2π][ en déterminant (α, β, γ) tels que : 0 < β < γ < 2π (4-c) et φ_1(α) < 0, φ_1(β) > 0, φ_1(γ) < 0.

On considère la fonction réelle f définie sur ℝ^2 par: ∀(x, y) ∈ ℝ^2, f(x, y) = xye^(− x − y).
On munit ℝ^2 de sa structure usuelle de plan euclidien orienté. Pour tout λ_i nℝ, on note Γ_λ la ligne de niveau λ de f, c'est à dire l'esemble des points (x, y) ∈ ℝ^2 tels que f(x, y) = λ.

Soit φ la fonction définie sur ℝ par: ∀x ∈ ℝ, φ(x) = xe^(− x).
(1)

Étudier les variations de la fonction φ et discuter suivant les valeurs de λ ∈ ℝ le nombre de solutions de (1-a) l'équation φ(x) = λ.

Montrer que φ restreinte à ] - ∞, 0 [ définit un C^∞ difféomorphisme de ] - ∞, 0 [ sur lui même. (1-b)

Déterminer les extrémums de la fonction f (le cas échéant, on précisera la nature de l'extrémum obtenu : (2) maximum ou minimum, global ou local).

Montrer que par tout point (x_0, y_0) ∈ ℝ^2 passe une ligne de niveau Γ_λ et une seule.
(3-a)
Déterminer dans le cas général un vecteur tangent à Γ_λ en ( x_0, y_0 ) et préciser les exceptions.
(3-b)
Établir que toutes les courbes Γ_λ admettent un même axe de symétrie Δ que l'on précisera.
(3-c)
Pour tout λ ≠ 0, on note Γ_λ^+l'intersection de la courbe Γ_λ avec le demi-plan d'équation x > 0 et Γ_λ^−l'intersection de la courbe Γ_λ avec le demi plan d'équation x < 0.

On recommande de traiter la question (6) au fur et à mesure de l'avancement des question (4) et (5).

Soit λ > 0.
(4)

Déterminer une condition nécéssaire et suffisante pour Γ_λ^+soit non vide.
(4-a)
Montrer que dans ce cas, Γ_λ^+est une partie bornée de ℝ^2.
(4-b)
Établir que la courbe Γ_λ^−peut être caractérisée par une équation de la forme y = g_λ(x) où g_λ est une fonction (4-c) C^∞ sur ] − ∞, 0 [ dont on précisera les variations et les limites.

Dans ce qui suit on remplace la base canonique de ℝ^2 par la base ((1/1), ((− 1)/1)) et on note alors (X, Y) les nouvelles coordonnées du point (x, y).

Pour tout λ ∈ ℝ, caractériser Γ_λ par une équation de la forme F(X, Y) = λ.
(5-a)
On suppose λ < 0. Montrer que la branche Γ_λ^−de la courbe Γ_λ se caractérise par une équation de la forme (5-b) Y = G_λ(X) où G_λ est une fonction C^∞ dont on précisera les variations et les branches infinies (on utilera la fonction φ définie en (1)). Comment obtient-on l'autre branche Γ_λ^+?

On suppose λ > 0. Caractériser la branche Γ_λ^+par une équation de la forme Y = ± G_λ(X) où G_λ est une (5-c) fonction dont on étudiera les variations à l'aide de la fonction φ définie en (1).

Indiquer sur un graphique l'allure des diverses lignes de niveau de la fonction f.
(6)

FIN DU PROBLÈME