E3A Mathématiques 2 PC 2000Sujet et corrigé

Pour tous réel x > 0 et entier nไmathrel > 3, on pose : f_n(x) = x − n.ln (x), o — le symbole ln désigne le logarithme népérien.
ø1 Montrer que l'équation f_n(x) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle ouvert ]0, 2[. On appellera désormais a_n cette solution.
ø2 Montrer que la suite ( a_n ) est strictement décroissante [on pourra comparer f_n(a_n) et f_n(a_(n − 1)) ].
ø3 Montrer que cette suite ( a_n ) tend vers 1.
ø4 Soit Φ la fonction telle que Φ(t) = [(ln(1 + t))/(1 + t)], avec t réel strictement supérieur à -1 . Démontrer que Φ admet, en t = 0, un développement limité à tout ordre k , soit Φ(t) = ∑_(j = 1) kb_j t^(t + o)(t^k).
ø5 Étudier la nature de la suite |b_j|.
ø6 Montrer que, sur l'intervalle ]-1, e − 1[, la fonction Φ admet une fonction réciproque Ψ dont on donnera le tableau de variations.
ø7 Montrer que Ψ admet, en u = 0, un développement limité à tout ordre k , soit t = Ψ(u) = ∑_(j = 1)^k c_j u^j + o(u^k).
ø8 Donner pour a_n un développement limité d'ordre 2 vis-à-vis de l'infiniment petit 1/n, soit a_n = A + B/n + [C/(n^2)] + o([1/(n^2)]), o − l'on précisera les constantes A, B et C .
ø9 Prouver que les coefficients c_j sont tous strictement positifs [on pourra utiliser une équation différentielle du premier ordre reliant Ψ(u) et [d/du]Ψ(u) afin d'exprimer c_k en fonction des c_j d'indices j < k].

Pour tout x réel dans l'intervalle ouvert I = ] − [(π)/2], [(π)/2][, on pose : f(x) = [1/cos(x)]∖cdotp La dérivée d'ordre n de f en x est ici notée f(n)(x), avec la convention f(0)(x) = f(x).
ø1 (a) Prouver l'existence et l'unicité d'un polynôme P_n tel que : f(n)(x) = [(P_n(sin(x)))/((cos(x))^(n + 1))]∖cdotp
(b) Donner une relation entre P_(n + 1), P_n et P_n^′.
(c) Préciser P_0, P_1 et P_2.
(d) Déterminer le monôme de plus haut degré de P_n.
(e) Examiner la parité du polynôme P_n.
ø2 (a) Montrer que les coefficients du polynôme P_n sont des entiers positifs ou nuls.
(b) Que vaut P_n(1) ?
ø3 On pose a_n = [1/n!]f(n)(0), S_n(x) = ∑_(k = 0)n_(k_k)x^k et R_n(x) = f(x) − S_n(x). Pour tout x ∈ I, justifier la formule :

f(x) = S_n(x)^+ (x^(n + 1))/(n!) ∬ 10 u^n f^((n + 1)) x(1 − u) du.
ø4 Prouver que le rayon de convergence de la série entière ∑a_n x^n est supérieur ou égal à [(π)/2]∖cdotp
ø5 (a) Pour tous 0∖ mathrel 6x < y < [(π)/2], prouver que : 0∖ mathrel 6R_n(x)∖ mathrel 6(x/y)^(n + 1)R_n(y).
(b) Prouver également que : 0∖ mathrel 6R_n(x)∖ mathrel 6(x/y)^(n + 1)f(y).
ø6 En déduire que, pour tout x ∈ I, on a : f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_(2k)x^(2k).
ø7 (a) Démontrer que la suite (a_(2k)) tend vers 0 .
(b) Pour tout ε ∈ ]0, [(π)/2][, montrer l'existence d'une constante M_ε > 0
telle que :

On note R[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels, et R_k[X] le sous-ensemble de R[X] constitué des polynômes nuls ou dont le degré est inférieur ou égal à k. Le coefficient binômial [n!/(k! (n-k)!)] sera noté ([n ‖k] ), ou bien C_n^k, au choix. On suppose n entier supérieur ou égal à 1 dans toute la suite.
ø1 (a) Montrer l'existence de polynômes f_n et g_n dans R_(n − 1)[X], tels que :

ceci par développement de ((1 − X) + X)^(2n − 1), ou autrement [NB : on ne demande pas de calculer leurs coefficients].
(b) Préciser les polynômes f_1, f_2 et f_3.
ø2 Déterminer en fonction de f_n et de g_n tous les couples ( A, B ) de polynômes de R[X] tels que (1 − X)^n A(X) + X^n B(X) = 1. Démontrer l'unicité de f_n et de g_n.
ø3 (a) Montrer que f_n(1 − X) = g_n(X).
(b) Calculer f_n(0), f_n(1) et f_n(1/2)∖cdotp
ø4 (a) Dans tout ce qui suit, x désigne une variable réelle. Pour x tendant vers 0 , démontrer la formule asymptotique suivante : f_n(x) = (1 − x)^(− n + o(x^(n − 1))).
(b) En déduire les coefficients du polynôme f_n.
(c) L'équation f_n(x) = 0 peut-elle avoir une racine positive ou nulle?
ø5 (a) Établir, pour tout x réel, la relation nf_n(x) − (1 − x)f_n^′(x) = n([(2n − 1)‖n])x^(n − 1).
(b) En déduire que l'équation f_n(x) = 0 ne peut pas avoir deux racines
réelles strictement négatives.
ø6 Pour tout x réel, on pose : h_n(x) = ∫_0^(x_t n − 1)(1 − t)^(n − 1)dt. Suivant la parité de n, donner le tableau des variations de la fonction h_n.
ø7 (a) Démontrer que, pour tout x ≠ 1, on a : f_n(x) = [(1 − n([(2n − 1)‖n])h_n(x))/((1 − x)^n)]∖cdotp
(b) Ce résultat est-il en accord avec la valeur de f_n(1) trouvée plus haut?
ø8 Discuter selon n le nombre de racines de l'équation f_n(x) = 0 sur l'intervalle ] − ∞, 0[.
ø9 Prouver que les racines de f_n(z) = 0, z ∈ £, sont de modules strictement inférieurs à 1 .