E3A Mathématiques 2 PC 2000

Pour tous réel et entier nไmathrel , on pose : .ln , — le symbole ln désigne le logarithme népérien.
ø1 Montrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle ouvert . On appellera désormais cette solution.
ø2 Montrer que la suite ( ) est strictement décroissante [on pourra comparer et ].
ø3 Montrer que cette suite ( ) tend vers 1.
ø4 Soit la fonction telle que , avec t réel strictement supérieur à -1 . Démontrer que admet, en , un développement limité à tout ordre k , soit .
ø5 Étudier la nature de la suite .
ø6 Montrer que, sur l'intervalle ]-1, , la fonction admet une fonction réciproque dont on donnera le tableau de variations.
ø7 Montrer que admet, en , un développement limité à tout ordre k , soit .
ø8 Donner pour un développement limité d'ordre 2 vis-à-vis de l'infiniment petit , soit l'on précisera les constantes et C .
ø9 Prouver que les coefficients sont tous strictement positifs [on pourra utiliser une équation différentielle du premier ordre reliant et afin d'exprimer en fonction des d'indices .

Pour tout réel dans l'intervalle ouvert , on pose La dérivée d'ordre de en est ici notée , avec la convention .
ø1 (a) Prouver l'existence et l'unicité d'un polynôme tel que :
(b) Donner une relation entre et .
(c) Préciser et .
(d) Déterminer le monôme de plus haut degré de .
(e) Examiner la parité du polynôme .
ø2 (a) Montrer que les coefficients du polynôme sont des entiers positifs ou nuls.
(b) Que vaut ?
ø3 On pose et . Pour tout , justifier la formule :

du.
ø4 Prouver que le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à
ø5 (a) Pour tous mathrel , prouver que : mathrel mathrel .
(b) Prouver également que : mathrel mathrel .
ø6 En déduire que, pour tout , on a : .
ø7 (a) Démontrer que la suite tend vers 0 .
(b) Pour tout , montrer l'existence d'une constante
telle que :

On note l'ensemble des polynômes à coefficients réels, et le sous-ensemble de constitué des polynômes nuls ou dont le degré est inférieur ou égal à k. Le coefficient binômial [n!/(k! (n-k)!)] sera noté ([n ), ou bien , au choix. On suppose n entier supérieur ou égal à 1 dans toute la suite.
ø1 (a) Montrer l'existence de polynômes et dans , tels que :

ceci par développement de , ou autrement [NB : on ne demande pas de calculer leurs coefficients].
(b) Préciser les polynômes et .
ø2 Déterminer en fonction de et de tous les couples ( ) de polynômes de tels que . Démontrer l'unicité de et de .
ø3 (a) Montrer que .
(b) Calculer et
ø4 (a) Dans tout ce qui suit, désigne une variable réelle. Pour tendant vers 0 , démontrer la formule asymptotique suivante : .
(b) En déduire les coefficients du polynôme .
(c) L'équation peut-elle avoir une racine positive ou nulle?
ø5 (a) Établir, pour tout x réel, la relation .
(b) En déduire que l'équation ne peut pas avoir deux racines
réelles strictement négatives.
ø6 Pour tout réel, on pose : . Suivant la parité de , donner le tableau des variations de la fonction .
ø7 (a) Démontrer que, pour tout , on a :
(b) Ce résultat est-il en accord avec la valeur de trouvée plus haut?
ø8 Discuter selon n le nombre de racines de l'équation sur l'intervalle .
ø9 Prouver que les racines de , sont de modules strictement inférieurs à 1 .