Polytechnique Mathématiques 2 MP 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

Matrices réelles de partie symétrique positive

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Matrices réelles de partie symétrique positive : résolvante et exponentielle de matrices

La deuxième composition de mathématiques de l'X MP 2006 (4 heures, sans calculatrice) étudie les matrices réelles A telles que (Ax|x) soit positif pour tout x. Le problème, court, introduit la résolvante R_λ(A) = (λI + A)^(-1), caractérise les applications qui vérifient ses propriétés, puis la relie à l'exponentielle de matrice par une transformée de Laplace.

1Première partie : décomposition et s-positivitéDécomposition d'une matrice en parties symétrique et antisymétrique, puis caractérisation de la s-positivité par les valeurs propres de la partie symétrique.
2Deuxième partie : la résolvanteInversibilité de λI + A, exemples, identité de la résolvante, majoration de sa norme, limite de λR_λ(A) en 0 et dérivées successives.
3Troisième partie : caractérisation des résolvantesUne application vérifiant une majoration de norme et l'identité de la résolvante est la résolvante d'une matrice s-positive.
4Quatrième partie : lien avec l'exponentielleÉquivalence entre s-positivité et contraction de exp(-tA), puis expression de la résolvante par une intégrale sur [0, +∞[.

Accessible. Le jury juge l'épreuve bien réussie et le problème court, avec seulement un tout petit nombre de questions difficiles ; une dizaine de candidats ont obtenu 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,23 / 20 · écart-type 3,66 · 1 457 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,23/ 20
Écart-type: 3,66
Copies: 1 457

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Unicité de la décomposition négligée · Détour inutile par la diagonalisation · Majoration de la norme de la résolvante

L'épreuve a été bien réussie et une dizaine de copies ont obtenu 20. La sélection s'est jouée sur quelques questions de difficulté intermédiaire, mais trop de candidats ont buté sur des questions faciles ou standard. Le barème étant sur 20, négliger les premières questions faciles a coûté des points impossibles à rattraper.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Unicité de la décomposition négligéeQ1
L'existence est facile, mais l'unicité est mal prouvée ou omise.
« l'unicité fut un calvaire ou passée sous silence chez beaucoup »
2
Détour inutile par la diagonalisationQ2, Q3
Pour l'inversibilité de λI + A, il suffisait de minorer (x|(λI + A)x) par λ‖x‖², sans diagonaliser la partie symétrique. Certains supposent aussi à tort que A est symétrique en question 2.
3
Majoration de la norme de la résolvanteQ6
Question très souvent abordée et très mal réussie. La méthode la plus simple passait par la borne inférieure de ‖(λI + A)y‖/‖y‖.
« Cette question a été largement abordée et très mal réussie »
4
Somme directe et convergenceQ7.b, Q7.c
La moitié des candidats échouent sur la somme directe Ker A ⊕ Im A et sur la limite du projecteur. Beaucoup se contentent de la convergence simple.
5
Dérivabilité infinie non établieQ8
Il suffisait de montrer que Φ' = -Φ² puis de raisonner par récurrence ; la moitié des candidats n'y parviennent pas.
6
Réciproque et commutation abusiveQ12, Q14, Q15
En question 12, la réciproque est rarement démontrée et certains supposent sans justification que A et sa partie symétrique commutent. Aux questions 14 et 15, l'intégration par parties et la convergence des séries sont peu justifiées.
« en admettant plus ou moins explicitement que A et As commutaient »

Ce qui a été bien réussi

L'existence de la décomposition symétrique et antisymétrique est une formalité pour presque tous.
Les questions 5.a et 5.b sont bien traitées par plus de 90 % des candidats.
Les exemples de la question 4 et la question 13 sont en général bien traités par ceux qui les abordent.

Conseils du jury

Traiter soigneusement les premières questions faciles, qui pèsent lourd dans un barème sur 20.
Ne proposer qu'une seule solution par question : si l'une est fausse, le correcteur risque de ne retenir que celle-là.
Justifier les passages à la limite dans une intégration par parties et la convergence des séries utilisées.
Vérifier la cohérence d'un résultat avec un calcul antérieur plutôt que forcer l'égalité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS D'ADMISSION 2006

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Matrices réelles de partie symétrique positive

Dans tout le problème, l'espace vectoriel

R^n

sera muni du produit scalaire usuel noté (.|.) et de la norme correspondante

‖

‖.OnnoteraM_n(R)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes et

n

colonnes, à coefficients réels, et

I

la matrice identité ; on munira

M_n(R)

de la norme usuelle :

‖A‖ = sup{(‖Ax‖)/(‖x‖), x \neq 0}.

Une matrice

A

M_n(R)

sera dite

s

-positive si l'on a

(Ax|x) ⩾ 0

pour tout

x

R^n

Première partie

Montrer que toute matrice $A$ de $M_n(R)$ s'écrit de façon unique comme somme d'une matrice symétrique $A_s$ et d'une matrice antisymétrique $A_a$ .
Soit $A$ une matrice de $M_n(R)$ . Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur les valeurs propres de $A_s$ , pour que $A$ soit $s$ -positive.

Deuxième partie

Montrer que, pour toute matrice $s$ -positive $A$ et tout nombre réel $λ > 0$ , la matrice $λI + A$ est inversible.

On posera alors

R_λ(A) = (λI + A)^(- 1)

.
4. (Étude d'exemples) On examinera les deux exemples suivants:
a)

n = 2, A = (0, 1; - 1, 0)

.
b)

n = 3, A = (0, 0, 1; 0, 0, 0; - 1, 0, 0)

Pour chacun de ces exemples : calculer

KerA, ImA, R_λ(A)

, dire si

R_λ(A)(resp.λR_λ(A))

admet une limite lorsque

λ \to 0et

, si oui, donner cette limite.

Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matrice

s

-positive

A

et un réel

λ > 0

.
5. Démontrer les assertions suivantes :
5.a)

AR_λ(A) = R_λ(A)A = I - λR_λ(A).

5.b) Pour tout réel

μ > 0

, on a

R_λ(A) - R_μ(A) = (μ - λ)R_λ(A)R_μ(A).

Démontrer l'inégalité $‖R_λ(A)‖ ⩽ 1/λ$ , avec égalité si et seulement si det $A$ est nul.
Démontrer les assertions suivantes :
7.a) Pour tout $x \in ImA, λR_λ(A)x \to 0$ lorsque $λ \to 0$ .
7.b) L'espace $R^n$ est somme directe de $KerA$ et $ImA$ .
7.c) Lorsque $λ$ tend vers $0, λR_λ(A)$ tend vers le projecteur sur $KerA$ parallèlement à $ImA$ .
Montrer que l'application $Φ : λ \mapsto R_λ(A)$ de $]0, + \infty[$ dans $M_n(R)$ est indéfiniment dérivable, et exprimer ses dérivées successives $Φ^((p))$ en fonction de ses puissances $Φ^q : λ \mapsto Φ(λ)^q$ .

Troisième partie

Dans cette troisième partie on se donne une application

F

]0, + \infty[

dans

M_n(R)

possédant les propriétés suivantes :
(i)

\forallλ > 0, ‖F(λ)‖ ⩽ 1/λ

;
(ii)

\forallλ, μ > 0, F(λ) - F(μ) = (μ - λ)F(λ)F(μ)

;
(iii)

F(1)

est inversible.
9. Montrer que

F(λ)

est inversible pour tout

λ > 0

.
10.a) Calculer

F(λ)^(- 1) - F(μ)^(- 1)

.
10.b) Montrer que, lorsque

λ \to 0, F(λ)^(- 1)

admet une limite

A

et que l'on a, pour tout

λ > 0

λI + A = F(λ)^(- 1)

.
11. Montrer que les matrices

AF(λ)

A

sont

s

-positives.

Quatrième partie

Étant donné une matrice

A

M_n(R)

, on pourra admettre les résultats suivants :
(i) La série

\sum_(k = 0)^(+ \infty)(A^k)/(k!)

est convergente. Notons

expA

sa somme.
(ii) La fonction de variable réelle

t \mapsto exp(tA)

est dérivable et sa dérivée est donnée par

d/(dt)exp(tA) = Aexp(tA)

Soit $A$ une matrice de $M_n(R)$ . Démontrer l'équivalence des conditions suivantes :
(i) pour tout $t ⩾ 0$ , on a $‖exp(- tA)‖ ⩽ 1$ ;
(ii) pour tout $x \in R^n$ , la fonction $t \mapsto ‖exp(- tA)x‖^2$ est décroissante;
(iii) $A$ est $s$ -positive.

On fixe maintenant une matrice

As

-positive et un réel

λ > 0

.
13. Démontrer la convergence des intégrales

ρ(λ)_(i, j) = \int_0^(+ \infty)e^(- λt)(exp(- tA))_(i, j) dt, 1 ⩽ i, j ⩽ n

On note

ρ(λ)

la matrice de coefficients

ρ(λ)_(i, j)

.
14. Comparer

ρ(λ)

R_λ(A)

. [On pourra calculer d'abord

Aρ(λ) + λρ(λ)

.]
15. On considère le premier exemple de la question 4. Calculer

exp(- tA)

, puis

ρ(λ)

. Retrouver la valeur de

R_λ(A)

obtenue à la question 4 .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 2 X MP 2006 ?

Sur les matrices réelles de partie symétrique positive, leur résolvante (λI + A)^(-1) et le lien avec l'exponentielle de matrice.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 2 Polytechnique MP 2006 ?

Pour les 1457 copies de candidats français, la moyenne est de 10,23 avec un écart-type de 3,66.

Quelles erreurs le jury de maths 2 X MP 2006 a-t-il relevées ?

Unicité de la décomposition non prouvée, détours inutiles par la diagonalisation, majoration de la norme de la résolvante ratée, dérivabilité infinie non établie et réciproques rarement traitées.

Le sujet de maths 2 X MP 2006 est-il difficile ?

Le jury le juge bien réussi et court, avec peu de questions difficiles ; la question 11 a été la principale difficulté.

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Commentaires• Polytechnique Mathématiques 2 MP 2006

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