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Polytechnique Mathématiques 2 MP 2006

Matrices réelles de partie symétrique positive

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CONCOURS D'ADMISSION 2006

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Matrices réelles de partie symétrique positive

Dans tout le problème, l'espace vectoriel sera muni du produit scalaire usuel noté (.|.) et de la norme correspondante . l'espace vectoriel des matrices à lignes et colonnes, à coefficients réels, et la matrice identité ; on munira de la norme usuelle :
Une matrice de sera dite -positive si l'on a pour tout de .

Première partie

  1. Montrer que toute matrice de s'écrit de façon unique comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique .
  2. Soit une matrice de . Trouver une condition nécessaire et suffisante, portant sur les valeurs propres de , pour que soit -positive.

Deuxième partie

  1. Montrer que, pour toute matrice -positive et tout nombre réel , la matrice est inversible.
On posera alors .
4. (Étude d'exemples) On examinera les deux exemples suivants:
a) .
b) .
Pour chacun de ces exemples : calculer , dire si admet une limite lorsque , si oui, donner cette limite.
Dans la suite de cette deuxième partie on se donne une matrice -positive et un réel .
5. Démontrer les assertions suivantes :
5.a)
5.b) Pour tout réel , on a
  1. Démontrer l'inégalité , avec égalité si et seulement si det est nul.
  2. Démontrer les assertions suivantes :
    7.a) Pour tout lorsque .
    7.b) L'espace est somme directe de et .
    7.c) Lorsque tend vers tend vers le projecteur sur parallèlement à .
  3. Montrer que l'application de dans est indéfiniment dérivable, et exprimer ses dérivées successives en fonction de ses puissances .

Troisième partie

Dans cette troisième partie on se donne une application de dans possédant les propriétés suivantes :
(i) ;
(ii) ;
(iii) est inversible.
9. Montrer que est inversible pour tout .
10.a) Calculer .
10.b) Montrer que, lorsque admet une limite et que l'on a, pour tout , .
11. Montrer que les matrices et sont -positives.

Quatrième partie

Étant donné une matrice de , on pourra admettre les résultats suivants :
(i) La série est convergente. Notons sa somme.
(ii) La fonction de variable réelle est dérivable et sa dérivée est donnée par
  1. Soit une matrice de . Démontrer l'équivalence des conditions suivantes :
    (i) pour tout , on a ;
    (ii) pour tout , la fonction est décroissante;
    (iii) est -positive.
On fixe maintenant une matrice -positive et un réel .
13. Démontrer la convergence des intégrales
On note la matrice de coefficients .
14. Comparer et . [On pourra calculer d'abord .]
15. On considère le premier exemple de la question 4. Calculer , puis . Retrouver la valeur de obtenue à la question 4 .

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