Feuille d'entraînement : Cristallographie

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q40

   D'après l'expression établie à la question Q39, l'intensité s'écrit :

   I(\theta) = 4 I_0 \cos^2\left(\frac{\pi \delta}{\lambda}\right) = 2 I_0 \left[1 + \cos\left(\frac{4\pi a_c \sin\theta}{\lambda}\right)\right]

   L'intensité est maximale (I_{\max} = 4 I_0) lorsque le cosinus vaut 1, c'est-à-dire pour des interférences constructives :

   \Delta\varphi = 2p\pi \iff \delta = p\lambda \quad \text{avec } p \in \mathbb{Z}

   Comme \delta = 2 a_c \sin\theta (d'après la question Q38) et que l'angle d'incidence rasant \theta est compris dans l'intervalle ]0, \, \pi/2], l'ordre d'interférence p est un entier strictement positif (p \in \mathbb{N}^*).

   On en déduit la loi de Bragg :

   2 a_c \sin\theta = p \lambda \iff \sin\theta = \frac{p\lambda}{2a_c}

   Les valeurs de l'angle \theta correspondant aux maxima d'intensité sont donc :

   \boxed{\theta_p = \arcsin\left(\frac{p\lambda}{2a_c}\right) \quad \text{avec } p \in \mathbb{N}^* \text{ tel que } p \le \frac{2a_c}{\lambda}}

   Détermination du paramètre de maille a_c :

   La longueur d'onde \lambda de la source de rayons X étant connue, la mesure expérimentale de l'angle \theta_p associé au maximum d'ordre p (par exemple le premier pic pour p = 1) permet d'isoler directement a_c :

   \boxed{a_c = \frac{p\lambda}{2\sin\theta_p}}

   Si l'on dispose de la mesure de plusieurs angles \theta_p pour différents ordres p, on peut tracer \sin\theta_p en fonction de p. On obtient alors une droite passant par l'origine de pente \alpha = \frac{\lambda}{2a_c}, ce qui donne une détermination plus précise : a_c = \frac{\lambda}{2\alpha}.

   Résultat

   $${\theta }_p=\arcsin \left(\frac{p\lambda }{2a_c}\right)\text{avec }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ tel que }p\le \frac{2a_c}{\lambda }$$

   $$a_c=\frac{p\lambda }{2\sin {\theta }_p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q43

   D'après la relation établie à la question Q40, la condition d'interférences constructives (loi de Bragg) s'écrit :

   2 a_c \sin\theta_p = p \lambda \quad (p \in \mathbb{N}^*)

   Le premier maximum de diffraction non nul correspond à l'ordre p = 1 sous l'angle \theta_1 = 14{,}0^\circ. On en déduit l'expression du paramètre de maille a_c :

   a_c = \frac{\lambda}{2 \sin\theta_1}

   Application numérique : Avec \lambda = 0{,}171\text{ nm} et \theta_1 = 14{,}0^\circ :

   \begin{aligned} \sin(14{,}0^\circ) &\approx 0{,}2419 \\ a_c &= \frac{0{,}171 \cdot 10^{-9}}{2 \times \sin(14{,}0^\circ)} \approx 3{,}53 \cdot 10^{-10}\text{ m} = 0{,}353\text{ nm} \end{aligned}

   \boxed{a_c = 0{,}353\text{ nm} = 353\text{ pm}}

   Discussion de l'ordre de grandeur : Cet ordre de grandeur est tout à fait cohérent :

   • la taille typique d'un atome (rayon atomique) est de l'ordre de l'angström, soit r \sim 10^{-10}\text{ m} = 0{,}1\text{ nm} ;
   • les paramètres de maille des métaux usuels cristallisés sont ainsi typiquement compris entre 0{,}3\text{ nm} et 0{,}5\text{ nm}. La valeur trouvée pour le nickel (0{,}353\text{ nm}) correspond d'ailleurs très précisément à la valeur tabulée de sa maille cubique à faces centrées (a \approx 0{,}352\text{ nm}).

   Résultat

   $$a_c=0,353\text{ nm}=353\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question