Feuille d'entraînement : Transformateur

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q18

   Les deux enroulements n'ayant pas de résistance ohmique significative et étant orientés en convention récepteur relativement aux courants i_a(t) et i_b(t), les tensions à leurs bornes s'expriment par la loi de Faraday :

   \begin{aligned} u_a(t) &= L_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + M \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \\ u_b(t) &= M \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + L_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \end{aligned}

   Dans le cas où r_a = r_b (couplage parfait k=1), d'après les résultats de la question Q17, on a :

   \frac{L_a}{N_a^2} = \frac{L_b}{N_b^2} = \frac{M}{N_a N_b} = \Lambda \quad \text{avec} \quad \Lambda = \frac{\mu_0 \pi r_a^2}{\ell}

   On peut donc réécrire les inductances sous la forme :

   L_a = \Lambda N_a^2, \quad L_b = \Lambda N_b^2 \quad \text{et} \quad M = \Lambda N_a N_b

   En injectant ces expressions dans les équations électriques :

   \begin{aligned} u_a(t) &= \Lambda N_a^2 \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + \Lambda N_a N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} = N_a \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right) \\ u_b(t) &= \Lambda N_a N_b \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + \Lambda N_b^2 \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} = N_b \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right) \end{aligned}

   En divisant respectivement par N_a et N_b, on obtient le même membre de droite :

   \frac{u_a(t)}{N_a} = \frac{u_b(t)}{N_b} = \Lambda \left( N_a \frac{\mathrm{d}i_a}{\mathrm{d}t} + N_b \frac{\mathrm{d}i_b}{\mathrm{d}t} \right)

   D'où la relation fondamentale du transformateur idéal :

   \boxed{\frac{u_a(t)}{N_a} = \frac{u_b(t)}{N_b}}

   Résultat

   $$\frac{u_a(t)}{N_a}=\frac{u_b(t)}{N_b}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q21

   D'après le schéma de la figure 6, le transformateur idéal associé présente un rapport de transformation de 1 : N_4. La boucle d'eau conductrice (circuit primaire associé à l'inductance L_3) comporte donc N_3 = 1 spire, et la bobine de mesure (circuit secondaire associé à l'inductance L_4) comporte N_4 spires.

   En appliquant le résultat de la question Q17 au cas d'un couplage parfait (k = 1, sans fuite magnétique) entre ces deux enroulements :

   \frac{L_3}{N_3^2} = \frac{M}{N_3 N_4}

   Avec N_3 = 1, cette relation se simplifie immédiatement en :

   \frac{M}{L_3} = \frac{N_4}{N_3} = N_4 \quad \Longleftrightarrow \quad M = N_4 L_3

   D'après l'expression de l'admittance \underline{Y} établie à la question Q20 :

   \underline{Y} = \frac{1}{jL_3\omega_0} + \frac{M N_4}{L_3 R_m}

   En y injectant le rapport \frac{M}{L_3} = N_4, on obtient directement :

   \boxed{\underline{Y} = \frac{1}{jL_3\omega_0} + \frac{N_4^2}{R_m}}

   Résultat

   $$\underline{Y}=\frac{1}{j{L}_3{\omega }_0}+\frac{N_4^2}{R_m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q23

   D'après l'expression de \underline{u}_3 établie à la question Q19 :

   \underline{u}_3 = j L_3 \omega_0 \underline{i}_e - j M \omega_0 \underline{i}_4 \iff \underline{i}_e = \frac{\underline{u}_3}{j L_3 \omega_0} + \frac{M}{L_3}\underline{i}_4

   En utilisant le résultat du couplage parfait pour une spire au primaire (N_3 = 1) et N_4 spires au secondaire, M = N_4 L_3, cette relation devient :

   \underline{i}_e = \frac{\underline{u}_3}{j L_3 \omega_0} + N_4 \underline{i}_4

   Or, d'après la question Q21, l'admittance \underline{Y} s'écrit :

   \underline{i}_e = \underline{Y}\underline{u}_3 = \left(\frac{1}{j L_3 \omega_0} + \frac{N_4^2}{R_m}\right)\underline{u}_3 = \frac{\underline{u}_3}{j L_3 \omega_0} + \frac{N_4^2}{R_m}\underline{u}_3

   Par identification des deux expressions de \underline{i}_e, on en déduit :

   N_4 \underline{i}_4 = \frac{N_4^2}{R_m}\underline{u}_3 \iff \underline{u}_3 = \frac{R_m}{N_4}\underline{i}_4

   D'après le résultat de la question Q22, la tension \underline{u}_2 s'exprime en fonction de \underline{u}_3 par :

   \underline{u}_2 = (1 + R_e \underline{Y})\underline{u}_3 = (1 + R_e \underline{Y})\frac{R_m}{N_4}\underline{i}_4

   Considérons enfin le premier transformateur (d'excitation) de rapport de spires N_1 : 1. La relation établie à la question Q18, \frac{u_a}{N_a} = \frac{u_b}{N_b}, a été démontrée pour deux tensions orientées en convention récepteur. Sur les figures 4 et 7 :

   • l'enroulement primaire L_1 est orienté en convention récepteur pour le couple (\underline{u}_1, \underline{i}_1) ;
   • l'enroulement secondaire L_2 délivre le courant \underline{i}_e à la boucle d'eau par sa borne supérieure : le couple (\underline{u}_2, \underline{i}_e) est donc en convention générateur. Sa tension en convention récepteur vaut -\underline{u}_2.

   La relation du transformateur s'écrit donc :

   \frac{\underline{u}_1}{N_1} = \frac{-\underline{u}_2}{1} \iff \underline{u}_1 = -N_1 \underline{u}_2

   En substituant l'expression de \underline{u}_2, on obtient directement la relation recherchée :

   \boxed{\underline{u}_1 = -\frac{N_1}{N_4}(1 + R_e \underline{Y}) R_m \underline{i}_4}

   Résultat

   $${\underline{u}}_1=-\frac{N_1}{N_4}(1+R_e\underline{Y})R_m{\underline{i}}_4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q24

   D'après la question Q23, la tension \underline{u}_1 et l'intensité \underline{i}_4 sont reliées par :

   \underline{u}_1 = -\frac{N_1}{N_4} (1 + R_e \underline{Y}) R_m \underline{i}_4

   En utilisant l'expression de \underline{Y} établie à la question Q21 :

   \underline{Y} = \frac{1}{j L_3 \omega_0} + \frac{N_4^2}{R_m}

   le terme entre crochets s'écrit :

   \begin{aligned} (1 + R_e \underline{Y}) R_m &= R_m \left( 1 + \frac{R_e}{j L_3 \omega_0} + \frac{R_e N_4^2}{R_m} \right) \\ &= R_m \left( 1 + \frac{R_e}{j L_3 \omega_0} \right) + N_4^2 R_e \end{aligned}

   À la limite où la résistance R_m tend vers 0 :

   \lim_{R_m \to 0} (1 + R_e \underline{Y}) R_m = N_4^2 R_e

   On en déduit l'expression de la relation complexe à cette limite :

   \underline{u}_1 = -\frac{N_1}{N_4} \left( N_4^2 R_e \right) \underline{i}_{4,\text{lim}} = -N_1 N_4 R_e \, \underline{i}_{4,\text{lim}}

   Soit en exprimant l'intensité complexe \underline{i}_{4,\text{lim}} :

   \underline{i}_{4,\text{lim}} = -\frac{1}{N_1 N_4 R_e} \underline{u}_1

   Le facteur de proportionnalité étant réel, il n'introduit aucun déphasage supplémentaire (en dehors du signe moins qui correspond à une opposition de phase). En régime temporel, on obtient directement :

   \boxed{i_{4,\text{lim}}(t) = -\frac{1}{N_1 N_4 R_e} u_1(t)}

   Commentaires :

   • Mesure de la conductivité : L'énoncé précise que la résistance de l'eau R_e est proportionnelle à l'inverse de la conductivité \sigma de l'eau (R_e \propto 1/\sigma). Ainsi, l'amplitude de i_{4,\text{lim}}(t) est directement proportionnelle à la conductivité \sigma :

     i_{4,\text{lim}}(t) \propto \sigma \, u_1(t)

     La mesure de l'intensité i_{4,\text{lim}} donne donc accès de manière linéaire à la salinité de l'eau de mer.

   • Suppression des effets réactifs : À la limite R_m \to 0, le terme inductif j L_3 \omega_0 disparaît de la relation entre l'entrée et la sortie. Le système se comporte comme une simple résistance équivalente, s'affranchissant des fluctuations éventuelles de la pulsation \omega_0 ou des caractéristiques géométriques inductives.
   • Condition de réalisation pratique : Cette limite idéale R_m \to 0 correspond au fonctionnement d'un circuit de mesure en court-circuit (masse virtuelle), ce qui justifie l'utilisation d'un convertisseur courant-tension à ALI étudié dans la sous-partie suivante.

   Résultat

   $$i_{4,\text{lim}}(t)=-\frac{1}{N_1{N}_4{R}_e}{u}_1(t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question