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\title{Epreuve de Mathématiques I-A }

\author{Durée 4 h}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{* Banque filière PT **}


\section*{L'usage des machines à calculer est interdit. \\
 Toutes les réponses seront justifiées \\
 La notation tiendra compte du soin apporté à la rédaction. \\
 Les quatre parties sont largement indépendantes }
\section*{Partie 1}
Soit la série entière $\sum \frac{z^{n}}{n}$ dont le terme général est défini pour $n \geq 1$ et dans laquelle $z$ désigne la variable complexe.

\section*{Question 1}
a) Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série.\\
b) Est-elle convergente pour $z=1$ ? Pour $z=-1$ ?

\section*{Question 2}
Pour $x$ réel vérifiant $|x|<R$, on note $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$.\\
a) Calculer $S^{\prime}(x)$.\\
b) En déduire $S(x)$.

\section*{Question 3}
Etudier la convergence des séries numériques $\sum\left(-\frac{1}{2} \frac{1}{3 p+1}-\frac{1}{2} \frac{1}{3 p+2}+\frac{1}{3 p+3}\right)$ et $\sum\left(\frac{1}{3 p+1}-\frac{1}{3 p+2}\right)$, où $p$ est entier positif ou nul.

La série $\sum \frac{z^{n}}{n}$ converge-t-elle pour $z=\mathrm{e}^{2 i \pi / 3}$ ? Indication: on pourra représenter $z^{3 p+1}, z^{3 p+2}$ ainsi que $z^{3 p+3}$ dans le plan complexe.

\section*{Question 4}
a) Pour tout réel $\theta$ tel que $\mathrm{e}^{i \theta}$ est différent de 1 , calculer la somme $\sum_{k=p}^{k=q} \mathrm{e}^{i k \theta}$ pour $p$ et $q$ entiers strictement positifs vérifiant $p<q$.\\
b) Vérifier que cette expression est bornée lorsque $e^{i \theta}$ est différent de 1.\\
c) Soit $u_{n}$ une suite de nombres réels tendant vers 0 et vérifiant de plus la propriété suivante: la série de terme général $\left|u_{n+1}-u_{n}\right|$ est convergente. Soit $v_{n}$ une suite de nombres complexes pour laquelle il existe un réel $M$ fini tel que, pour tous entiers strictement positifs $p$ et $q$, avec $p<q$, on a $\left|\sum_{k=p}^{k=q} v_{k}\right| \leq M$. On admet la propriété suivante: la série de terme général $u_{n} v_{n}$ converge.

Etudier la convergence de la série $\sum \frac{z^{n}}{n}$ lorsque $z$ est un nombre complexe différent de 1 et de module égal à 1 .

\section*{Partie 2}
Soit $\mathcal{P}$ le sous-ensemble du plan complexe $\mathbb{C}$ défini par $\operatorname{Re}(z)>0$.\\
Pour tout $z$ de $\mathcal{P}$, on désigne par $\operatorname{Arg}(z)$ l'unique argument de $z$ qui appartient à l'intervalle $]-\pi / 2, \pi / 2[$.

On note alors $F$ la fonction définie sur $\mathcal{P}$ par la relation $F(z)=\ln (|z|)+i \operatorname{Arg}(z)$.

\section*{Question 1}
Pour tout $z$ de $\mathcal{P}$, calculer $\mathrm{e}^{F(z)}$.

\section*{Question 2}
Pour tout $z$ de $\mathcal{P}$ écrit sous la forme $z=x+i y$, avec $x$ réel strictement positif et $y$ réel, on pose $P(x, y)=\operatorname{Re}(F(z))$ et $Q(x, y)=\operatorname{Im}(F(z))$.\\
a) Exprimer $Q$ à l'aide de la fonction Arctan.\\
b) Calculer $\frac{\partial P(x, y)}{\partial x}-\frac{\partial Q(x, y)}{\partial y}$ et $\frac{\partial P(x, y)}{\partial y}+\frac{\partial Q(x, y)}{\partial x}$.\\
c) Pour toute fonction $\varphi$ de classe $C^{2}$ d'un ouvert de $R \times R$ dans $R$, on définit le laplacien $\Delta \varphi$ de $\varphi$ par la relation $\Delta \varphi(x, y)=\frac{\partial^{2} \varphi(x, y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi(x, y)}{\partial y^{2}}$.

Calculer $\Delta P$ et $\Delta Q$.\\
d) Soit $\gamma$ une courbe fermée sans point double, orientée, de classe $C^{1}$ et contenue dans $\mathcal{P}$. En se ramenant à des intégrales doubles, calculer les intégrales $\int_{\gamma} P(x, y) d x-Q(x, y) d y$ et $\int_{\gamma} Q(x, y) d x+P(x, y) d y$.

\section*{Question 3}
a) A-t-on la relation $1-z \in \mathcal{P}$ dès que $z$ est un nombre complexe différent de 1 et de module inférieur ou égal à 1 ?\\
b) On admet que pour tout $z$ du plan complexe $\mathbb{C}$ différent de 1 et de module inférieur ou égal à 1 , on a la relation : $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n}=-F(1-z)$. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{n}$ en fonction de $\theta$ pour tout $\theta$ de $] 0,2 \pi[$.

\section*{Partie 3}
Soit $\theta$ un réel donné appartenant à $] 0, \pi[$.\\
Soit $f$ la fonction de la variable réelle périodique de période $2 \pi$, paire, définie sur $[0, \pi]$ par les relations: $f(x)=1$ pour $x \in[0, \theta[, f(\theta)=1 / 2, f(x)=0$ pour $x \in] \theta, \pi]$.\\
a) Représenter graphiquement $f$ sur $[-\pi, 2 \pi]$.\\
b) Déterminer la série de Fourier de $f$.\\
c) Etudier la convergence de cette série de Fourier.\\
d) En déduire directement la valeur de la somme de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n \theta)}{n}$ pour $\left.\theta \in\right] 0, \pi[$, puis pour $\theta \in] \pi, 2 \pi[$.

\section*{Partie 4}
Soit $g$ la fonction réelle de la variable réelle, $2 \pi$-périodique, définie par $g(0)=0$ et par $g(x)=\frac{\pi-x}{2}$ pour tout $x$ dans $] 0,2 \pi[$.

\section*{Question 1}
a) Représenter graphiquement $g$ sur $[-4 \pi, 4 \pi]$.\\
b) Déterminer la série de Fourier de $g$.

\section*{Question 2}
a) Etudier la convergence de cette série.\\
b) En déduire la valeur de $\sum_{p=0}^{\infty} \frac{(-1)^{p}}{2 p+1}$ et de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$.

\section*{Question 3}
a) En utilisant par exemple le résultat obtenu en 1.4.a), exprimer en fonction de $n$ et de $\theta$ la somme finie $\sum_{k=1}^{k=n} \cos k \theta$.\\
b) Pour $x$ réel, on pose $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\sin (k x)}{k}$. Etablir que, pour tout $x$ de $] 0, \pi[$, on a la relation: $S_{n}(x)=-\frac{x}{2}+\int_{0}^{x} \frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) t\right)}{2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)} d t$.\\
c) La fonction $t \mapsto \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t}$ peut-elle être prolongée par continuité en 0 ?

Soit $h_{n}$ une suite de nombres réels strictement positifs qui tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Calculer $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{h_{n}}\left(\frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t}\right) d t$, puis $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{h_{n}}\left(\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) t\right)}{2 \sin \left(\frac{t}{2}\right)}-\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right) t\right)}{t}\right) d t$.\\
d) On désigne par $x_{n}$ le plus petit réel strictement positif qui réalise un maximum relatif de $S_{n}(x)$.

Montrer simultanément que $S_{n}\left(x_{n}\right)$ tend vers une limite lorsque $n$ tend vers l'infini et que cette limite $L$ peut s'écrire sous la forme $\int_{0}^{\alpha} \frac{\sin u}{u} d u$ pour un réel $\alpha$ que l'on déterminera.\\
e) On propose une valeur approchée de l'intégrale $L$ sous la forme $\sum_{k=0}^{k=4} \frac{(-1)^{k} \pi^{2 k+1}}{(2 k+1)!(2 k+1)}$. Commet-on une erreur inférieure en valeur absolue à $10^{-3}$ ?


\end{document}