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\title{Epreuve de Mathématiques A }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Durée 4 h\\
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

\section*{L'usage de calculatrices est interdit.}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultat non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Le problème se compose de 4 parties. Les 3 premières parties sont totalement indépendantes entre elles. La quatrième partie utilise les résultats des parties précédentes mais peut se traiter en admettant ces résultats.

Si $n$ est un entier, on note $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels. On note $I_{n}$ la matrice identité de cet ensemble.

Si $A$ est une matrice, on note ${ }^{t} A$ sa transposée. $\operatorname{Tr}(A)$ désigne la trace de $A$.\\
On identifie dans tout ce problème $\mathbb{R}^{n}$ avec l'ensemble des matrices colonnes à $n$ lignes.\\
Si $E$ et $F$ sont deux espaces vectoriels sur $\mathbb{R}$, on note $\mathcal{L}(E, F)$ l'espace des applications linéaires de $E$ dans $F$. On note $E^{*}$ l'espace $\mathcal{L}(E, \mathbb{R})$ des formes linéaires sur $E$.

Dans tout le problème, pour $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ on considère les applications suivantes :

\[
\begin{aligned}
\phi_{A}: \quad \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) & \longrightarrow \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \\
M & \longmapsto A M \\
& \gamma_{A}: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{T}_{A}: \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \\
M & \longmapsto A M-M A
\end{aligned}
\]

\section*{Questions préliminaires}
\begin{enumerate}
  \item Vérifier que, pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, les applications $\phi_{A}, \tau_{A}$ et $\gamma_{A}$ sont linéaires.
  \item Donner la dimension de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, et celle de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{*}$.
  \item Enoncer le théorème de la base incomplète.
\end{enumerate}

\section*{Partie I : Un exemple}
Dans cette partie, on pose

\[
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & 2
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
  \item La matrice $B$ est-elle diagonalisable? Si oui, préciser une base de vecteurs propres.
  \item On pose
\end{enumerate}

\[
E_{11}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad E_{12}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad E_{21}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad E_{22}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) .
\]

(a) Vérifier que la famille $\mathcal{E}=\left(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\right)$ est une base de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$.\\
(b) Calculer $\phi_{A}\left(E_{i j}\right)$ pour tout $1 \leq i, j \leq 2$.\\
(c) Donner la matrice de $\phi_{A}$ dans la base $\mathcal{E}$.\\
(d) L'endomorphisme $\phi_{A}$ est-il diagonalisable ? Si oui, préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres de $\phi_{A}$ (on rappelle qu'ici, un vecteur propre sera une matrice de $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ ).

\section*{Partie II : Réduction de l'endomorphisme $\phi_{A}$}
On se fixe maintenant $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.

\begin{enumerate}
  \item Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ tel qu'il existe une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ non nulle vérifiant $\phi_{A}(M)=\lambda M$. Montrer que la matrice $A-\lambda I_{n}$ n'est pas inversible.
  \item Montrer que si $\lambda \in \mathbb{R}$ est une valeur propre de $\phi_{A}$, c'est également une valeur propre de $A$.
  \item Soit $\mu$ une valeur propre de $A, X$ un vecteur colonne non nul tel que $A X=\mu X$. Soit $M$ une matrice dont une colonne est égale à $X$ et toutes les autres colonnes sont nulles. Montrer que $M$ est un vecteur propre de $\phi_{A}$.
  \item Donner l'ensemble des valeurs propres de $\phi_{A}$.
  \item Montrer que si $A$ est diagonalisable, $\phi_{A}$ l'est également (on pourra, à partir d'une base de vecteurs propres de $A$, construire une base de vecteurs propres de $\phi_{A}$ ).
\end{enumerate}

\section*{Partie III : Un théorème de factorisation}
Soient $E, F$ et $G$ trois espaces vectoriels de dimension finie, $u \in \mathcal{L}(E, F)$ et $v \in \mathcal{L}(E, G)$. Le but de cette partie est de montrer que

\[
\operatorname{Ker}(u) \subset \operatorname{Ker}(v) \Longleftrightarrow \exists w \in \mathcal{L}(F, G), v=w \circ u .
\]

\begin{enumerate}
  \item On suppose qu'il existe $w \in \mathcal{L}(F, G)$ telle que $v=w \circ u$.
\end{enumerate}

Montrer que $\operatorname{Ker}(u) \subset \operatorname{Ker}(v)$.\\
2. On suppose que $\operatorname{dim} E=n, \operatorname{dim} \operatorname{ker}(u)=n-p$ et $\operatorname{dim} F=r$.\\
(a) Justifier pourquoi on peut choisir $\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$ base de $E$ de sorte que $\left(e_{p+1}, \ldots, e_{n}\right)$ soit une base de $\operatorname{Ker}(u)$.\\
Quelle est alors la dimension de $\operatorname{Im}(u)$ ?\\
(b) Pour tout $1 \leq i \leq p$, on pose $f_{i}=u\left(e_{i}\right)$. Montrer que la famille $\left(f_{i}\right)_{1 \leq i \leq p}$ est une base de $\operatorname{Im}(u)$.\\
(c) On complète la famille précédente de sorte que $\left(f_{i}\right)_{1 \leq i \leq r}$ soit une base de $F$. On définit alors $w \in \mathcal{L}(F, G)$ par

\[
w\left(f_{i}\right)= \begin{cases}v\left(e_{i}\right) & \text { si } 1 \leq i \leq p \\ 0 & \text { sinon }\end{cases}
\]

Montrer que, si $\operatorname{Ker}(u) \subset \operatorname{Ker}(v)$, alors $v=w \circ u$.

\section*{Partie IV : Une caractérisation des matrices nilpotentes}
Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. On rappelle que la matrice $A$ est dite nilpotente s'il existe un entier $p$ tel que $A^{p}=0$.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre (éventuellement complexe) de $A$, alors, pour tout entier naturel non nul $k, \lambda^{k}$ est une valeur propre de $A^{k}$.
  \item On suppose $A$ nilpotente.\\
(a) Montrer que la seule valeur propre de $A$ est 0 .\\
(b) Montrer que $\operatorname{Tr}(A)=0$.
  \item On suppose toujours $A$ nilpotente.\\
(a) Soit $M$ une matrice telle que $A M=M A$. Montrer que la matrice $A M$ est encore nilpotente.\\
(b) En déduire que $\operatorname{Ker} \gamma_{A} \subset \operatorname{Ker} \tau_{A}$.\\
(c) i. Soit $K=\left(k_{i, j}\right)_{1 \leq i, j \leq n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$. Vérifier que
\end{enumerate}

\[
\operatorname{Tr}\left({ }^{t} K K\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} k_{i j}^{2}
\]

ii. Pour deux matrices $M$ et $N$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, on pose

\[
\langle M, N\rangle=\operatorname{Tr}\left({ }^{t} M N\right)
\]

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.\\
iii. En déduire que, pour toute forme linéaire $\varphi \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{*}$, il existe une matrice $U \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ telle que

\[
\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \quad \varphi(M)=\operatorname{Tr}(U M)
\]

iv. En déduire, en utilisant les résultats de la question 3 b de cette partie et des résultats de la partie III, qu'il existe une matrice $B$ telle que $\tau_{A}=\tau_{B} \circ \gamma_{A}$.\\
(d) Montrer que $A=B A-A B$.\\
4. On suppose maintenant qu'il existe une matrice $B$ telle que $A=B A-A B$.\\
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k, B A^{k}-A^{k} B=k A^{k}$.\\
(b) A quelle condition la matrice $A^{k}$ est-elle un vecteur propre de $\gamma_{B}$ ?\\
(c) En déduire que $A$ est nilpotente.

\section*{FIN DE L®PREUVE.}

\end{document}