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\begin{document}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

\section*{Problème d'Algèbre linéaire}
\section*{Partie I}
On considère l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{4}$. On note ( $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ ) la base canonique de $\mathbb{R}^{4}$. On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})$ définie par

\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
-7 & -16 & 7 & -4 \\
9 & -3 & -4 & -7 \\
7 & -4 & -7 & -16 \\
-4 & -7 & 9 & -3
\end{array}\right)
\]

On note $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{4}$ dont la matrice dans la base canonique est $A$.

\begin{enumerate}
  \item (a) Calculer $f\left(e_{1}\right), f^{2}\left(e_{1}\right)$.\\
(b) Montrer que la famille $\left(e_{1}, f\left(e_{1}\right), f^{2}\left(e_{1}\right)\right)$ est liée.
  \item Montrer de même que la famille ( $e_{2}, f\left(e_{2}\right), f^{2}\left(e_{2}\right)$ ) est liée.
  \item Montrer que la famille $\mathcal{B}=\left(e_{1}, f\left(e_{1}\right), e_{2}, f\left(e_{2}\right)\right)$ forme une base de $\mathbb{R}^{4}$.
  \item En déduire que, pour tout $x \in \mathbb{R}^{4}, f^{2}(x)+10 f(x)+100 x=0$.
  \item Ecrire la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.
  \item La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
\end{enumerate}

\section*{Partie II}
On se place maintenant dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{d}$ et on considère un endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^{d}$.

Soit $x$ un vecteur non nul de $\mathbb{R}^{n}$. On considère la suite $\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par récurrence

\[
\left\{\begin{aligned}
& x_{0}=x \\
\forall n \geq 0 & x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)
\end{aligned}\right.
\]

et on note $E_{x}=V \operatorname{ect}\left(x_{n}, n \in \mathbb{N}\right)$.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que $E_{x}$ est stable par $f$.
  \item Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{d}$ contenant $x$ et stable par $f$. Montrer que $E_{x} \subset F$.
  \item Soit $p$ le plus grand entier tel que $\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{p-1}\right)$ soit une famille libre.\\
(a) Justifier l'existence d'un tel entier $p$.\\
(b) Montrer qu'il existe des réels $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{p-1}$ tels que
\end{enumerate}

\[
x_{p}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} x_{i}
\]

(c) On note $E_{x}^{\prime}=V \operatorname{ect}\left(x_{0}, \ldots, x_{p-1}\right)$. Montrer que $E_{x}^{\prime}$ est stable par $f$.\\
(d) En déduire que $E_{x}=E_{x}^{\prime}$ et que la famille $\mathcal{B}_{p}=\left(x_{0}, \ldots, x_{p-1}\right)$ est une base de $E_{x}$.\\
4. On note $\hat{f}$ l'endomorphisme de $E_{x}$ obtenu comme restriction de $f$ à $E_{x}$. Donner la matrice de $\hat{f}$ dans la base $\mathcal{B}_{p}$.\\
5. Montrer que la famille ( $I d, \hat{f}, \hat{f}^{2}, \ldots, \hat{f}^{p-1}$ ) est une famille libre de $\mathcal{L}\left(E_{x}\right)$.\\
6. (a) Montrer que pour tout $k<p$,

\[
\hat{f}^{p}\left(x_{k}\right)=a_{0} x_{k}+a_{1} \hat{f}\left(x_{k}\right)+\cdots+a_{p-1} \hat{f}^{p-1}\left(x_{k}\right) .
\]

(b) En déduire que l'on a

\[
\hat{f}^{p}-a_{p-1} \hat{f}^{p-1}-\cdots-a_{0} I d=0
\]

\section*{Partie III}
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$. On note $\lambda_{i}(1 \leq i \leq p)$ les valeurs propres réelles deux à deux distinctes de $f$, et $E_{i}$ les sous-espaces propres associés. On suppose que $f$ est diagonalisable.

\begin{enumerate}
  \item Soit $x \in E$.\\
(a) Montrer qu'il existe des vecteurs $x_{i} \in E_{i}$ tels que
\end{enumerate}

\[
x=\sum_{i=1}^{p} x_{i}
\]

Cette décomposition est-elle unique?\\
(b) Notons $q$ le nombre de vecteurs $x_{i}$ non nuls dans la décomposition précédente et supposons pour simplifier que ce sont les $q$ premiers. Montrer que ( $x_{1}, \ldots, x_{q}$ ) forme une famille libre.\\
(c) Exprimer $f^{k}(x)$ pour $1 \leq k \leq q-1$ en fonction des ( $x_{i}, 1 \leq i \leq q$ ).\\
(d) Supposons qu'il existe des réels $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q}$ tels que

\[
\alpha_{1} x+\alpha_{2} f(x)+\cdots \alpha_{q} f^{q-1}(x)=0
\]

Montrer que le polynôme

\[
P(X)=\alpha_{1}+\alpha_{2} X+\cdots+\alpha_{q} X^{q-1}
\]

admet $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{q}$ comme racines.\\
(e) Montrer que la famille $\left(x, f(x), \ldots, f^{q-1}(x)\right)$ est libre.\\
(f) Montrer que $E_{x}=\operatorname{Vect}\left(x, f(x), \ldots, f^{q-1}(x)\right)$ puis que $E_{x}=\operatorname{Vect}\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right)$.\\
2. Soit $F$ un sous-espace stable par $f$. On note $F_{i}=F \cap E_{i}$. Soit $x \in F$. On décompose $x$ comme précédemment

\[
x=\sum_{i=1}^{p} x_{i}
\]

$\operatorname{avec} x_{i} \in E_{i}$.\\
Déduire de la question précédente que $x_{i} \in F_{i}$.\\
3. On suppose ici que $E=\mathbb{R}^{3}$ et que la matrice de $f$ dans la base canonique est donnée par

\[
B=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)
\]

(a) L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?\\
(b) Déterminer les sous-espaces propres de $f$.\\
(c) Déterminer tous les sous-espaces stables par $f$.

\section*{Exercice de Probabilités}
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires entières positives ou nulles vérifiant, pour tout couple d'entiers naturels $(i, j)$ :

\[
\mathbb{P}(X=i, Y=j)= \begin{cases}\frac{\lambda^{i} e^{-\lambda} \alpha^{j}(1-\alpha)^{i-j}}{j!(i-j)!} & \text { si } 0 \leq j \leq i \\ 0 & \text { si } 0 \leq i<j\end{cases}
\]

où $\alpha$ et $\lambda$ sont des constantes fixées vérifiant $0<\alpha<1$ et $\lambda>0$.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la loi de $X$ ?
  \item Quelle est la loi de $Y$ ?
  \item Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
  \item On pose $Z=X-Y$. Déterminer la loi de $Z$.
  \item Soit $n$ un entier naturel. Calculer la probabilité conditionnelle $\mathbb{P}(Y=j \mid Z=n)$.
  \item Que peut-on en déduire pour les variables $Y$ et $Z$ ?
  \item On suppose que le nombre d'enfants d'une famille française est une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre 2,2 . On admet que la probabilité d'avoir un garçon est égale à $\frac{1}{2}$ et que les naissances successives sont indépendantes. Trouver la probabilité que cette famille ait $i$ enfants dont $j$ garçons.
\end{enumerate}

\end{document}