\documentclass[10pt]{article}
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\title{Epreuve de Mathématiques A }

\author{Durée 4 h}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

\section*{L'usage de calculatrices est interdit.}
\section*{AVERTISSEMENT}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

\section*{Problème d'Algèbre linéaire}
\section*{Partie I}
On considère les matrices carrées

\[
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 1
\end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 0 & -3 \\
3 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\]

\begin{enumerate}
  \item Les matrices $A$ et $B$ sont-elles diagonalisables dans $\mathbb{R}$ ?
  \item Calculer $A^{2}$.
  \item Déterminer une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A=P D P^{-1}$.
  \item Retrouver sans calcul que $B$ est diagonalisable dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\section*{Partie II}
On se place dans l'espace euclidien orienté $\mathbb{R}^{3}$ muni de la base orthonormée directe canonique $\mathcal{B}=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right)$. Pour un endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^{3}$, on note $f^{2}=f \circ f$.

\begin{enumerate}
  \item On note $f$ la rotation autour de l'axe dirigé par $\vec{e}_{3}$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.\\
(a) Décrire l'endomorphisme $f^{2}$.\\
(b) Ecrire la matrice $C$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.\\
(c) Les matrices $C$ et $C^{2}$ sont-elles diagonalisables dans $\mathbb{R}$ ? dans $\mathbb{C}$ ?
  \item Soit $\vec{w}^{\prime}=(1,1,-4)$. On note $g$ la rotation autour de l'axe dirigé par $\vec{w}^{\prime}$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.\\
(a) Déterminer un vecteur unitaire $\vec{w}$ colinéaire à $\vec{w}^{\prime}$ puis deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\mathcal{B}^{\prime}=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ forme une base orthonormée directe.\\
(b) Ecrire la matrice de $g$ dans la base $\mathcal{B}^{\prime}$ puis dans la base $\mathcal{B}$. On note $M_{\mathcal{B}}$ cette dernière matrice.\\
(c) Les matrices $M_{\mathcal{B}}$ et $M_{\mathcal{B}}^{2}$ sont-elles diagonalisables dans $\mathbb{R}$ ?
\end{enumerate}

\section*{Partie III}
On considère maintenant un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ de dimension finie. Pour un endomorphisme $f$ de $E, f^{2}$ désigne toujours $f \circ f$. La notation $I d_{E}$ désigne l'endomorphisme identité de $E$.

\begin{enumerate}
  \item Soit $f, g$ deux endomorphismes de $E$ tels que $f \circ g=0$. Montrer que $\operatorname{Im}(g) \subset \operatorname{ker}(f)$.
  \item On suppose dans cette question que $f$ est un endomorphisme diagonalisable de $E$. On désigne par $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}$, avec $p \in \mathbb{N}^{\star}$, ses valeurs propres.\\
(a) Montrer que, pour tous $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,
\end{enumerate}

\[
\left(f-\alpha I d_{E}\right) \circ\left(f-\beta I d_{E}\right)=\left(f-\beta I d_{E}\right) \circ\left(f-\alpha I d_{E}\right)
\]

(b) Montrer que, pour tout vecteur propre $v$ de $f$, on a

\[
\left(f-\lambda_{1} I d_{E}\right) \circ \cdots \circ\left(f-\lambda_{p} I d_{E}\right)(v)=0
\]

(c) Soit $x \in E$ un vecteur quelconque. En décomposant $x$ dans une base bien choisie, montrer que

\[
\left(f-\lambda_{1} I d_{E}\right) \circ \cdots \circ\left(f-\lambda_{p} I d_{E}\right)(x)=0 .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item On suppose dans cette question que $f$ est un endomorphisme de $E$ tel que
\end{enumerate}

\[
\left(f-\alpha I d_{E}\right) \circ\left(f-\beta I d_{E}\right)=0
\]

pour des réels $\alpha$ et $\beta$ distincts.\\
(a) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $a\left(f-\alpha I d_{E}\right)+b\left(f-\beta I d_{E}\right)=I d_{E}$.\\
(b) En déduire que $E=\operatorname{Im}\left(f-\alpha I d_{E}\right)+\operatorname{Im}\left(f-\beta I d_{E}\right)$.\\
(c) Déduire de $(\star)$ que $\operatorname{Im}\left(f-\beta I d_{E}\right) \subset \operatorname{ker}\left(f-\alpha I d_{E}\right)$ et que $\operatorname{Im}\left(f-\alpha I d_{E}\right) \subset \operatorname{ker}\left(f-\beta I d_{E}\right)$.\\
(d) Montrer que $E=\operatorname{ker}\left(f-\alpha I d_{E}\right)+\operatorname{ker}\left(f-\beta I d_{E}\right)$.\\
(e) Montrer que $E=\operatorname{ker}\left(f-\alpha I d_{E}\right) \oplus \operatorname{ker}\left(f-\beta I d_{E}\right)$.\\
(f) En déduire que $f$ est diagonalisable.\\
4. On suppose dans cette question que $f$ est un endomorphisme de $E$ tel que $f^{2}$ est diagonalisable et a toutes ses valeurs propres strictement positives. On note $\lambda_{1}, \ldots \lambda_{p}$ ces valeurs propres.\\
(a) Pour $1 \leq k \leq p$, on note $F_{k}$ le sous-espace propre de $f^{2}$ associé à la valeur propre $\lambda_{k}$. Montrer que, pour tout $k \in\{1, \ldots, p\}, F_{k}$ est stable par $f$.\\
(b) Pour $1 \leq k \leq p$, on note $f_{k}$ la restriction de $f$ à $F_{k}$ et on pose $\mu_{k}=\sqrt{\lambda_{k}}$. Montrer que $\left(f_{k}+\mu_{k} I d_{F_{k}}\right) \circ\left(f_{k}-\mu_{k} I d_{F_{k}}\right)=0$.\\
(c) En déduire que $f_{k}$ est diagonalisable.\\
(d) Pour $1 \leq k \leq p$, on note $F_{k}^{+}=\operatorname{ker}\left(f_{k}+\mu_{k} I d_{F_{k}}\right)$ et $F_{k}^{-}=\operatorname{ker}\left(f_{k}-\mu_{k} I d_{F_{k}}\right)$. Montrer que

\[
E=F_{1}^{+} \oplus F_{1}^{-} \oplus \cdots \oplus F_{p}^{+} \oplus F_{p}^{-} .
\]

En déduire que $f$ est diagonalisable.

\section*{Exercice de Probabilités}
Soient $n$ et $N$ deux entiers naturels non nuls. On lance successivement $n$ boules au hasard dans $N$ cases numérotées de 1 à $N$. On suppose que les différents lancers sont indépendants et que la probabilité pour qu'une boule tombe dans une case donnée est $\frac{1}{N}$. Une case peut contenir plusieurs boules. On note $T_{n}$ le nombre de cases non vides à l'issue des $n$ lancers.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer (en fonction de $n$ et $N$ ) les valeurs prises par la variable $T_{n}$ (on distinguera 2 cas : $n \leq N$ et $n>N$ ).
  \item Donner la loi de $T_{1}$, de $T_{2}$. Calculer leurs espérances.
  \item On se fixe maintenant $n \geq 2$. Calculer
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}\left(T_{n}=1\right), \quad \mathbb{P}\left(T_{n}=2\right), \quad \mathbb{P}\left(T_{n}=n\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que, pour tout entier $k \geq 1$,
\end{enumerate}

\[
\mathbb{P}\left(T_{n+1}=k\right)=\frac{k}{N} \mathbb{P}\left(T_{n}=k\right)+\frac{N-k+1}{N} \mathbb{P}\left(T_{n}=k-1\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item On note $G_{n}$ la fonction génératrice de la variable $T_{n}$.\\
(a) Rappeler la définition de $G_{n}$. Montrer qu'ici, la fonction $G_{n}$ est définie sur tout $\mathbb{R}$.\\
(b) Rappeler le lien entre $G_{n}$ et $\mathbb{E}\left[T_{n}\right]$.\\
(c) En utilisant l'équation $(\star \star)$, montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\end{enumerate}

\[
G_{n+1}(x)=\frac{1}{N}\left(x-x^{2}\right) G_{n}^{\prime}(x)+x G_{n}(x) .
\]

(d) En déduire que

\[
\mathbb{E}\left[T_{n+1}\right]=\left(1-\frac{1}{N}\right) E\left[T_{n}\right]+1
\]

puis que

\[
\mathbb{E}\left[T_{n}\right]=N\left(1-\left(1-\frac{1}{N}\right)^{n}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{5}
  \item Pour $1 \leq i \leq n$, on note $X_{i}$ le numéro de la case dans laquelle la $i^{i \text { ème }}$ boule tombe. Pour $1 \leq k \leq N$, on note $Y_{k}$ le nombre de boules que contient la case numéro $k$, et $Z_{k}$ la variable valant 0 si la boîte $k$ est vide, et 1 si la boîte $k$ contient au moins une boule.\\
(a) Exprimer $Y_{k}$ en fonction des variables $\left(X_{i}\right)_{1 \leq i \leq n}$.\\
(b) En déduire la loi de $Y_{k}$, puis celle de $Z_{k}$.\\
(c) Les variables aléatoires $\left(Z_{k}\right)_{1 \leq k \leq N}$ sont-elles mutuellement indépendantes?\\
(d) Exprimer $T_{n}$ en fonction des variables aléatoires $\left(Z_{k}\right)_{1 \leq k \leq N}$ et retrouver ainsi l'expression de $\mathbb{E}\left[T_{n}\right]$.
\end{enumerate}

\end{document}