\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{bbold}

\begin{document}
\section*{Epreuve de Mathématiques B}
\section*{Durée 4 h}
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

\section*{L'usage de calculatrices est interdit.}
\section*{À rendre avec la copie 1 feuille de papier millimétré.}
\section*{AVERTISSEMENT}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte et les questions non correctement référencées ne seront pas notées. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

\section*{CONSIGNES:}
\begin{itemize}
  \item Composer lisiblement sur les copies avec un stylo à bille à encre foncée : bleue ou noire.
  \item L'usage de stylo à friction, stylo plume, stylo feutre, liquide de correction et dérouleur de ruban correcteur est strictement interdit. Les surveillants et surveillantes se réservent le droit de les confisquer.
  \item Remplir sur chaque copie en MAJUSCULES toutes vos informations d'identification : nom, prénom, numéro inscription, date de naissance, le libellé du concours, le libellé de l'épreuve et la session.
  \item Une feuille, dont l'entête n'a pas été intégralement renseigné, ne sera pas prise en compte.
  \item Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance. La présence d'une information d'identification en dehors du cartouche donnera lieu à un point de pénalité et la page concernée pourra être soustraite de la correction.
\end{itemize}

Dans cette épreuve, les candidats sont invités à illustrer, s'ils le jugent nécessaire, leurs réponses avec un dessin.

Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.

\section*{Premier exercice.}
Dans cet exercice, l'espace euclidien $\mathbb{R}^{2}$ est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct $\mathcal{R}=(O ; \vec{i}, \vec{j})$.

On considère la conique $\mathcal{C}$ d'équation

\[
2 x y \sqrt{3}-2 y^{2}=3
\]

\begin{enumerate}
  \item Ecrire la matrice $Q$ associée à l'équation de la conique $\mathcal{C}$.
  \item Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $Q$.
  \item Donner une équation réduite de $\mathcal{C}$ ainsi qu'un repère orthonormé direct $\mathcal{R}^{\prime}$ dans lequel cette équation est obtenue.
  \item Donner la nature de $\mathcal{C}$
  \item Déterminer les principaux éléments caractéristiques de $\mathcal{C}$ (centre éventuel, sommets, asymptotes éventuelles).\\
Les coordonnées des points et les équations des éventuelles asymptotes seront données dans le repère $\mathcal{R}^{\prime}$ puis dans le repère $\mathcal{R}$
  \item Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère $\mathcal{R}$ sur la feuille de papier millimétrée fournie.
\end{enumerate}

On mettra en évidence le repère $\mathcal{R}^{\prime}$ ainsi que les éléments déterminés dans la question 5.\\
Unité : 2 cm .

\section*{Deuxième exercice.}
L'objectif de cet exercice est de résoudre sur $] 1 ;+\infty[$, l'équation différentielle

\[
(3 x+1) y+(2-x) y^{\prime}-\frac{x}{2}\left(3 x^{2}+2 x-2\right) y^{\prime \prime}=3\left(x^{2}+x+1\right)
\]

On note $\left(E_{H}\right)$ l'équation différentielle homogène associée à $(E)$ :

\[
(3 x+1) y+(2-x) y^{\prime}-\frac{x}{2}\left(3 x^{2}+2 x-2\right) y^{\prime \prime}=0
\]

On désigne par $S$ l'ensemble des solutions réelles de $(E)$ sur $] 1 ;+\infty\left[\right.$ et par $S_{H}$ l'ensemble des solutions réelles de $\left(E_{H}\right)$ sur $] 1 ;+\infty[$.

\section*{Partie I}
\begin{enumerate}
  \item Démontrer que $\forall x \in] 1 ;+\infty\left[, 3 x^{2}+2 x-2 \neq 0\right.$.
  \item Démontrer que $S_{H}$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble $D_{2}$ des fonctions deux fois dérivables sur $] 1 ;+\infty[$.
  \item Donner, sans démonstration, la dimension de $S_{H}$.
  \item Démontrer que la fonction $f_{1}$ définie sur $] 1 ;+\infty[\operatorname{par} \forall x \in] 1 ;+\infty\left[, f_{1}(x)=\frac{1}{x}\right.$ est solution de $\left(E_{H}\right)$ sur $] 1 ;+\infty[$.
\end{enumerate}

\section*{Partie II}
On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & -3\end{array}\right)$.\\
L'espace vectoriel $\mathbb{R}^{3}$ est muni de sa base canonique.\\
5. La matrice $A$ est-elle inversible?\\
6. Déterminer le noyau de $A$.\\
7. Démontrer que l'image de $A$ est le plan d'équation $3 x=y+2 z$.\\
8. Sans résoudre les systèmes, déterminer à l'aide des questions précédentes quel est le nombre de solutions (éventuellement infini) de :

\[
\mathcal{S}_{1}: A X=\left(\begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
2
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad \mathcal{S}_{2}: A X=3\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right) .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{8}
  \item Résoudre le système $\mathcal{S}_{2}: A X=3\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$.
\end{enumerate}

\section*{Partie III}
L'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 2 est noté $\mathbb{R}_{2}[X]$ et sa base canonique est $\mathcal{B}=\left(1, X, X^{2}\right)$.\\
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}_{2}[X]$ par

\[
\forall P \in \mathbb{R}_{2}[X], \varphi(P)=(3 X+1) P+(2-X) P^{\prime}-\frac{X}{2}\left(3 X^{2}+2 X-2\right) P^{\prime \prime} .
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{9}
  \item Calculer $\varphi(1), \varphi(X), \varphi\left(X^{2}\right)$.
  \item Démontrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_{2}[X]$.
  \item Déterminer la matrice de $\varphi$ dans la base $\mathcal{B}$.
  \item En déduire, sans calcul, le noyau de $\varphi$ ainsi qu'une solution de l'équation
\end{enumerate}

\[
\varphi(P)=3\left(X^{2}+X+1\right) .
\]

\section*{Partie IV}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{13}
  \item Déterminer $S_{H}$ puis $S$.
\end{enumerate}

\section*{Troisième exercice.}
Dans cet exercice, l'espace euclidien $\mathbb{R}^{3}$ est muni de sa structure euclidienne usuelle et d'un repère orthonormé direct ( $O ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ).

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

\section*{Partie I}
On considère la surface $S$ d'équation cartésienne : $x^{2}=2 y z$.\\
On note $\Gamma$ la courbe de représentation paramétrique :

\[
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\sqrt{2} \cos (t) \\
y(t)=\sin (t) \\
z(t)=\frac{1}{\sin (t)}-\sin (t)
\end{array}, t \in\right] 0 ; \frac{\pi}{2}[
\]

De plus, $M(t)$ désigne le point de $\Gamma$ de paramètre $t$.\\
Enfin, $P_{a}$ est le plan d'équation $z=a$ où $a \in \mathbb{R}$ et $\Gamma_{a}=S \cap P_{a}$.

\begin{enumerate}
  \item (a) Justifier que le plan d'équation $x=0$ est un plan de symétrie de la surface $S$.\\
(b) Déterminer les points non réguliers de $S$.\\
(c) Déterminer une équation du plan tangent à $S$ au point $A$ de coordonnées $(2,-2,-1)$ après avoir vérifié que $A \in S$.\\
(d) Démontrer que l'ensemble des points (réguliers) de $S$ en lesquels le plan tangent à $S$ est parallèle au plan d'équation $2 \sqrt{3} x+2 y+3 z=0$ est une droite privée de $O$ dont on donnera un vecteur directeur.\\
(e) Existe-t-il un point régulier de $S$ en lequel le plan tangent à $S$ est orthogonal au vecteur $\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$ ?
  \item Démontrer que la courbe $\Gamma$ est régulière.
  \item Vérifier que $\Gamma \subset S$.
  \item Soit $t \in] 0 ; \frac{\pi}{2}[$.\\
(a) Pour quelle valeur de $a$ (dépendante de $t$ ), a-t-on $M(t) \in \Gamma_{a}$ ?
\end{enumerate}

Dans la suite de cette question, $a$ prend cette valeur.\\
(b) Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}(t)$ de la tangente à $\Gamma$ en $M(t)$.\\
(c) Vérifier que $M(t)$ est un point régulier de $\Gamma_{a}$ et déterminer un vecteur $\vec{u}(t)$ directeur de la tangente à $\Gamma_{a}$ en $M(t)$.\\
(d) Démontrer que $\vec{u}(t)$ et $\vec{v}(t)$ sont orthogonaux.

\section*{Partie II}
On considère une fonction $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un ouvert $U$ de $\mathbb{R}^{2}$, et deux fonctions $f$ et $g$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur un intervalle ouvert $I$ de $\mathbb{R}$.\\
On suppose que : $\forall t \in I,(f(t), g(t)) \in U$ et $\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}(f(t), g(t)), \frac{\partial \varphi}{\partial y}(f(t), g(t))\right) \neq(0,0)$.\\
On note $\Sigma$ la surface d'équation cartésienne $z=\varphi(x, y)$ et $\Gamma$ la courbe de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=\Phi(t)\end{array}, t \in I\right.$ où $\Phi(t)=\varphi(f(t), g(t))$.\\
On note $M(t)$ le point de $\Gamma$ de paramètre $t$ et on suppose $f, g$ et $\varphi$ choisies telles que la courbe $\Gamma$ soit régulière.\\
Enfin, on admet que $\Gamma \subset \Sigma$.

\begin{enumerate}
  \item Soit $t \in I$ fixé.
\end{enumerate}

On note $P_{t}$ le plan d'équation $z=\Phi(t)$ et $\Lambda_{t}=\Sigma \cap P_{t}$.\\
(a) On considère un point régulier $A$ de $\Lambda_{t}$ de coordonnées $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$. Déterminer un vecteur tangent à $\Lambda_{t}$ au point $A$.\\
(b) En déduire un vecteur tangent $\vec{u}(t)$ à $\Lambda_{t}$ au point $M(t)$.\\
(c) Déterminer un vecteur tangent $\vec{v}(t)$ à $\Gamma$ au point $M(t)$.

On donnera son expression d'abord à l'aide des fonctions $f, g$ et $\Phi$ puis à l'aide des fonctions $f, g$ et $\varphi$.\\
(d) Démontrer que les vecteurs $\vec{u}(t)$ et $\vec{v}(t)$ sont orthogonaux si et seulement si la relation suivante, notée ( $\mathcal{R}$ ) est vérifiée :

\[
f^{\prime}(t) \frac{\partial \varphi}{\partial y}(f(t), g(t))-g^{\prime}(t) \frac{\partial \varphi}{\partial x}(f(t), g(t))=0
\]

Dans la suite de cette partie, on pose $U=\mathbb{R}^{2}$ et $\varphi$ est la fonction $(x, y) \mapsto h\left(x^{2}+y^{2}\right)$ où $h$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}^{+}$dont la dérivée ne s'annule pas sur $\mathbb{R}^{+}$.\\
On suppose de plus que $g$ ne s'annule pas sur $I$.\\
On note $Q_{\alpha}$ le plan d'équation $z=\alpha$ et $\Lambda_{\alpha}^{\prime}=\Sigma \cap Q_{\alpha}$.\\
2. (a) Justifier que la fonction $h$ est strictement monotone sur $\mathbb{R}^{+}$.\\
(b) Justifier que pour tout $\alpha \in h\left(\mathbb{R}^{+}\right)$, il existe un unique $t_{0} \in \mathbb{R}^{+}$tel que $h\left(t_{0}\right)=\alpha$. Qu'en est-il si $\alpha \notin h\left(\mathbb{R}^{+}\right)$?\\
(c) En déduire que pour tout $\alpha \in h\left(\mathbb{R}^{+}\right), \Lambda_{\alpha}^{\prime}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.\\
Qu'en est-il si $\alpha \notin h\left(\mathbb{R}^{+}\right)$?\\
(d) Justifier que $\Sigma$ est une surface de révolution dont on précisera l'axe.\\
3. Démontrer que la relation $(\mathcal{R})$ est vérifiée pour tout $t$ dans $I$ si et seulement si la fonction $\frac{f}{g}$ est constante sur $I$.\\
On suppose désormais que la relation $(\mathcal{R})$ est vérifiée pour tout $t \in I$.\\
4. En déduire que $\Gamma$ est incluse dans un plan dont une équation est de la forme :

\[
x+\lambda y=0 \text { où } \lambda \in \mathbb{R} \text {. }
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{4}
  \item (a) Rappeler la définition d'une méridienne d'une surface de révolution.\\
(b) En déduire que la courbe $\Gamma$ est incluse dans une méridienne de $\Sigma$.
\end{enumerate}

\end{document}