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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD \\
 Concours d'admission sur classes préparatoires }

\author{Mercredi 3 mai 2000, de 8h à 12h}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES \\
 Option économique }
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.}
\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer l'ensemble \(D\) des réels \(x\) tels que \(e^{x}-e^{-x}>0\).
\end{enumerate}

On définit la fonction \(f\) par : \(\forall x \in D, f(x)=\ln \left(e^{x}-e^{-x}\right)\).\\
On note ( \(C\) ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( \(\mathrm{O}, \bar{i}, \bar{j}\) ).\\
2) a. Étudier les variations de \(f\) et donner les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).\\
b. En déduire l'existence d'un unique réel \(\alpha\) vérifiant \(f(\alpha)=0\), puis donner la valeur exacte de \(\alpha\).\\
c. Montrer que le coefficient directeur de la tangente ( \(\mathcal{T}\) ) à la courbe ( \(C\) ) au point d'abscisse \(\alpha\) vaut \(\sqrt{5}\).\\
3) a. Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)\).\\
b. En déduire l'équation de l'asymptote ( \(\Delta\) ) à la courbe ( \(C\) ) au voisinage de \(+\infty\).\\
c. Donner la position relative de ( \(\Delta\) ) et ( \(C\) ).\\
4) Donner l'allure de la courbe ( \(C\) ) en faisant figurer les droites ( \(\Delta\) ) et ( \(T\) ).

On admettra que \(\alpha \simeq 0,5\) et que \(\sqrt{5} \simeq 2,2\).\\
5) Soit \(\lambda\) un réel, on note \(g_{\lambda}\) la fonction définie par : \(\left\{\begin{array}{l}g_{\lambda}(x)=0 \text { si } x<\alpha \\ g_{\lambda}(x)=\frac{\lambda}{e^{2 x}-1} \text { si } x \geq \alpha\end{array}\right.\)\\
a. On pose \(h(x)=f(x)-x\). Après avoir calculé \(h^{\prime}(x)\), déterminer \(\lambda\) en fonction de \(\alpha\) pour que \(g_{\lambda}\) soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire \(X\).\\
b. Donner la fonction de répartition \(G_{\lambda} \operatorname{de} X\).

\section*{Exercice 2}
Soit la matrice \(K=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)\).\\
On note \(E\) l'ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) vérifiant : \(M K=K M=M\).

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel.\\
b. Montrer par l'absurde qu'aucune matrice de \(E\) n'est inversible.
  \item Soit \(M=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k\end{array}\right)\) une matrice \(\operatorname{de} E\).\\
a. Montrer que : \(k=g=c=\mathrm{a}, h=b\) et \(f=d\), puis en déduire la forme des matrices de \(E\).\\
b. Retrouver le fait que les matrices de \(E\) ne sont pas inversibles.\\
c. Déterminer une base de \(E\) et vérifier que \(\operatorname{dim} E=4\).
  \item On considère l'ensemble \(F\) des matrices de la forme \(\left(\begin{array}{lll}x & y & x \\ y & z & y \\ x & y & x\end{array}\right)\) où \(x, y\) et \(z\) sont des réels.\\
a. Vérifier que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) et donner une base de \(F\).\\
b. Les matrices de \(F\) sont-elles diagonalisables ?\\
c. Dans cette question, on appelle \(U\) la matrice de \(F\) telle que : \(x=3, y=2\) et \(z=4\).
\end{enumerate}

Trouver les valeurs propres de \(U\) et exhiber un vecteur colonne propre pour chacune d'entre elles.\\
4) On note \(\varphi\) l'application de \(F\) dans \(\mathbb{R}\) qui à toute matrice \(A\) de \(F\) associe le nombre \(\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3}(-1)^{i+j} a_{i, j}\), où \(a_{i, j}\) désigne l'élément de la matrice \(A\) situé à l'intersection de la \(i^{\text {ème }}\) ligne et de la \(j^{\text {ème }}\) colonne.\\
a. Montrer que \(\varphi\) est une application linéaire de \(F\) dans \(\mathbb{R}\).\\
b. Déterminer \(\operatorname{Im} \varphi\). En déduire que \(\operatorname{Ker} \varphi\) est de dimension 2 .\\
c. Soit \(M=\left(\begin{array}{lll}x & y & x \\ y & z & y \\ x & y & x\end{array}\right)\) une matrice \(\operatorname{de} \operatorname{Ker} \varphi\).

Exprimer \(\varphi(M)\) en fonction de \(x, y\) et \(z\) et en déduire une base de \(\operatorname{Ker} \varphi\).

\section*{Exercice 3}
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on définit la fonction \(f_{n}\) par : \(\forall x \in \mathbb{R}_{+}, f_{n}(x)=x^{n}+9 x^{2}-4\).

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que l'équation \(f_{n}(x)=0\) n'a qu'une seule solution strictement positive, notée \(u_{n}\).\\
b. Calculer \(u_{1}\) et \(u_{2}\).\\
c. Vérifier que : \(\left.\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n} \in\right] 0, \frac{2}{3}[\).
  \item a. Montrer que, pour tout \(x\) élément de \(] 0,1\left[\right.\), on a : \(f_{n+1}(x)<f_{n}(x)\).\\
b. En déduire le signe de \(f_{n}\left(u_{n+1}\right)\), puis les variations de la suite \(\left(u_{n}\right)\).\\
c. Montrer que la suite ( \(u_{n}\) ) est convergente. On note \(\ell\) sa limite.
  \item a. Déterminer la limite de \(\left(u_{n}\right)^{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).\\
b. Donner enfin la valeur de \(\ell\).
  \item Montrer que la série de terme général \(\frac{2}{3}-u_{n}\) est convergente.
\end{enumerate}

\section*{Problème}
On lance indéfiniment une pièce donnant "Pile" avec la probabilité \(p\) et "Face" avec la probabilité \(q=1-p\). On suppose que \(p \in] 0,1[\) et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants.\\
Pour tout entier naturel \(k\), supérieur ou égal à 2 , on dit que le \(k^{\text {ème }}\) lancer est un changement s'il amène un résultat différent de celui du \((k-1)^{\text {ème }}\) lancer.\\
On note \(P_{k}\left(\right.\) resp \(\left.F_{k}\right)\) l'événement : «on obtient "Pile" (resp "Face") au \(k\) ème lancer ». Pour ne pas surcharger l'écriture on écrira, par exemple, \(P_{1} F_{2}\) à la place de \(P_{1} \cap F_{2}\). Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , on note \(X_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les \(n\) premiers lancers.

\section*{Partie 1 : étude de quelques exemples.}
\begin{enumerate}
  \item Donner la loi de \(X_{2}\).
  \item a. Donner la loi de \(X_{3}\).\\
b. Vérifier que \(E\left(X_{3}\right)=4 p q\) et que \(V\left(X_{3}\right)=2 p q(3-8 p q)\).
  \item a. Trouver la loi de \(X_{4}\).\\
b. Calculer \(E\left(X_{4}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 : étude du cas \(p \neq q\).}
Dans cette partie, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

\begin{enumerate}
  \item Exprimer \(P\left(X_{n}=0\right)\) en fonction de \(p, q\) et \(n\).
  \item En décomposant l'événement ( \(X_{n}=1\) ) en une réunion d'événements incompatibles, montrer que \(P\left(X_{n}=1\right)=\frac{2 p q}{q-p}\left(q^{n-1}-p^{n-1}\right)\).
  \item En distinguant les cas \(n\) pair et \(n\) impair, exprimer \(P\left(X_{n}=n-1\right)\) en fonction de \(p\) et \(q\).
  \item Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de \(X_{3}\) et \(X_{4}\).
  \item Pour tout entier naturel \(k\), supérieur ou égal à 2 , on note \(Z_{k}\) la variable aléatoire qui vaut 1 si le \(k^{\text {ème }}\) lancer est un changement et 0 sinon ( \(Z_{k}\) est donc une variable de Bernoulli). Écrire \(X_{n}\) à l'aide de certaines des variables \(Z_{k}\) et en déduire \(E\left(X_{n}\right)\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 3 : étude du cas \(p=q\).}
\begin{enumerate}
  \item Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1 , que \(X_{3}\) et \(X_{4}\) suivent chacune une loi binomiale.
  \item Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , \(X_{n}\) suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\end{enumerate}

\end{document}