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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD \\
 Concours d'admission sur classes préparatoires }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
MATHEMATIQUES\\
Option économique\\
Mardi 15 mai 2001, de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Its ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

\section*{L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.}
\section*{Exercice 1}
\(E\) désigne un espace vectoriel sur IR , rapporté à une base \(B=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\).\\
On désigne par a un réel non nul et on considère l'endomorphisme \(f_{a}\) de \(E\), défini par : \(f_{a}\left(e_{2}\right)=0\) et \(f_{a}\left(e_{1}\right)=f_{a}\left(e_{3}\right)=a e_{1}+e_{2}-a e_{3}\).

\begin{enumerate}
  \item a. Écrire la matrice \(A_{a}\) de \(f_{a}\) relativement à la base \(B\) et calculer \(A_{a}{ }^{2}\).\\
b. Montrer que 0 est la seule valeur propre de \(A_{a}\).\\
c. \(A_{a}\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?
  \item On pose \(u_{1}=a e_{1}+e_{2}-a e_{3}\).\\
a. Montrer que \(\mathcal{B}^{\prime}=\left(u_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) est une base de \(E\).\\
b. Vérifier que la matrice de \(f_{a}\) relativement à la base \(\mathcal{B}^{\prime}\) est \(K=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\).
\end{enumerate}

Dans la suite, on cherche à caractériser les endomorphismes \(g\) de \(E\) tels que \(g \circ g=f_{a}\).\\
3) On suppose qu'un tel endomorphisme \(g\) existe et on note \(M\) sa matrice dans \(\mathcal{B}^{\prime}\).\\
a. Expliquer pourquoi \(M^{2}=K\) puis montrer que \(M K=K M\).\\
b. Déduire de ces deux relations que \(M=\left(\begin{array}{lll}0 & x & y \\ 0 & 0 & z \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\), \(x, y\) et \(z\) étant 3 réels tels que \(x z=1\).\\
4) Réciproquement, vérifier que tout endomorphisme \(g\) dont la matrice dans \(\mathcal{B}^{\prime}\) est du type ci-dessus est solution de \(g \circ g=f_{a}\).

\section*{Exercice 2}
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2 .\\
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à 3 résultats différents \(R_{1}, R_{2}\) et \(R_{3}\) de probabilités respectives \(P_{1}, P_{2}\) et \(P_{3}\). On a donc \(P_{1}+P_{2}+P_{3}=1\) et on admet que, pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}, 0<P_{i}<1\).\\
On effectue \(n\) épreuves indépendantes du type de celle décrite ci-dessus.\\
Pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire qui vaut 1 si le résultat numéro \(i\) n'est pas obtenu à l'issue de ces \(n\) épreuves et qui vaut 0 sinon.\\
On désigne par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n'ont pas été obtenus à l'issue des \(n\) épreuves.

\begin{enumerate}
  \item a. Justifier soigneusement que \(X=X_{1}+X_{2}+X_{3}\).\\
b. Donner la loi de \(X_{i}\) pour tout \(i\) de \(\{1,2,3\}\).\\
c. En déduire l'espérance de \(X\), notée \(E(X)\).
\end{enumerate}

La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réels \(P_{i}\) en lesquelles \(E(X)\) admet un minimum local. Pour ce faire, on note \(f\) la fonction définie sur l'ouvert \(] 0,1[\times] 0,1[\) de \(\mathbb{R}^{2}\) par : \(f(x, y)=(1-x)^{n}+(1-y)^{n}+(x+y)^{n}\).\\
2) a. On pose \(P_{1}=x\) et \(P_{2}=y\). Vérifier que \(E(X)=f(x, y)\).\\
b. Montrer que \(f\) est une fonction de classe \(C^{2}\) sur \(] 0,1[\times] 0,1[\).\\
3) a. Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 de \(f\).\\
b. En déduire que le seul point en lesquels les dérivées partielles d'ordre 1 de \(f\) s'annulent simultanément est le point \(\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\).\\
4) a. Démontrer que \(f\) présente un minimum local au point \(\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\).\\
b. Donner la valeur de \(E(X)\) correspondant à ce minimum.

\section*{Exercice 3}
Soit \(f\) la fonction définie par : \(\left\{\begin{array}{l}f(x)=0 \text { si } \quad x<0 . \\ f(x)=x e^{-\frac{x^{2}}{2}} \quad \text { si } \quad x \geq 0 .\end{array}\right.\)

\begin{enumerate}
  \item Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité.
\end{enumerate}

La durée de vie d'un certain composant électronique est une variable aléatoire \(X\) dont une densité est \(f\).\\
2) a. Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).\\
b. Calculer la médiane de \(X\), c'est-à-dire le réel \(\mu\) tel que \(P(X \leq \mu)=\frac{1}{2}\).\\
3) On appelle mode de la variable aléatoire \(X\) tout réel \(x\) en lequel \(f\) atteint son maximum. Montrer que \(X\) a un seul mode, noté \(M_{o}\), et le déterminer.\\
4) a. En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que \(X\) a une espérance et montrer que \(E(X)=\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}\).\\
b. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la variance de \(X\).

\section*{Problème}
\section*{Partie 1}
On pose, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1: v_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).

\begin{enumerate}
  \item Montrer que : \(\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \frac{1}{k+1} \leq \int_{k}^{k+1} \frac{d t}{t}\) :
  \item En déduire que: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, v_{n} \leq \ln (n)+1\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 2}
On considère la suite ( \(u_{n}\) ) définie par son premier terme \(u_{0}=1\) et par la relation suivante, valable pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}: u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}}\).

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement défini et strictement positif.\\
b. En déduire le sens de variation de la suite ( \(u_{n}\) ).
  \item a. Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), exprimer \(u_{k+1}^{2}-u_{k}^{2}\) en fonction de \(u_{k}^{2}\).\\
b. En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}^{2}=2 n+1+\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_{k}^{2}}\).\\
c. Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}^{2} \geq 2 n+1\). En déduire la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\).
  \item a. À l'aide du résultat précédent, montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 :
\end{enumerate}

\[
u_{n}^{2} \leq 2 n+2+\frac{1}{2} v_{n-1}
\]

b. En utilisant la partie 1 , établir que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 :

\[
u_{n}^{2} \leq 2 n+\frac{5}{2}+\frac{\ln (n-1)}{2}
\]

c. En déduire finalement que : \(u_{n} \sim \sqrt{2 n}\).

\section*{Partie 3}
\begin{enumerate}
  \item Écrire un programme en Turbo Pascal permettant de calculer et d'afficher \(u_{n}\) lorsque l'utilisateur entre la valeur de \(n\) au clavier.
  \item a. Écrire un deuxième programme, toujours en Turbo Pascal, qui permette de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel \(n\) pour lequel \(u_{n} \geq 100\).\\
b. On donne : \(\ln 2 \leq 0,70\) et \(\ln 5 \leq 1,61\). En déduire un majorant de \(\ln 5000\).\\
c. Montrer que l'entier \(n\) trouvé en 2a) est compris entre 4995 et 5000.
\end{enumerate}

\end{document}