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\title{ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD \\
 Concours d'admission sur classes préparatoires }

\author{}
\date{}


\begin{document}
\maketitle
\section*{MATHEMATIQUES \\
 Option économique}
\section*{Mardi 30 Avril 2002, de 8 h à 12 h}
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.\\
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

\section*{Exercice 1}
Pour tout nombre réel \(x\), on note \([x]\) la partie entière de \(x\), c'est-à-dire l'unique nombre entier vérifiant : \([x] \leq x<[x]+1\).\\
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda(\lambda>0)\).\\
On pose \(Y=[X], Y\) est donc la partie entière de \(X\) et on a : \(\forall k \in \mathbb{Z},(Y=k)=(k \leq X<k+1)\).

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que \(Y\) prend ses valeurs dans \(\mathbb{N}\).\\
b. Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), calculer \(P(Y=k-1)\).\\
c. En déduire que la variable alćatoire \(Y+1\) suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.\\
d. Donner l'espérance et la variance de \(Y+1\). En déduire l'espérance et la variance de \(Y\).
  \item On pose \(Z=X-Y\).\\
a. Déterminer \(Z(\Omega)\).\\
b. En utilisant le système complet d'événements \((Y=k)_{k \in \mathrm{~N}}\), montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall x \in\left[0,1\left[, P(Z \leq x)=\frac{1-e^{-i x}}{1-e^{-\lambda}} .\right.\right.
\]

c. En déduire une densité \(f\) de \(Z\).\\
d. Déterminer l'espérance \(E(Z)\) de \(Z\). Ce résultat était-il prévisible ?

\section*{Exercice 2}
On désigne par \(n\) un entier naturel non nul.\\
On lance \(n\) fois une pièce de monnaie donnant "pile" avec la probabilité \(p(\) avec \(0<p<1)\) et "face" avec la probabilité \(q=1-p\). On appelle \(k\)-chaîne de "pile" une suite de \(k\) lancers consécutifs ayant tous donné "pile", cette suite devant être suivie d'un "face" ou être la dernière suite du tirage.\\
Pour tout \(k\) de \([1, n]\), on note \(Y_{k}\) la variable aléatoire égale au nombre total de \(k\)-chaînes de "pile" obtenues au cours de ces \(n\) lancers.\\
Pour tout \(k\) de \([1, n]\), on pourra noter \(P_{k}\) l'événement « on obtient "pile" au \(k\) éme lancer».\\
Par exemple, avec \(n=11\), si l'on a obtenu les résultats \(P_{1} P_{2} F_{3} F_{4} P_{5} P_{0} P_{7} F_{8} P_{9} F_{10} P_{11}\) alors \(Y_{1}=2, Y_{2}=1\) et \(Y_{3}=1\).\\
Le but de cet exercice est de déterminer, pour tout \(k\) de \([1, n]\), l'espérance de \(Y_{k}\), notée \(E\left(Y_{k}\right)\).

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la loi de \(Y_{n}\) et donner \(E\left(Y_{n}\right)\).
  \item Montrer que \(P\left(Y_{n-1}=1\right)=2 q p^{n-1}\) et donner \(E\left(Y_{n-1}\right)\).
  \item Dans cette question, \(k\) désigne un entier de \([1, n-2]\).
\end{enumerate}

Pour tout \(i\) de [] \(1, n]\), on note \(X_{t, k}\) la variable aléatoire qui vaut 1 si une \(k\)-chaîne de "pile" commence au \(i^{\text {eme }}\) lancer et qui vaut 0 sinon.\\
a. Calculer \(P\left(X_{1, k}=1\right)\).\\
b. Soit \(i \in[2, n-k]\). Montrer que \(P\left(X_{i, k}=1\right)=q^{2} p^{k}\).\\
c. Montrer que \(P\left(X_{n-k-1, k}=1\right)=q p^{k}\).\\
d. Exprimer \(Y_{k}\) en fonction des variables \(X_{l, k}\) puis déterminer \(E\left(Y_{k}\right)\).

\section*{Exercice 3}
On note \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}\)par : \(\left\{\begin{array}{l}\forall x>0, f(x)=\frac{-x \ln x}{1+x^{2}} \\ f(0)=0 .\end{array}\right.\)

\begin{enumerate}
  \item a. Vérifier que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_{+}\).\\
b. Etudier le signe de \(f(x)\).
  \item Montrer que l'on définit bien une fonction \(\bar{F}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)en posant:
\end{enumerate}

\[
\forall x \in \mathbb{R}_{+}, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}_{+}\), on pose : \(g(x)=F(x)-x\).\\
a. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}\)et que, pour \(x>0\), on peut écrire \(g^{\prime}(x)\) sous la forme
\end{enumerate}

\[
g^{\prime}(x)=\frac{-x h(x)}{1+x^{2}}
\]

b. Etudier les variations de \(h\), puis en déduire son signe (on donne \(\ln \frac{\sqrt{5}-1}{2} \simeq-0,48\) ).\\
c. En déduire le signe de \(g(x)\).\\
4) On définit la suite ( \(u_{n}\) ) par la donnée de son premier terme \(u_{0}=1\) et la relation de récurrence, valable pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}: u_{n+1}=F\left(u_{n}\right)\).\\
a. Établir par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in[0,1]\).\\
b. Montrer, en utilisant le résultat de la troisième question, que ( \(u_{n}\) ) est décroissante.\\
c. En déduire que la suite ( \(u_{n}\) ) converge et donner \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}\).

\section*{Problème}
\section*{Partie 1 : étude d'un ensemble de matrices.}
On considère les matrices suivantes de \(\mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})\) :

\[
I=\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) ; J=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right) ; K=\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) ; L=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

On note \(E\) l'ensemble des matrices \(M\) s'écrivant \(W=a I+b J+c K+d L\), où \(a, b, c\) et \(d\) décrivent \(\mathbb{R}\).

\begin{enumerate}
  \item a. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel.\\
b. Montrer que la famille ( \(I, J, K, L\) ) est libre.\\
c. Donner la dimension de \(E\).
  \item a. Montrer, en les calculant explicitement, que \(J^{2}, K^{2}, L^{2}, J^{3}\) et \(K^{3}\) appartiennent à \(E\).\\
b. En déduire, sans aucun calcul matriciel, que \(J K, K J, K L, L K, J L\) et \(L J\) appartiennent aussi à \(E\).\\
c. Etablir enfin que le produit de deux matrices de \(E\) est encore une matrice de \(E\).
  \item a. Montrer que \(L\) est diagonalisable.\\
b. Déterminer les valeurs propres de \(L\) ainsi que les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
  \item On considère les vecteurs : \(u_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) ; u_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) ; u_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) ; u_{4}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\).\\
a. Montrer que ( \(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\) ) est une base de \(\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\).\\
b. Vérifier que \(u_{1}, u_{2}, u_{3}\) et \(u_{4}\) sont des vecteurs propres de \(L\) et de \(J+K\).
\end{enumerate}

\section*{Partie 2 : étude d'un mouvement aléatoire.}
Dans cette partie, \(p\) désigne un rćel de \(] 0,1[\).\\
Les sommets d'un carré sont numérotés \(1,2,3\) et 4 de telle façon que les côtés du carré relient le sommet 1 au sommet 2 , le sommet 2 au sommet 3 , le sommet 3 au sommet 4 , le sommet 4 au sommet 1 , les diagonales reliant elles le sommet 1 au sommet 3 ainsi que le sommet 2 au sommet 4.\\
Un pion se déplace sur les sommets de ce carré selon le protocole suivant :

\begin{itemize}
  \item Le pion est sur le sommet 1 au départ.
  \item Lorsque le pion est à un instant donné sur un sommet du carré, il se déplace à l'instant suivant vers un sommet voisin (relié par un côté) avec la probabilité \(p\) ou vers un sommet opposé (relié par une diagonale) avec la probabilité \(1-2 p\).\\
On note \(X_{n}\) la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se trouve le pion à I'instant \(n\). On a done \(X_{0}=1\).
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item a. Écrire la matrice \(A\), carrée d'ordre 4, dont le terme situé à l'intersection de la \(i^{\text {eme }}\) ligne et de la \(j\) eme colonne est égal à la probabilité conditionnelle \(P\left(K_{n-1}=i / X_{n}=j\right)\).\\
b. Vérifier que \(A\) s'écrit comme combinaison linéaire de \(J+K\) et \(L\).
  \item a. Pour tout \(i\) de \(\{1,2,3,4\}\), calculer \(A u_{\text {. }}\) En déduire qu'il existe une matrice \(D\) diagonale et une matrice \(P\) inversible telles que \(A=P D P^{-1}\). Expliciter \(D\) et \(P\).\\
b. Calculer \(P^{2}\) puis en déduire \(P^{-1}\).
  \item Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on pose \(C_{n}=\left(\begin{array}{l}P\left(X_{n}=1\right) \\ P\left(X_{n}=2\right) \\ P\left(X_{n}=3\right) \\ P\left(X_{n}=4\right)\end{array}\right)\).\\
a. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que \(C_{n-1}=A C_{n}\).\\
b. En déduire que \(C_{n}=\frac{1}{4} P D^{n} P C_{0}\), puis donner la loi de \(X_{n}\) pour tout entier naturel \(n\) supérieur on égal à 1 .
\end{enumerate}

\end{document}