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\begin{document}
\section*{MATHÉMATIQUES EDHEC 2003 OPTION ÉCONOMIQUE}
Exercice On note \(f\) la fonction définie, pour tout réel \(x\) strictement positif, par : \(f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\).

\begin{enumerate}
  \item a) Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 , montrer que l'intégrale \(I_{n}=\int_{n}^{+\infty} f(x) d x\) est convergente et exprimer \(I_{n}\) en fonction de \(n\).\\
b) En déduire que \(I_{n} \underset{+\infty}{\sim} \frac{1}{n}\).
  \item Montrer que la série de terme général \(u_{n}=f(n)\) est convergente.
  \item a) Établir que: \(\quad \forall k \in \mathbb{N}^{*}, \quad f(k+1) \leqslant \int_{k}^{k+1} f(x) d x \leqslant f(k)\).\\
b) En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que :
\end{enumerate}

\[
\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \quad \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_{k} \leqslant I_{n} \leqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_{k}+\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^{2}}
\]

c) Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\), de \(\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{e^{\frac{1}{k}}}{k^{2}}\).

\section*{Exercice}
Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}
  \item Soit \(f_{n}\) la fonction définie par : \(f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{cc}n x^{n-1} & \text { si } x \in[0 ; 1] \\ 0 & \text { sinon }\end{array}\right.\)
\end{enumerate}

Montrer que \(f_{n}\) est une densité de probabilité.\\
2. On considère une variable aléatoire \(X_{n}\) réelle dont une densité de probabilité est \(f_{n}\). On dit alors que \(X_{n}\) suit une loi monôme d'ordre \(n\).\\
a) Reconnaître la loi de \(X_{1}\).\\
b) Dans le cas où \(n\) est supérieur ou égal à 2 , déterminer la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(X_{n}\), ainsi que son espérance \(E\left(X_{n}\right)\) et sa variance \(V\left(X_{n}\right)\).\\
3. On considère deux variables aléatoires \(U_{n}\) et \(V_{n}\) définies sur le même espace probabilisé ( \(\Omega, \mathcal{A}, P\) ), suivant la loi monôme d'ordre \(n(n \geqslant 2)\) et indépendantes, c'est-à-dire qu'elles vérifient en particulier l'égalité suivante :

\[
\forall x \in \mathbb{R}, \quad P\left(U_{n} \leqslant x \cap V_{n} \leqslant x\right)=P\left(U_{n} \leqslant x\right) P\left(V_{n} \leqslant x\right)
\]

On pose \(M_{n}=\sup \left(U_{n}, V_{n}\right)\) et on admet que \(M_{n}\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).\\
a) Pour tout réel \(x\), écrire, en justifiant la réponse, l'événement ( \(M_{n} \leqslant x\) ) à l'aide des événements \(\left(U_{n} \leqslant x\right)\) et ( \(V_{n} \leqslant x\) ).\\
b) En déduire une densité de \(M_{n}\). Vérifier que \(M_{n}\) suit une loi monôme dont on donnera l'ordre, puis déterminer sans calcul \(E\left(M_{n}\right)\).\\
c) On pose \(T_{n}=\inf \left(U_{n}, V_{n}\right)\). Exprimer \(M_{n}+T_{n}\) en fonction de \(U_{n}\) et \(V_{n}\), puis en déduire, sans calcul d'intégrale, la valeur de \(E\left(T_{n}\right)\).

\section*{Exercice}
\begin{enumerate}
  \item Montrer que : \(\forall x \in \mathbb{R}^{*}, \quad \frac{e^{x}-1}{x}>0\).
\end{enumerate}

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\left\{\begin{array}{c}f(x)=\ln \left(\frac{e^{x}-1}{x}\right) \\ f(0)=0\end{array}\right.\) si \(x \neq 0\)\\
2. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).\\
3. Montrer que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\), puis préciser \(f^{\prime}(x)\) pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{*}\).\\
4. a) Montrer que \(\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\).\\
b) En déduire que \(f\) est de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et donner \(f^{\prime}(0)\).\\
5. a) Etudier les variations de la fonction \(g\) définie par: \(\forall x \in \mathbb{R}, g(x)=x e^{x}-e^{x}+1\)\\
b) En déduire le signe de ( \(x\) ), puis dresser le tableau de variations de \(f\) (limites comprises).

On considère la suite ( \(u_{n}\) ) définie par la donnée de son premier terme \(u_{0}>0\) et par la relation, valable pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).\\
6. Montrer que: \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n}>0\).\\
7. a) Vérifier que: \(\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x)-x=f(-x)\).\\
b) En déduire le signe de \(f(x)-x\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).\\
c) Montrer que la suite ( \(u_{n}\) ) est décroissante.\\
8. En déduire que ( \(u_{n}\) ) converge et donner sa limite.\\
9. Écrire un programme en Pascal permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier naturel \(n\) pour lequel \(u_{n} \leqslant 10^{-3}\), dans le cas où \(u_{0}=1\).

\section*{PROBLÈME}
Un joueur participe à un jeu se jouant en plusieurs parties. Ses observations lui permettent d'affirmer que :

\begin{itemize}
  \item s'il gagne deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\frac{2}{3}\).
  \item s'il perd une partie et gagne la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\frac{1}{2}\).
  \item s'il gagne une partie et perd la suivante, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\frac{1}{2}\).
  \item s'il perd deux parties consécutives, alors il gagne la prochaine avec la probabilité \(\frac{1}{3}\).
\end{itemize}

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(A_{n}\) l'événement: le joueur gagne la \(n^{\text {ième }}\) partie. De plus, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , on pose :

\[
E_{n}=A_{n-1} \cap A_{n} \quad F_{n}=\overline{A_{n-1}} \cap A_{n} \quad G_{n}=A_{n-1} \cap \overline{A_{n}} \quad H_{n}=\overline{A_{n-1}} \cap \overline{A_{n}}
\]

\begin{enumerate}
  \item On admet que ( \(E_{n}, F_{n}, G_{n}, H_{n}\) ) est un système complet d'événements.\\
a) Utiliser la formule des probabilités totales pour montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , on a : \(P\left(E_{n+1}\right)=\frac{2}{3} P\left(E_{n}\right)+\frac{1}{2} P\left(F_{n}\right)\).\\
b) Exprimer de la même façon (aucune explication n'est exigée) les probabilités \(P\left(F_{n+1}\right), P\left(G_{n+1}\right)\) et \(P\left(H_{n+1}\right)\) en fonction de \(P\left(E_{n}\right), P\left(F_{n}\right), P\left(G_{n}\right)\) et \(P\left(H_{n}\right)\).\\
c) Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on pose : \(U_{n}=\left(\begin{array}{c}P\left(E_{n}\right) \\ P\left(F_{n}\right) \\ P\left(G_{n}\right) \\ P\left(H_{n}\right)\end{array}\right)\).
\end{enumerate}

Vérifier que \(U_{n+1}=M U_{n}\), où \(M=\left(\begin{array}{cccc}2 / 3 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2 & 1 / 3 \\ 1 / 3 & 1 / 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2 & 2 / 3\end{array}\right)\).\\
2. a) Soient \(P=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 3 & 3 \\ -2 & -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & -3 & 3\end{array}\right)\) et \(Q=\left(\begin{array}{cccc}-1 & -3 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & -3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\).

Calculer \(P Q\). En déduire que \(P\) est inversible et donner son inverse.\\
b) On note \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\) et \(C_{4}\) les colonnes de \(P\). Calculer \(M C_{1}, M C_{2}, M C_{3}\) et \(M C_{4}\), puis en déduire que \(-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}\) et 1 sont les valeurs propres de \(M\).\\
c) Justifier que \(M=P D P^{-1}\), où \(D\) est une matrice diagonale que l'on déterminera.

Dans toute la suite, on suppose que le joueur a gagné les deux premières parties.\\
3. a) Montrer par récurrence que: \(\forall n \in \mathbb{N}, \quad M^{n}=P D^{n} P^{-1}\).\\
b) Montrer, également par récurrence, que : \(\forall n \geqslant 2, \quad U_{n}=M^{n-2} U_{2}\).\\
c) Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , donner la première colonne de \(M^{n}\), puis en déduire \(P\left(E_{n}\right), P\left(F_{n}\right), P\left(G_{n}\right)\) et \(P\left(H_{n}\right)\).\\
d) Montrer que l'on a :

\[
\lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(E_{n}\right)=\frac{3}{10} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(F_{n}\right)=\frac{2}{10} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(G_{n}\right)=\frac{2}{10} \quad \lim _{n \rightarrow+\infty} P\left(H_{n}\right)=\frac{3}{10}
\]

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{3}
  \item Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(X_{k}\) la variable aléatoire qui vaut 1 si le joueur gagne la \(k^{\text {ième }}\) partie et qui vaut 0 sinon ( \(X_{1}\) et \(X_{2}\) sont donc deux variables certaines).\\
a) Pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2 , exprimer \(A_{k}\) en fonction de \(E_{k}\) et \(F_{k}\).\\
b) En déduire, pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2 , la loi de \(X_{k}\).
  \item Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 , on note \(S_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur lors des \(n\) premières parties.\\
a) Calculer \(P\left(S_{n}=2\right)\) en distinguant les cas \(n=2, n=3\) et \(n \geqslant 4\).\\
b) Déterminer \(P\left(S_{n}=n\right)\).\\
c) Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3 , écrire \(S_{n}\) en fonction des variables \(X_{k}\), puis déterminer \(E\left(S_{n}\right)\) en fonction de \(n\).
\end{enumerate}

\end{document}